{"id":5683,"date":"2026-09-17T00:03:00","date_gmt":"2026-09-16T15:03:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/?p=5683"},"modified":"2026-09-16T16:31:46","modified_gmt":"2026-09-16T07:31:46","slug":"bsd-%e4%ba%88%e6%83%b3%e3%81%af-l-%e9%96%a2%e6%95%b0%e3%81%a8%e6%9c%89%e7%90%86%e7%82%b9%e7%be%a4%e3%82%92%e4%b8%ad%e9%96%93%e6%a7%8b%e9%80%a0%e3%81%a7%e3%81%a4%e3%81%aa%e3%81%90","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/2026\/09\/17\/5683\/","title":{"rendered":"BSD \u4e88\u60f3\u306f L 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Q\\) \u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u3092\u8003\u3048\u308b\u3002\u5178\u578b\u7684\u306b\u306f\u3001\u5909\u6570\u5909\u63db\u306b\u3088\u3063\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE:\\quad y^2=x^3+Ax+B<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046 Weierstrass \u65b9\u7a0b\u5f0f\u3067\u8868\u305b\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067 \\(A,B\\) \u306f\u6709\u7406\u6570\u3067\u3042\u308a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n4A^3+27B^2\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3082\u306e\u3068\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e\u6761\u4ef6\u306b\u3088\u3063\u3066\u53f3\u8fba\u306e\u4e09\u6b21\u5f0f\u306f\u91cd\u6839\u3092\u6301\u305f\u305a\u3001\u66f2\u7dda\u306b\u7279\u7570\u70b9\u304c\u751f\u3058\u306a\u3044\u3002\\(x,y\\) \u304c\u3068\u3082\u306b\u6709\u7406\u6570\u3068\u306a\u308b\u70b9\u306b\u7121\u9650\u9060\u70b9 \\(\\mathcal O\\) \u3092\u52a0\u3048\u305f\u96c6\u5408\u3092 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u3068\u66f8\u304f\u3002<\/p>\n<p>\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3067\u306f\u3001\u4e8c\u3064\u306e\u70b9\u3092\u901a\u308b\u76f4\u7dda\u3068\u66f2\u7dda\u3068\u306e\u4ea4\u70b9\u3092\u5229\u7528\u3059\u308b\u5f26\u63a5\u7dda\u6cd5\u306b\u3088\u3063\u3066\u70b9\u540c\u58eb\u306e\u52a0\u6cd5\u3092\u5b9a\u7fa9\u3067\u304d\u308b\u3002\u7121\u9650\u9060\u70b9 \\(\\mathcal O\\) \u3092\u5358\u4f4d\u5143\u3068\u3059\u308b\u3068\u3001\u3053\u306e\u52a0\u6cd5\u306b\u3064\u3044\u3066 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306b\u306a\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u6709\u7406\u70b9\u3092\u8abf\u3079\u308b\u554f\u984c\u306f\u3001\u65b9\u7a0b\u5f0f\u306e\u89e3\u3092\u5217\u6319\u3059\u308b\u554f\u984c\u3067\u3042\u308b\u3068\u540c\u6642\u306b\u3001\u305d\u306e\u89e3\u304c\u4f5c\u308b\u7fa4\u306e\u69cb\u9020\u3092\u8abf\u3079\u308b\u554f\u984c\u3067\u3082\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u76f4\u63a5\u63a2\u7d22\u306b\u306f\u7bc4\u56f2\u306e\u554f\u984c\u304c\u6b8b\u308b\u3002\u305f\u3068\u3048\u3070\u6709\u7406\u6570 \\(x\\) \u3092\u65e2\u7d04\u5206\u6570 \\(a\/b\\) \u3068\u3057\u3066\u8868\u3057\u3066\u3082\u3001\u5206\u5b50 \\(a\\) \u3068\u5206\u6bcd \\(b\\) \u306e\u53cc\u65b9\u304c\u3069\u3053\u307e\u3067\u5927\u304d\u304f\u306a\u308b\u304b\u3092\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3060\u3051\u304b\u3089\u4e00\u5f8b\u306b\u6c7a\u3081\u3089\u308c\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u3042\u308b\u9ad8\u3055\u307e\u3067\u63a2\u7d22\u3057\u3066\u591a\u6570\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u767a\u898b\u3067\u304d\u3066\u3082\u3001\u305d\u308c\u3088\u308a\u9ad8\u3044\u4f4d\u7f6e\u306b\u65b0\u3057\u3044\u70b9\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u53ef\u80fd\u6027\u304c\u6b8b\u308b\u3002\u63a2\u7d22\u7bc4\u56f2\u3092\u62e1\u5927\u3059\u308b\u307b\u3069\u8a08\u7b97\u91cf\u306f\u5897\u3048\u308b\u4e00\u65b9\u3001\u6709\u9650\u7bc4\u56f2\u306e\u63a2\u7d22\u7d50\u679c\u3060\u3051\u304b\u3089\u6709\u7406\u70b9\u5168\u4f53\u306e\u69cb\u9020\u3092\u78ba\u5b9a\u3059\u308b\u306b\u306f\u5225\u306e\u7406\u8ad6\u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u5f79\u5272\u3092\u62c5\u3046\u306e\u304c Mordell\u2013Weil \u5b9a\u7406\u3067\u3042\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u6709\u7406\u70b9\u7fa4 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u6709\u9650\u751f\u6210\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306b\u306a\u308b<a href=\"#ref1\">[1]<\/a>\u3002\u6709\u9650\u751f\u6210\u3068\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u306e\u500b\u6570\u304c\u6709\u9650\u3068\u3044\u3046\u610f\u5473\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u6709\u9650\u500b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u751f\u6210\u5143\u3068\u3057\u3066\u9078\u3079\u3070\u3001\u7fa4\u306e\u52a0\u6cd5\u3068\u9006\u5143\u306b\u3088\u3063\u3066\u5168\u3066\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u8868\u305b\u308b\u3068\u3044\u3046\u610f\u5473\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u5177\u4f53\u7684\u306b\u306f\u3001\u6709\u9650\u500b\u306e\u70b9 \\(P_1,\\ldots,P_r\\) \u3068\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u306e\u70b9\u304b\u3089\u306a\u308b\u90e8\u5206\u7fa4\u3092\u9078\u3076\u3053\u3068\u3067\u3001\u4efb\u610f\u306e\u6709\u7406\u70b9 \\(P\\) \u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nP=T+n_1P_1+\\cdots+n_rP_r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u3067\u8868\u305b\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067 \\(T\\) \u306f\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u306e\u70b9\u3001\\(n_1,\\ldots,n_r\\) \u306f\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b\u3002\u5ea7\u6a19\u305d\u306e\u3082\u306e\u306f\u7121\u9650\u306b\u591a\u69d8\u3067\u3042\u3063\u3066\u3082\u3001\u7fa4\u3068\u3057\u3066\u898b\u308c\u3070\u3001\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u90e8\u5206\u306f\u6709\u9650\u500b\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u304b\u3089\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u89b3\u70b9<\/th>\n<th>\u6709\u7406\u70b9\u306e\u76f4\u63a5\u63a2\u7d22<\/th>\n<th>\u7fa4\u69cb\u9020\u3068\u3057\u3066\u306e\u628a\u63e1<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u8abf\u3079\u308b\u5bfe\u8c61<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u6570\u5ea7\u6a19 \\((x,y)\\) \u3092\u6301\u3064\u500b\u3005\u306e\u70b9\u3092\u63a2\u7d22\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u5168\u4f53\u3092\u751f\u6210\u3059\u308b\u6709\u9650\u500b\u306e\u70b9\u3068\u6709\u9650\u90e8\u5206\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u63a2\u7d22\u7bc4\u56f2<\/td>\n<td>\u5206\u5b50\u3068\u5206\u6bcd\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092\u5e83\u3052\u308b\u307b\u3069\u5019\u88dc\u304c\u5897\u3048\u3001\u6709\u9650\u7bc4\u56f2\u306e\u63a2\u7d22\u3060\u3051\u3067\u306f\u5168\u4f53\u3092\u78ba\u5b9a\u3057\u306b\u304f\u3044\u3002<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u5b9a\u7406\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u5168\u4f53\u304c\u6709\u9650\u500b\u306e\u751f\u6210\u5143\u3067\u8a18\u8ff0\u3067\u304d\u308b\u3053\u3068\u304c\u4fdd\u8a3c\u3055\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5f97\u3089\u308c\u308b\u60c5\u5831<\/td>\n<td>\u63a2\u7d22\u7bc4\u56f2\u5185\u3067\u5b9f\u969b\u306b\u898b\u3064\u304b\u3063\u305f\u6709\u7406\u70b9\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u90e8\u5206\u3068\u3001\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u306e\u6570\u3092\u5206\u96e2\u3057\u3066\u628a\u63e1\u3067\u304d\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>BSD \u4e88\u60f3\u3068\u306e\u63a5\u7d9a<\/td>\n<td>\u500b\u3005\u306e\u5ea7\u6a19\u305d\u306e\u3082\u306e\u306f BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4e2d\u5fc3\u7684\u306a\u6bd4\u8f03\u91cf\u306b\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u306e\u6570\u3067\u3042\u308b\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u3001L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3068\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u6bd4\u8f03\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u554f\u984c\u306e\u5f62\u304c\u5909\u308f\u3063\u305f\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002\u6709\u7406\u70b9\u3092\u4e00\u3064\u305a\u3064\u63a2\u3057\u7d9a\u3051\u308b\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u3001\u6709\u9650\u90e8\u5206\u304c\u4f55\u3067\u3042\u308a\u3001\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u304c\u3044\u304f\u3064\u3042\u308b\u304b\u3092\u8abf\u3079\u308c\u3070\u3088\u3044\u3002\u305d\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u306e\u6570\u304c\u3001\u6b21\u306b\u6271\u3046\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u3042\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u4e2d\u5fc3\u7684\u306a\u91cf\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>2. \u30e9\u30f3\u30af\u306f\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u5ea6\u3092\u8868\u3059<\/h2>\n<p>Mordell\u2013Weil \u5b9a\u7406\u306b\u3088\u3063\u3066 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u6709\u9650\u751f\u6210\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u6709\u9650\u751f\u6210\u30a2\u30fc\u30d9\u30eb\u7fa4\u306e\u69cb\u9020\u5b9a\u7406\u3092\u9069\u7528\u3059\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\oplus \\mathbf Z^r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5206\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\\(E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\) \u306f\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u306e\u70b9\u304b\u3089\u306a\u308b\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3001\\(\\mathbf Z^r\\) \u306f\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u306e\u70b9\u306b\u3088\u3063\u3066\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3067\u3042\u308b\u3002\u6574\u6570 \\(r\\) \u3092\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u547c\u3076\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5206\u89e3\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u6709\u9650\u306a\u90e8\u5206\u3068\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u90e8\u5206\u3092\u5206\u96e2\u3067\u304d\u308b\u3002\u6369\u308c\u70b9 \\(T\\) \u306f\u3001\u3042\u308b\u6b63\u306e\u6574\u6570 \\(n\\) \u306b\u5bfe\u3057\u3066 \\(nT=\\mathcal O\\) \u3068\u306a\u308b\u70b9\u3067\u3042\u308a\u3001\u6709\u9650\u56de\u52a0\u3048\u308b\u3068\u5358\u4f4d\u5143\u3078\u623b\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u751f\u6210\u5143 \\(P_1,\\ldots,P_r\\) \u306f\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u3092\u6301\u3061\u3001\u305d\u306e\u6574\u6570\u4fc2\u6570\u306b\u3088\u308b\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nn_1P_1+\\cdots+n_rP_r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304b\u3089\u7121\u9650\u500b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304c\u751f\u3058\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u306f\u6709\u7406\u70b9\u306e\u500b\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u304c\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u306e\u6570\u3092\u8868\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3067\u306f\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u6d88\u3048\u3001\\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3060\u3051\u306b\u306a\u308b\u305f\u3081\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306f\u6709\u9650\u3067\u3042\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u306f\u4e00\u3064\u306e\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9 \\(P\\) \u3092\u57fa\u6e96\u3068\u3057\u3066\u3001\\(P,2P,3P,\\ldots\\) \u306e\u3088\u3046\u306b\u6574\u6570\u500d\u304b\u3089\u7121\u9650\u500b\u306e\u70b9\u304c\u751f\u3058\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(2\\) \u3067\u306f\u4e8c\u3064\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u70b9 \\(P_1,P_2\\) \u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308a\u3001\\(n_1P_1+n_2P_2\\) \u3068\u3044\u3046\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u30d1\u30e9\u30e1\u30fc\u30bf\u306b\u3088\u3063\u3066\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u5e83\u304c\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u30e9\u30f3\u30af<\/th>\n<th>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u69cb\u9020<\/th>\n<th>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u610f\u5473<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(r=0\\)<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\) \u3068\u306a\u308a\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306f\u6709\u9650\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r=1\\)<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\oplus\\mathbf Z\\) \u3068\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4e00\u3064\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u304c\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3092\u751f\u6210\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r=2\\)<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\oplus\\mathbf Z^2\\) \u3068\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4e8c\u3064\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u304c\u4e8c\u65b9\u5411\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3092\u751f\u6210\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r\\ge3\\)<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306f \\(\\mathbf Z^r\\) \u3068\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(r\\) \u500b\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u306b\u3088\u3063\u3066\u9ad8\u6b21\u5143\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u751f\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u3053\u3067\u91cd\u8981\u306a\u306e\u306f\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u77e5\u308b\u3053\u3068\u306b\u3088\u3063\u3066\u7121\u9650\u500b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u4e00\u3064\u305a\u3064\u5217\u6319\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u306a\u304f\u306a\u308b\u70b9\u3067\u3042\u308b\u3002\u305f\u3068\u3048\u3070\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(2\\) \u3068\u5206\u304b\u308c\u3070\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u7121\u9650\u90e8\u5206\u306b\u306f\u4e8c\u3064\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u751f\u6210\u65b9\u5411\u304c\u3042\u308b\u3053\u3068\u307e\u3067\u78ba\u5b9a\u3059\u308b\u3002\u500b\u3005\u306e\u70b9\u306e\u5ea7\u6a19\u3092\u8abf\u3079\u308b\u554f\u984c\u304c\u3001\u6709\u9650\u500b\u306e\u751f\u6210\u5143\u3068\u6574\u6570 \\(r\\) \u3092\u6c7a\u3081\u308b\u554f\u984c\u3078\u7f6e\u304d\u63db\u308f\u308b\u3002<\/p>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u304c\u307e\u305a\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u308b\u306e\u3082\u3001\u3053\u306e\u6574\u6570 \\(r\\) \u3067\u3042\u308b\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f \\(r\\) \u304c Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u968e\u6570\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304b\u3089\u4f5c\u308b L \u95a2\u6570\u304c\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u3067\u4f55\u6b21\u307e\u3067\u96f6\u306b\u306a\u308b\u304b\u3068\u3044\u3046\u6574\u6570\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u3053\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u4e3b\u5f35\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u3053\u3067\u6b21\u306b\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u304b\u3089\u3044\u3063\u305f\u3093\u96e2\u308c\u3001\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3054\u3068\u306b\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u3067\u89b3\u6e2c\u3059\u308b\u3002\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u6709\u7406\u70b9\u306e\u554f\u984c\u3092\u3001\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u6709\u9650\u306a\u70b9\u306e\u6570\u3048\u4e0a\u3052\u3078\u79fb\u3059\u3053\u3068\u304c\u3001L \u95a2\u6570\u3078\u9032\u3080\u5165\u53e3\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>3. \u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u898b\u308b\u3068\u7121\u9650\u306e\u554f\u984c\u304c\u6709\u9650\u306b\u306a\u308b<\/h2>\n<p>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u76f4\u63a5\u8abf\u3079\u308b\u7d4c\u8def\u304b\u3089\u96e2\u308c\u3001\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3054\u3068\u306b\u89b3\u6e2c\u3059\u308b\u3002\u4fc2\u6570\u306e\u5206\u6bcd\u3092\u907f\u3051\u3001\u9084\u5143\u5f8c\u306b\u3082\u66f2\u7dda\u304c\u7279\u7570\u70b9\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3092\u9078\u3076\u3068\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092 \\(p\\) \u3067\u9084\u5143\u3057\u3066\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u7d20\u6570\u3067\u306f\u3001\u66f2\u7dda\u306f\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u3068\u3044\u3046\u3002<\/p>\n<p>\u305f\u3068\u3048\u3070\u6574\u6570\u4fc2\u6570\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE:\\quad y^2=x^3-x<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u8003\u3048\u308b\u3002\u3053\u308c\u3092 \\(p=5\\) \u3067\u9084\u5143\u3059\u308b\u3068\u3001\\(x\\) \u3068 \\(y\\) \u306f \\(0,1,2,3,4\\) \u306e\u3044\u305a\u308c\u304b\u3067\u3042\u308a\u3001\u65b9\u7a0b\u5f0f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ny^2\\equiv x^3-x\\pmod 5<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6e80\u305f\u3059\u7d44\u3092\u5168\u3066\u8abf\u3079\u3089\u308c\u308b\u3002\u6709\u7406\u6570\u4e0a\u3067\u306f\u5ea7\u6a19\u5019\u88dc\u304c\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u3063\u3066\u3044\u305f\u306e\u306b\u5bfe\u3057\u3001\\(\\mathbf F_5\\) \u4e0a\u3067\u306f\u5019\u88dc\u304c\u6709\u9650\u500b\u306b\u9589\u3058\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\\(x\\)<\/th>\n<th>\\(x^3-x\\bmod 5\\)<\/th>\n<th>\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059 \\(y\\)<\/th>\n<th>\u70b9\u306e\u6570<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(0\\)<\/td>\n<td>\\(0\\)<\/td>\n<td>\\(y=0\\)<\/td>\n<td>1 \u500b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(1\\)<\/td>\n<td>\\(0\\)<\/td>\n<td>\\(y=0\\)<\/td>\n<td>1 \u500b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(2\\)<\/td>\n<td>\\(1\\)<\/td>\n<td>\\(y=1,4\\)<\/td>\n<td>2 \u500b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(3\\)<\/td>\n<td>\\(4\\)<\/td>\n<td>\\(y=2,3\\)<\/td>\n<td>2 \u500b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(4\\)<\/td>\n<td>\\(0\\)<\/td>\n<td>\\(y=0\\)<\/td>\n<td>1 \u500b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e 7 \u500b\u306e\u6709\u9650\u5ea7\u6a19\u3092\u6301\u3064\u70b9\u306b\u7121\u9650\u9060\u70b9 \\(\\mathcal O\\) \u3092\u52a0\u3048\u308b\u305f\u3081\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_5)=8<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u6709\u9650\u4f53\u3078\u79fb\u3057\u305f\u3053\u3068\u3067\u3001\u66f2\u7dda\u5168\u4f53\u3092\u5b9f\u969b\u306b\u6570\u3048\u4e0a\u3052\u3089\u308c\u308b\u5bfe\u8c61\u3078\u5909\u63db\u3067\u304d\u305f\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u64cd\u4f5c\u306f\u3001\u5358\u306b\u8a08\u7b97\u3092\u6709\u9650\u5316\u3059\u308b\u305f\u3081\u3060\u3051\u306b\u4f7f\u308f\u308c\u308b\u3082\u306e\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u7d20\u6570\u3092 \\(5,7,11,13,\\ldots\\) \u3068\u5909\u3048\u308c\u3070\u3001\u305d\u308c\u305e\u308c\u306b\u3064\u3044\u3066 \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u7570\u306a\u308b\u7d20\u6570\u3067\u7e70\u308a\u8fd4\u3057\u89b3\u6e2c\u3059\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u305d\u306e\u66f2\u7dda\u306b\u56fa\u6709\u306e\u6574\u6570\u5217\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u306f\u4efb\u610f\u306e\u5024\u3092\u53d6\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002Hasse \u306e\u5b9a\u7406\u306b\u3088\u308a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left|\\#E(\\mathbf F_p)-(p+1)\\right|\\le 2\\sqrt p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u3064\u307e\u308a\u3001\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u306f\u5e38\u306b \\(p+1\\) \u3092\u4e2d\u5fc3\u3068\u3059\u308b\u5e45 \\(4\\sqrt p\\) \u7a0b\u5ea6\u306e\u7bc4\u56f2\u306b\u53ce\u307e\u308b\u3002\u5148\u307b\u3069\u306e\u4f8b\u3067\u306f \\(p=5\\) \u306a\u306e\u3067\u57fa\u6e96\u5024\u306f \\(6\\) \u3067\u3042\u308a\u3001\u5b9f\u969b\u306e\u70b9\u6570\u306f \\(8\\) \u3060\u3063\u305f\u3002\u5dee\u306e\u7d76\u5bfe\u5024\u306f \\(2\\) \u3067\u3042\u308a\u3001Hasse \u306e\u4e0a\u9650 \\(2\\sqrt5\\) \u306e\u7bc4\u56f2\u5185\u306b\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u3053\u3067\u3001\u70b9\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u3088\u308a\u3082\u57fa\u6e96\u5024 \\(p+1\\) \u304b\u3089\u306e\u305a\u308c\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3002\u5148\u307b\u3069\u306e\u66f2\u7dda\u3067\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_5=5+1-8=-2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002Hasse \u306e\u5b9a\u7406\u306f\u3001\u3053\u306e\u91cf\u306b\u3064\u3044\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n|a_p|\\le2\\sqrt p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u8a55\u4fa1\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u6709\u7406\u6570\u4f53 \\(\\mathbf Q\\)<\/th>\n<th>\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u5ea7\u6a19\u5019\u88dc<\/td>\n<td>\u5206\u5b50\u3068\u5206\u6bcd\u306b\u4e0a\u9650\u304c\u306a\u304f\u3001\u7121\u9650\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(x,y\\) \u306f\u305d\u308c\u305e\u308c \\(p\\) \u500b\u306e\u5024\u3060\u3051\u3092\u53d6\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u70b9\u306e\u96c6\u5408<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u6709\u9650\u306e\u5834\u5408\u3068\u7121\u9650\u306e\u5834\u5408\u304c\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf F_p)\\) \u306f\u5fc5\u305a\u6709\u9650\u96c6\u5408\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u76f4\u63a5\u5f97\u3089\u308c\u308b\u91cf<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u751f\u6210\u5143\u3084\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u70b9\u6570 \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u5168\u3066\u6570\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>BSD \u4e88\u60f3\u3078\u306e\u7d4c\u8def<\/td>\n<td>\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u304c\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u4e2d\u5fc3\u91cf\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(a_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u304c L \u95a2\u6570\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u3053\u3067\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3092\u8abf\u3079\u308b\u76ee\u7684\u304c\u660e\u78ba\u306b\u306a\u308b\u3002\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u4e26\u3079\u308b\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u3001\u57fa\u6e96\u5024\u304b\u3089\u306e\u504f\u5dee \\(a_p\\) \u3068\u3057\u3066\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3068\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u60c5\u5831\u3092\u5171\u901a\u306e\u5f62\u5f0f\u3067\u6271\u3048\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b \\(a_p\\) \u306f\u3001\u6b21\u306b\u898b\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3064\u307e\u308a\u3001\u6709\u9650\u4f53\u3078\u306e\u9084\u5143\u306b\u3088\u3063\u3066\u7121\u9650\u306e\u63a2\u7d22\u554f\u984c\u3092\u6709\u9650\u306e\u6570\u3048\u4e0a\u3052\u3078\u5909\u3048\u3001\u305d\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089 \\(a_p\\) \u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3059\u3053\u3068\u3067\u3001\u5358\u306a\u308b\u8a08\u7b97\u7d50\u679c\u3092\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u69cb\u9020\u3092\u8868\u3059\u91cf\u3078\u5909\u63db\u3059\u308b\u3002\u3053\u306e \\(a_p\\) \u3092\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u96c6\u7a4d\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u3001L \u95a2\u6570\u3078\u9032\u3080\u6b21\u306e\u6bb5\u968e\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>4. \u70b9\u6570\u306e\u305a\u308c\u306f\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u306b\u306a\u308b<\/h2>\n<p>\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3054\u3068\u306b\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570 \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u6570\u3048\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u6574\u6570\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u305f\u3002\u3053\u3053\u307e\u3067\u306a\u3089 \\(a_p\\) \u306f\u3001\u70b9\u6570\u3092\u57fa\u6e96\u5024 \\(p+1\\) \u304b\u3089\u306e\u504f\u5dee\u3068\u3057\u3066\u66f8\u304d\u63db\u3048\u305f\u3060\u3051\u306b\u898b\u3048\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u3053\u306e\u6574\u6570\u306b\u306f\u5225\u306e\u610f\u5473\u304c\u3042\u308b\u3002\\(a_p\\) \u306f\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u81ea\u7136\u306b\u4f5c\u7528\u3059\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u305d\u306e\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u3002\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3001\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u3001L \u95a2\u6570\u306f\u3001\u540c\u3058\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u7570\u306a\u308b\u5f62\u3067\u8868\u3057\u3066\u3044\u308b<a href=\"#ref2\">[2]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u306e\u7279\u5fb4\u306f\u3001\u4efb\u610f\u306e\u5143 \\(u\\) \u306b\u3064\u3044\u3066 \\(u^p=u\\) \u304c\u6210\u308a\u7acb\u3064\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\\(\\mathbf F_p\\) \u3092\u542b\u3080\u4ee3\u6570\u9589\u5305 \\(\\overline{\\mathbf F}_p\\) \u307e\u3067\u5ea7\u6a19\u3092\u5e83\u3052\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\pi_p:(x,y)\\longmapsto(x^p,y^p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5199\u50cf\u304c\u975e\u81ea\u660e\u306a\u4f5c\u7528\u3092\u6301\u3064\u3002\u3053\u308c\u3092\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u306e\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u5199\u50cf\u3068\u547c\u3076\u3002\u4fc2\u6570\u304c \\(\\mathbf F_p\\) \u306b\u5c5e\u3059\u308b\u305f\u3081\u3001\\((x,y)\\) \u304c \\(E\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u306a\u3089 \\((x^p,y^p)\\) \u3082\u540c\u3058\u66f2\u7dda\u4e0a\u306e\u70b9\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u3067 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u306b\u306f\u660e\u78ba\u306a\u7279\u5fb4\u304c\u3042\u308b\u3002\u5ea7\u6a19\u304c \\(\\mathbf F_p\\) \u306b\u5c5e\u3059\u308b\u70b9\u3067\u306f \\(x^p=x\\)\u3001\\(y^p=y\\) \u306a\u306e\u3067\u3001\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u3092\u4f5c\u7528\u3055\u305b\u3066\u3082\u70b9\u304c\u52d5\u304b\u306a\u3044\u3002\u9006\u306b\u3001\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306b\u3088\u3063\u3066\u56fa\u5b9a\u3055\u308c\u308b\u70b9\u304c \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u6570\u3048\u308b\u3053\u3068\u306f\u3001\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u306e\u56fa\u5b9a\u70b9\u3092\u6570\u3048\u308b\u3053\u3068\u3067\u3082\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u3092\u3001\\(p\\) \u3068\u306f\u7570\u306a\u308b\u7d20\u6570 \\(\\ell\\) \u306b\u5bfe\u3059\u308b Tate \u52a0\u7fa4 \\(T_\\ell(E)\\) \u4e0a\u3067\u898b\u308b\u3068\u30012 \u6b21\u5143\u306e\u7dda\u5f62\u4f5c\u7528\u3068\u3057\u3066\u8868\u73fe\u3067\u304d\u308b\u3002\u305d\u306e\u7279\u6027\u591a\u9805\u5f0f\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nX^2-a_pX+p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u30022 \u6b21\u5143\u7dda\u5f62\u5909\u63db\u306e\u7279\u6027\u591a\u9805\u5f0f\u304c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nX^2-(\\operatorname{tr}\\pi_p)X+\\det\\pi_p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u66f8\u3051\u308b\u3053\u3068\u3068\u6bd4\u8f03\u3059\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{tr}(\\pi_p)=a_p,\\qquad \\det(\\pi_p)=p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u524d\u7ae0\u3067\u70b9\u6570\u304b\u3089\u5b9a\u7fa9\u3057\u305f \\(a_p\\) \u304c\u3001\u3053\u3053\u3067\u306f\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u3068\u3044\u3046\u7dda\u5f62\u4f5c\u7528\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u8868\u73fe<\/th>\n<th>\u5f0f<\/th>\n<th>\u610f\u5473<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570<\/td>\n<td>\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\)<\/td>\n<td>\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306b\u3088\u3063\u3066\u56fa\u5b9a\u3055\u308c\u308b\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u4e0a\u306e\u70b9\u3092\u6570\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u57fa\u6e96\u5024\u304b\u3089\u306e\u504f\u5dee<\/td>\n<td>\\(a_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)\\)<\/td>\n<td>\u70b9\u6570\u304c\u57fa\u6e96\u5024 \\(p+1\\) \u304b\u3089\u3069\u308c\u3060\u3051\u305a\u308c\u3066\u3044\u308b\u304b\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9<\/td>\n<td>\\(\\operatorname{tr}(\\pi_p)=a_p\\)<\/td>\n<td>\u540c\u3058\u6574\u6570 \\(a_p\\) \u3092\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u7dda\u5f62\u4f5c\u7528\u3068\u3057\u3066\u89e3\u91c8\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7279\u6027\u591a\u9805\u5f0f<\/td>\n<td>\\(X^2-a_pX+p\\)<\/td>\n<td>\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9 \\(a_p\\) \u3068\u884c\u5217\u5f0f \\(p\\) \u3092\u4e00\u3064\u306e\u591a\u9805\u5f0f\u306b\u307e\u3068\u3081\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u70b9\u6570\u3068\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u306e\u5bfe\u5fdc\u306f\u3001\u56fa\u5b9a\u70b9\u306e\u6570\u3068\u3057\u3066\u3082\u78ba\u8a8d\u3067\u304d\u308b\u3002\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u56fa\u6709\u5024\u3092 \\(\\alpha_p,\\beta_p\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\alpha_p+\\beta_p=a_p,\\qquad \\alpha_p\\beta_p=p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u3042\u308a\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n=1-\\alpha_p-\\beta_p+\\alpha_p\\beta_p<br \/>\n=p+1-a_p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u8868\u305b\u308b\u3002\u3064\u307e\u308a\u3001\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3068 \\(a_p\\) \u3068\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u56fa\u6709\u5024\u306f\u3001\u5225\u3005\u306e\u60c5\u5831\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u540c\u3058\u5c40\u6240\u7684\u306a\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u4e09\u3064\u306e\u65b9\u6cd5\u3067\u8a18\u8ff0\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5bfe\u5fdc\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u3092\u6570\u3048\u308b\u610f\u5473\u3082\u5909\u308f\u308b\u3002\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u3064\u3044\u3066 \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u64cd\u4f5c\u306f\u3001\u5358\u306a\u308b\u6709\u9650\u96c6\u5408\u306e\u6570\u3048\u4e0a\u3052\u3067\u7d42\u308f\u3089\u305a\u3001\u305d\u306e\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u3092\u89b3\u6e2c\u3059\u308b\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b\u3002\u7d20\u6570\u3092\u5909\u3048\u308b\u305f\u3073\u306b\u7570\u306a\u308b \\(a_p\\) \u304c\u5f97\u3089\u308c\u3001\u305d\u308c\u3089\u306e\u5217\u304c\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u5c40\u6240\u7684\u306a\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u65e2\u7a3f\u3067\u306f\u3001Frey \u66f2\u7dda\u304b\u3089\u30ac\u30ed\u30a2\u8868\u73fe\u3092\u4f5c\u308a\u3001\u7d20\u6570 \\(\\ell\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9 \\(a_\\ell\\) \u3092\u901a\u3058\u3066\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3068\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u304c\u540c\u3058\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u3092\u6271\u3063\u305f<a href=\"#ref3\">[3]<\/a>\u3002BSD \u4e88\u60f3\u3067\u3082\u57fa\u672c\u69cb\u9020\u306f\u5171\u901a\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u7570\u306a\u308b\u306e\u306f\u3001\u3053\u306e\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u3092\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u96c6\u3081\u3001\u6b21\u306b\u4e00\u3064\u306e L \u95a2\u6570\u3078\u7d44\u307f\u4e0a\u3052\u308b\u70b9\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u524d\u7ae0\u3067\u5c0e\u5165\u3057\u305f \\(a_p\\) \u306f\u3001\u70b9\u6570\u3092\u6271\u3044\u3084\u3059\u304f\u66f8\u304d\u63db\u3048\u308b\u305f\u3081\u3060\u3051\u306e\u88dc\u52a9\u91cf\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3092\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u3068\u3044\u3046\u4ee3\u6570\u7684\u4f5c\u7528\u3078\u5909\u63db\u3057\u3001\u3055\u3089\u306b L \u95a2\u6570\u3068\u3044\u3046\u89e3\u6790\u7684\u5bfe\u8c61\u3078\u6e21\u3059\u305f\u3081\u306e\u63a5\u7d9a\u70b9\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e \\(a_p\\) \u3092\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3078\u57cb\u3081\u8fbc\u307f\u3001\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306e\u60c5\u5831\u3092\u4e00\u3064\u306e\u95a2\u6570\u3078\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>5. \u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u89b3\u6e2c\u5024\u3092 L \u95a2\u6570\u3078\u7d71\u5408\u3059\u308b<\/h2>\n<p>\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u3001\u3053\u308c\u304c\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u306b\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u898b\u305f\u3002\u3053\u3053\u307e\u3067\u306f\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u4e00\u3064\u305a\u3064\u6574\u6570 \\(a_p\\) \u304c\u4e26\u3093\u3067\u3044\u308b\u3060\u3051\u3067\u3042\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u89e3\u6790\u5074\u3078\u9032\u3080\u306b\u306f\u3001\u3053\u308c\u3089\u3092\u4e92\u3044\u306b\u72ec\u7acb\u306a\u89b3\u6e2c\u5024\u3068\u3057\u3066\u6b8b\u3059\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306e\u60c5\u5831\u3092\u4e00\u3064\u306e\u89e3\u6790\u7684\u5bfe\u8c61\u3078\u307e\u3068\u3081\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u305d\u306e\u5f79\u5272\u3092\u62c5\u3046\u306e\u304c\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e L \u95a2\u6570\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u3001\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL_p(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{1}{<br \/>\n1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3002\u524d\u7ae0\u3067\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u56fa\u6709\u5024\u3092 \\(\\alpha_p,\\beta_p\\) \u3068\u66f8\u3044\u305f\u3068\u304d\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\alpha_p+\\beta_p=a_p,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\alpha_p\\beta_p=p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u3042\u3063\u305f\u3002\u3053\u306e\u95a2\u4fc2\u3092\u4f7f\u3046\u3068\u3001\u5206\u6bcd\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n1-a_p p^{-s}+p^{1-2s}<br \/>\n=<br \/>\n(1-\\alpha_p p^{-s})(1-\\beta_p p^{-s})<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u306f\u3001\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u56fa\u6709\u5024\u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u7d44\u307f\u8fbc\u3093\u3060\u5f62\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002\u524d\u7ae0\u3067\u5f97\u305f\u7dda\u5f62\u4f5c\u7528\u306e\u60c5\u5831\u304c\u3001\u3053\u3053\u3067\u8907\u7d20\u5909\u6570 \\(s\\) \u3092\u6301\u3064\u89e3\u6790\u95a2\u6570\u3078\u79fb\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u5404\u7d20\u6570\u306e\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u639b\u3051\u5408\u308f\u305b\u308b\u3068\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u306e L \u95a2\u6570\u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\prod_p L_p(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3057\u3066\u69cb\u6210\u3067\u304d\u308b\u3002\u3053\u308c\u3092\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3068\u547c\u3076\u3002\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u6709\u9650\u500b\u306e\u7d20\u6570\u3067\u306f\u3001\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u306f\u826f\u3044\u9084\u5143\u306e\u5834\u5408\u3068\u306f\u7570\u306a\u308b\u5f62\u3092\u53d6\u308b\u304c\u3001\u305d\u308c\u3089\u3082\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3068\u3057\u3066\u7a4d\u306e\u4e2d\u3078\u7d44\u307f\u8fbc\u307e\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u304c\u6301\u3064\u610f\u5473\u306f\u3001\u5358\u306b\u7121\u9650\u500b\u306e\u6570\u3092\u4e00\u3064\u306e\u5f0f\u3078\u4e26\u3079\u308b\u3053\u3068\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3054\u3068\u306b\u5f97\u3089\u308c\u305f \\(a_p\\) \u306f\u3001\u4e92\u3044\u306b\u7570\u306a\u308b\u5c40\u6240\u7684\u306a\u89b3\u6e2c\u7d50\u679c\u3067\u3042\u308b\u3002\u305d\u306e\u4e00\u3064\u4e00\u3064\u3092\u5c40\u6240\u56e0\u5b50 \\(L_p(E,s)\\) \u306b\u5909\u63db\u3057\u3001\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u7a4d\u3092\u53d6\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304c\u5404\u7d20\u6570\u3067\u793a\u3059\u7b97\u8853\u7684\u306a\u632f\u308b\u821e\u3044\u3092\u4e00\u3064\u306e\u95a2\u6570\u3078\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u6bb5\u968e<\/th>\n<th>\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u4fdd\u6301\u3055\u308c\u308b\u60c5\u5831<\/th>\n<th>\u6b21\u306e\u6bb5\u968e\u3078\u306e\u5909\u63db<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u6709\u9650\u4f53\u3078\u306e\u9084\u5143<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf F_p)\\)<\/td>\n<td>\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u70b9\u3092\u6709\u9650\u96c6\u5408\u3068\u3057\u3066\u89b3\u6e2c\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u70b9\u306e\u7dcf\u6570 \\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u6c42\u3081\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u70b9\u6570\u306e\u504f\u5dee<\/td>\n<td>\\(a_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)\\)<\/td>\n<td>\u70b9\u6570\u306e\u60c5\u5831\u3092\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3068\u3057\u3066\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(a_p\\) \u3068 \\(p\\) \u304b\u3089\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u4f5c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5c40\u6240\u56e0\u5b50<\/td>\n<td>\\(L_p(E,s)\\)<\/td>\n<td>\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u56fa\u6709\u5024\u3092\u89e3\u6790\u95a2\u6570\u306e\u5f62\u3067\u4fdd\u6301\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u639b\u3051\u5408\u308f\u305b\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d<\/td>\n<td>\\(L(E,s)\\)<\/td>\n<td>\u5404\u7d20\u6570\u3067\u5f97\u305f\u5c40\u6240\u7684\u306a\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u4e00\u3064\u306e\u5927\u57df\u7684\u89e3\u6790\u5bfe\u8c61\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(s=1\\) \u4ed8\u8fd1\u306e\u96f6\u70b9\u3084\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u69cb\u6210\u306b\u306f\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u60c5\u5831\u3092\u5931\u308f\u305a\u306b\u4e00\u3064\u306e\u95a2\u6570\u3078\u307e\u3068\u3081\u308b\u3068\u3044\u3046\u7279\u5fb4\u304c\u3042\u308b\u3002\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064 \\(p\\) \u3067\u306f\u3001\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u306e\u4fc2\u6570 \\(a_p\\) \u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_p)=p+1-a_p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u5fa9\u5143\u3067\u304d\u308b\u3002\u3064\u307e\u308a\u3001L \u95a2\u6570\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u306f\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3068\u5207\u308a\u96e2\u3055\u308c\u305f\u65b0\u3057\u3044\u60c5\u5831\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u305d\u306e\u70b9\u6570\u3092\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u3068\u3057\u3066\u8aad\u307f\u66ff\u3048\u305f\u60c5\u5831\u3092\u4fdd\u6301\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u307e\u305f\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3092\u5c55\u958b\u3059\u308b\u3068\u3001L \u95a2\u6570\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{a_n}{n^s}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046 Dirichlet \u7d1a\u6570\u306e\u5f62\u3067\u3082\u8868\u3055\u308c\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067\u4e00\u822c\u306e \\(a_n\\) \u306f\u3001\u7d20\u6570\u306b\u5bfe\u3059\u308b \\(a_p\\) \u304b\u3089\u4e57\u6cd5\u7684\u306a\u95a2\u4fc2\u3092\u901a\u3058\u3066\u5b9a\u307e\u308b\u3002\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u57fa\u790e\u3068\u3057\u3066\u3001\u5168\u3066\u306e\u6b63\u6574\u6570\u306b\u308f\u305f\u308b\u4fc2\u6570\u5217\u304c\u7d44\u307f\u7acb\u3066\u3089\u308c\u308b\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u306e\u5909\u63db\u3092\u4e00\u672c\u306b\u3064\u306a\u3050\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\na_p<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL_p(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u51fa\u767a\u70b9\u306f\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u6709\u9650\u500b\u306e\u70b9\u3067\u3042\u308a\u3001\u5230\u9054\u70b9\u306f\u8907\u7d20\u5909\u6570 \\(s\\) \u3092\u6301\u3064\u4e00\u3064\u306e\u89e3\u6790\u95a2\u6570\u3067\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306f\u3001\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u3067\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u89b3\u6e2c\u3057\u305f\u7d50\u679c\u3092\u3001\u89e3\u6790\u7684\u306b\u6271\u3048\u308b\u5f62\u3078\u7d71\u5408\u3057\u305f\u3082\u306e\u3068\u6349\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4e00\u65b9\u3001BSD \u4e88\u60f3\u304c\u77e5\u308a\u305f\u3044\u306e\u306f\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u6709\u7406\u6570\u4f53\u4e0a\u306e Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306e\u69cb\u6210\u904e\u7a0b\u306b\u306f \\(E(\\mathbf Q)\\) \u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u76f4\u63a5\u5165\u529b\u3057\u3066\u3044\u306a\u3044\u3002\u305d\u308c\u3067\u3082 BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u3053\u306e L \u95a2\u6570\u3092 \\(s=1\\) \u3067\u8abf\u3079\u308b\u3068\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u5ea6\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3068\u4e3b\u5f35\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u4e3b\u5f35\u3092\u8ff0\u3079\u308b\u524d\u306b\u3001\u4e00\u3064\u306e\u89e3\u6790\u4e0a\u306e\u8ab2\u984c\u304c\u3042\u308b\u3002\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u306b\u3088\u308b\u5b9a\u7fa9\u306f\u3001\u307e\u305a\u5b9f\u90e8\u304c\u5341\u5206\u5927\u304d\u3044 \\(s\\) \u306e\u7bc4\u56f2\u3067\u53ce\u675f\u3059\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001BSD \u4e88\u60f3\u304c\u898b\u308b \\(s=1\\) \u306f\u3001\u305d\u306e\u5b9a\u7fa9\u3060\u3051\u304b\u3089\u76f4\u3061\u306b\u6271\u3048\u308b\u4f4d\u7f6e\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u306b\u3088\u3063\u3066 L \u95a2\u6570\u304c \\(s=1\\) \u307e\u3067\u89e3\u6790\u7684\u306b\u5ef6\u9577\u3055\u308c\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3092\u8abf\u3079\u3089\u308c\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u904e\u7a0b\u3092\u898b\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>6. \u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u306b\u3088\u3063\u3066\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3092\u89e3\u6790\u3067\u304d\u308b<\/h2>\n<p>\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3068\u3057\u3066\u96c6\u7d04\u3057\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e L \u95a2\u6570<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)=\\prod_p L_p(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u69cb\u6210\u3057\u305f\u3002\u305f\u3060\u3057\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u306b\u3088\u308b\u5b9a\u7fa9\u304c\u305d\u306e\u307e\u307e\u53ce\u675f\u3059\u308b\u306e\u306f\u3001\u8907\u7d20\u5909\u6570 \\(s\\) \u306e\u5b9f\u90e8\u304c\u5341\u5206\u5927\u304d\u3044\u9818\u57df\u3067\u3042\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u304c\u8abf\u3079\u308b \\(s=1\\) \u306f\u3001\u305d\u306e\u53ce\u675f\u9818\u57df\u304b\u3089\u5916\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001BSD \u4e88\u60f3\u3092\u8ff0\u3079\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f\u3001\u307e\u305a \\(L(E,s)\\) \u3092 \\(s=1\\) \u3092\u542b\u3080\u9818\u57df\u307e\u3067\u89e3\u6790\u7684\u306b\u5ef6\u9577\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u554f\u984c\u3092\u89e3\u6c7a\u3059\u308b\u306e\u304c\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u3067\u3042\u308b\u3002\\(\\mathbf Q\\) \u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u306b\u306f\u3001\u66f2\u7dda\u306e\u5c0e\u624b\u3092 \\(N_E\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\u3001\u91cd\u3055 \\(2\\)\u3001\u30ec\u30d9\u30eb \\(N_E\\) \u306e\u9069\u5207\u306a\u6b63\u898f\u5316\u3055\u308c\u305f\u65b0\u5f62\u5f0f \\(f\\) \u304c\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002Wiles \u3068 Taylor\u2013Wiles \u304c\u534a\u5b89\u5b9a\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066\u78ba\u7acb\u3057\u305f\u7d50\u679c\u3092\u62e1\u5f35\u3057\u3001Breuil\u3001Conrad\u3001Diamond\u3001Taylor \u306f\u5168\u3066\u306e \\(\\mathbf Q\\) \u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304c\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u8a3c\u660e\u3057\u305f<a href=\"#ref4\">[4]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f \\(f\\) \u3092 Fourier \u5c55\u958b\u3057\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nf(z)=\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nq^n,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nq=e^{2\\pi iz}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u66f8\u304f\u3068\u3001\u305d\u306e\u4fc2\u6570 \\(a_n\\) \u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(f,s)=\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{a_n}{n^s}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046 L \u95a2\u6570\u3092\u4f5c\u308c\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304c\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u3067\u3042\u308b\u3068\u306f\u3001\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u65b0\u5f62\u5f0f\u3092\u9069\u5207\u306b\u9078\u3076\u3068<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)=L(f,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u6210\u7acb\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u5f62\u3067\u8868\u305b\u308b\u3002\u7279\u306b\u3001\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3067\u306f\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u306e Fourier \u4fc2\u6570 \\(a_p\\) \u3068\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304b\u3089\u5f97\u305f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3002\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089\u51fa\u767a\u3057\u305f\u6574\u6570\u5217\u3068\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u306e Fourier \u4fc2\u6570\u304c\u540c\u3058\u306b\u306a\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u5074\u306e\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3092\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u5074\u306e\u89e3\u6790\u7406\u8ad6\u3078\u79fb\u305b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u3067\u306f\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u3068\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a\u306e\u5f79\u5272\u3092\u5206\u3051\u3066\u8003\u3048\u308b\u3068\u5206\u304b\u308a\u3084\u3059\u3044\u3002\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u306f\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e L \u95a2\u6570\u3092\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u306e L \u95a2\u6570\u3068\u540c\u4e00\u8996\u3059\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u306e L \u95a2\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f Hecke \u306e\u7406\u8ad6\u304b\u3089\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a\u3068\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b<a href=\"#ref2\">[2]<\/a>\u3002\u3053\u306e\u4e8c\u6bb5\u968e\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u306e\u53ce\u675f\u9818\u57df\u3092\u8d8a\u3048\u3066 \\(L(E,s)\\) \u3092\u8907\u7d20\u5e73\u9762\u5168\u4f53\u3067\u6271\u3048\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u6bb5\u968e<\/th>\n<th>\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3082\u306e<\/th>\n<th>BSD \u4e88\u60f3\u3078\u306e\u5f79\u5272<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf<\/td>\n<td>\\(a_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)\\)<\/td>\n<td>\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3092\u5f97\u308b\u3002<\/td>\n<td>L \u95a2\u6570\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u4fc2\u6570\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d<\/td>\n<td>\\(L(E,s)\\)<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u4e00\u3064\u306e\u95a2\u6570\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u89e3\u6790\u5074\u3067\u8abf\u3079\u308b\u5bfe\u8c61\u3092\u4f5c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027<\/td>\n<td>\\(L(E,s)=L(f,s)\\)<\/td>\n<td>\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e L \u95a2\u6570\u3092\u91cd\u3055 \\(2\\) \u306e\u65b0\u5f62\u5f0f\u306e L \u95a2\u6570\u3068\u540c\u4e00\u8996\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u89e3\u6790\u7406\u8ad6\u3092\u5229\u7528\u53ef\u80fd\u306b\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a<\/td>\n<td>\\(L(E,s)\\) \u306e\u8907\u7d20\u5e73\u9762\u3078\u306e\u5ef6\u9577<\/td>\n<td>\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u304c\u76f4\u63a5\u53ce\u675f\u3059\u308b\u9818\u57df\u306e\u5916\u3067\u3082\u95a2\u6570\u3092\u5b9a\u7fa9\u3067\u304d\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u306e\u5024\u3084\u5fae\u5206\u3092\u6271\u3048\u308b\u3088\u3046\u306b\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f<\/td>\n<td>\\(\\Lambda(E,s)=w_E\\Lambda(E,2-s)\\)<\/td>\n<td>\\(s\\) \u3068 \\(2-s\\) \u306e\u5bfe\u79f0\u6027\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(s=1\\) \u304c L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u660e\u78ba\u306b\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u3082 BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4f4d\u7f6e\u3092\u7406\u89e3\u3059\u308b\u3046\u3048\u3067\u91cd\u8981\u3067\u3042\u308b\u3002\u5c0e\u624b \\(N_E\\) \u3068\u30ac\u30f3\u30de\u95a2\u6570\u3092\u7528\u3044\u3066\u5b8c\u5099 L \u95a2\u6570\u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Lambda(E,s)<br \/>\n=<br \/>\nN_E^{s\/2}(2\\pi)^{-s}\\Gamma(s)L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5b9a\u7fa9\u3059\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Lambda(E,s)<br \/>\n=<br \/>\nw_E\\Lambda(E,2-s),<br \/>\n\\qquad<br \/>\nw_E\\in\\{+1,-1\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\\(w_E\\) \u306f\u30eb\u30fc\u30c8\u6570\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u7b26\u53f7\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u306e\u5f0f\u3067\u306f \\(s\\) \u3068 \\(2-s\\) \u304c\u5165\u308c\u66ff\u308f\u308b\u305f\u3081\u3001\u305d\u306e\u5bfe\u79f0\u6027\u306e\u4e2d\u5fc3\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\ns=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306b\u306a\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u304c \\(s=1\\) \u3092\u7279\u5225\u306a\u70b9\u3068\u3057\u3066\u9078\u3093\u3067\u3044\u308b\u306e\u306f\u3001\u4efb\u610f\u306e\u8a55\u4fa1\u70b9\u3092\u6307\u5b9a\u3057\u3066\u3044\u308b\u305f\u3081\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001L \u95a2\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u306e\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u304c\u6301\u3064\u4e2d\u5fc3\u3060\u304b\u3089\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u30eb\u30fc\u30c8\u6570\u304c \\(w_E=-1\\) \u306e\u5834\u5408\u3001\u4e2d\u5fc3 \\(s=1\\) \u3092\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u3078\u4ee3\u5165\u3059\u308b\u3068<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\Lambda(E,1)=-\\Lambda(E,1)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u305f\u3081\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)=0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u5f37\u5236\u3055\u308c\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u306e\u5bfe\u79f0\u6027\u304b\u3089\u3001\u4e2d\u5fc3\u306b\u304a\u3051\u308b\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570\u306e\u5076\u5947\u306f\u30eb\u30fc\u30c8\u6570\u3068\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002\\(w_E=+1\\) \u306a\u3089\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u306f\u5076\u6570\u3001\\(w_E=-1\\) \u306a\u3089\u5947\u6570\u306b\u306a\u308b\u3002\u3053\u306e\u6642\u70b9\u3067\u3059\u3067\u306b\u3001\\(s=1\\) \u306b\u304a\u3051\u308b L \u95a2\u6570\u306e\u6d88\u3048\u65b9\u304c\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3054\u3068\u306b\u56fa\u6709\u306e\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u304c\u898b\u3048\u3066\u304f\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a\u306b\u3088\u3063\u3066 \\(s=1\\) \u304c\u5b9a\u7fa9\u57df\u306b\u5165\u308a\u3001\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u306b\u3088\u3063\u3066 \\(s=1\\) \u304c\u5bfe\u79f0\u6027\u306e\u4e2d\u5fc3\u3068\u3057\u3066\u6307\u5b9a\u3055\u308c\u308b\u3002\u305d\u3053\u3067 \\(L(E,s)\\) \u3092 \\(s=1\\) \u306e\u5468\u56f2\u3067 Taylor \u5c55\u958b\u3057\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n=<br \/>\nc_r(s-1)^r<br \/>\n+<br \/>\nc_{r+1}(s-1)^{r+1}<br \/>\n+\\cdots,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nc_r\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u66f8\u3051\u308b\u3002\u6700\u521d\u306b\u975e\u96f6\u3068\u306a\u308b\u9805\u306e\u6b21\u6570 \\(r\\) \u306f\u3001\\(L(E,s)\\) \u304c \\(s=1\\) \u3067\u4f55\u6b21\u306e\u96f6\u70b9\u3092\u6301\u3064\u304b\u3092\u8868\u3059\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3046\u3057\u3066\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089\u59cb\u307e\u3063\u305f\u89e3\u6790\u5074\u306e\u7d4c\u8def\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\na_p<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u5f62\u5f0f}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u307e\u3067\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002\u7b2c 2 \u7ae0\u3067\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u7121\u9650\u90e8\u5206\u3092\u6e2c\u308b\u6574\u6570\u3068\u3057\u3066\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u304c\u73fe\u308c\u305f\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u3082\u3001\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306b\u304a\u3051\u308b\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570\u3068\u3044\u3046\u5225\u306e\u6574\u6570\u304c\u73fe\u308c\u305f\u3053\u3068\u306b\u306a\u308b\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f BSD \u4e88\u60f3\u306e\u6700\u521d\u306e\u6838\u5fc3\u3068\u3057\u3066\u3001\u3053\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u4e3b\u5f35\u3092\u898b\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>7. BSD \u4e88\u60f3\u306f\u5927\u57df\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u306b\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b<\/h2>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u3067\u3001\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u304b\u3089\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u73fe\u308c\u305f\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\oplus\\mathbf Z^{r_{\\mathrm{alg}}}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u968e\u6570 \\(r_{\\mathrm{alg}}\\) \u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u3001\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3092 L \u95a2\u6570\u3078\u96c6\u7d04\u3057\u3001\u305d\u306e\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570 \\(r_{\\mathrm{an}}\\) \u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u7b2c\u4e00\u306e\u4e3b\u5f35\u306f\u3001\u3053\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\(L(E,s)\\) \u3092 \\(s=1\\) \u306e\u5468\u56f2\u3067 Taylor \u5c55\u958b\u3057\u3001\u6700\u521d\u306b\u975e\u96f6\u3068\u306a\u308b\u9805\u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n=<br \/>\nc(s-1)^{r_{\\mathrm{an}}}<br \/>\n+<br \/>\n\\text{\u9ad8\u6b21\u306e\u9805},<br \/>\n\\qquad<br \/>\nc\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u66f8\u304f\u3002\u3053\u306e \\(r_{\\mathrm{an}}\\) \u3092\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u547c\u3076\u3002\u5225\u306e\u66f8\u304d\u65b9\u3092\u3059\u308c\u3070\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nr_{\\mathrm{an}}<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u3042\u308b\u3002\\(\\operatorname{ord}_{s=1}\\) \u306f\u3001\\(s=1\\) \u3067 L \u95a2\u6570\u304c\u4f55\u6b21\u307e\u3067\u6d88\u3048\u308b\u304b\u3092\u8868\u3059\u3002\u5024\u305d\u306e\u3082\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u6700\u521d\u306b\u975e\u96f6\u3068\u306a\u308b Taylor \u4fc2\u6570\u304c\u4f55\u968e\u5fae\u5206\u3067\u73fe\u308c\u308b\u304b\u3092\u6570\u3048\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3001\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u306f Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u968e\u6570\u3067\u3042\u308a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nr_{\\mathrm{alg}}<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u66f8\u304f\u3002\u3053\u308c\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306b\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u304c\u4f55\u500b\u5fc5\u8981\u304b\u3092\u8868\u3059\u6574\u6570\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\nr_{\\mathrm{alg}}<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n=<br \/>\nr_{\\mathrm{an}}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u4e3b\u5f35\u3059\u308b\u3002Clay Mathematics Institute \u3082\u3001BSD \u4e88\u60f3\u3092\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089\u4f5c\u3089\u308c\u308b\u89e3\u6790\u7684\u60c5\u5831\u3068\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u308b\u554f\u984c\u3068\u3057\u3066\u4f4d\u7f6e\u4ed8\u3051\u3066\u304a\u308a\u30012026 \u5e74 9 \u6708\u6642\u70b9\u3067\u3082\u672a\u89e3\u6c7a\u306e Millennium Prize Problem \u3067\u3042\u308b<a href=\"#ref5\">[5]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u7b49\u5f0f\u306e\u4e21\u8fba\u306f\u3001\u69cb\u6210\u65b9\u6cd5\u304c\u5927\u304d\u304f\u7570\u306a\u308b\u3002\\(r_{\\mathrm{alg}}\\) \u306f\u6709\u7406\u6570\u4f53 \\(\\mathbf Q\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u3092\u7fa4\u3068\u3057\u3066\u8abf\u3079\u3066\u5f97\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\\(r_{\\mathrm{an}}\\) \u306f\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3067\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u3092\u6570\u3048\u3001\u305d\u306e\u60c5\u5831\u3092 L \u95a2\u6570\u3078\u307e\u3068\u3081\u3001\u3055\u3089\u306b\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u306e\u89e3\u6790\u7684\u306a\u6d88\u3048\u65b9\u3092\u8abf\u3079\u3066\u5f97\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u89b3\u70b9<\/th>\n<th>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(r_{\\mathrm{alg}}\\)<\/th>\n<th>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(r_{\\mathrm{an}}\\)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u51fa\u767a\u70b9<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u6570\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9 \\(E(\\mathbf F_p)\\) \u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u4e2d\u9593\u69cb\u9020<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4\u3092\u6709\u9650\u90e8\u5206\u3068\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306b\u5206\u89e3\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u304b\u3089 \\(a_p\\) \u3092\u4f5c\u308a\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3068\u3057\u3066 \\(L(E,s)\\) \u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u6e2c\u308b\u91cf<\/td>\n<td>\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u306e\u6570\u3092\u6e2c\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(s=1\\) \u306b\u304a\u3051\u308b L \u95a2\u6570\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3092\u6e2c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u6570\u8ad6\u4e0a\u306e\u610f\u5473<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u304c\u7121\u9650\u306b\u5e83\u304c\u308b\u81ea\u7531\u5ea6\u3092\u8868\u3059\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u3092\u96c6\u7a4d\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u304c\u4e2d\u5fc3\u3067\u3069\u306e\u7a0b\u5ea6\u6d88\u3048\u308b\u304b\u3092\u8868\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>BSD \u4e88\u60f3<\/td>\n<td colspan=\"2\">\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u5e38\u306b\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u4e88\u60f3\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u5177\u4f53\u7684\u306b\u898b\u308b\u3068\u5bfe\u5fdc\u306f\u5206\u304b\u308a\u3084\u3059\u3044\u3002\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(0\\) \u306a\u3089\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306f\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3082 \\(0\\) \u3068\u4e88\u6e2c\u3059\u308b\u3002\u305d\u306e\u5834\u5408\u3001L \u95a2\u6570\u306f\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u6d88\u3048\u305a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(1\\) \u306a\u3089\u3001\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u4e00\u5ea6\u3060\u3051\u6d88\u3048\u308b\u3053\u3068\u304c\u4e88\u60f3\u3055\u308c\u308b\u3002\u3059\u306a\u308f\u3061\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(2\\) \u306a\u3089\u3001\u5024\u3068\u4e00\u6b21\u5fae\u5206\u304c\u3068\u3082\u306b\u6d88\u3048\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nL'(E,1)=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nL&#8221;(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3053\u3068\u304c\u4e88\u60f3\u3055\u308c\u308b\u3002\u4e00\u822c\u306b\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u306a\u3089\u3001\\(r-1\\) \u968e\u307e\u3067\u306e\u5fae\u5206\u304c\u4e2d\u5fc3\u3067\u6d88\u3048\u3001\\(r\\) \u968e\u5fae\u5206\u3067\u521d\u3081\u3066\u975e\u96f6\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u4e88\u60f3\u3055\u308c\u308b\u30e9\u30f3\u30af<\/th>\n<th>\\(s=1\\) \u306b\u304a\u3051\u308b L \u95a2\u6570\u306e\u632f\u308b\u821e\u3044<\/th>\n<th>\u89e3\u6790\u7684\u610f\u5473<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(r=0\\)<\/td>\n<td>\\(L(E,1)\\neq0\\)<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306f\u96f6\u70b9\u306b\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r=1\\)<\/td>\n<td>\\(L(E,1)=0,\\ L'(E,1)\\neq0\\)<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306f 1 \u6b21\u306e\u96f6\u70b9\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r=2\\)<\/td>\n<td>\\(L(E,1)=L'(E,1)=0,\\ L&#8221;(E,1)\\neq0\\)<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306f 2 \u6b21\u306e\u96f6\u70b9\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(r\\ge3\\)<\/td>\n<td>\\(L^{(0)}(E,1)=\\cdots=L^{(r-1)}(E,1)=0,\\ L^{(r)}(E,1)\\neq0\\)<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u304c \\(r\\) \u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u7b2c 6 \u7ae0\u3067\u898b\u305f\u30eb\u30fc\u30c8\u6570\u3068\u306e\u95a2\u4fc2\u3082\u3053\u3053\u3078\u63a5\u7d9a\u3059\u308b\u3002\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u306e\u7b26\u53f7 \\(w_E\\) \u306f\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u5076\u5947\u3092\u5236\u7d04\u3059\u308b\u3002\\(w_E=+1\\) \u306a\u3089 \\(r_{\\mathrm{an}}\\) \u306f\u5076\u6570\u3001\\(w_E=-1\\) \u306a\u3089\u5947\u6570\u306b\u306a\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u304c\u6b63\u3057\u3051\u308c\u3070\u3001\u3053\u308c\u306f\u305d\u306e\u307e\u307e\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u5076\u5947\u306b\u3082\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u3053\u3053\u3067\u898b\u3048\u3066\u3044\u308b\u306e\u306f BSD \u4e88\u60f3\u306e\u6700\u521d\u306e\u5c64\u3067\u3042\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u306f\u3001\u300cL \u95a2\u6570\u304c\u4e2d\u5fc3\u3067\u4f55\u6b21\u307e\u3067\u6d88\u3048\u308b\u304b\u300d\u3068\u300c\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306b\u72ec\u7acb\u306a\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u304c\u3044\u304f\u3064\u3042\u308b\u304b\u300d\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u7cbe\u5bc6\u306a BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001\u305d\u306e\u96f6\u70b9\u306e\u5f8c\u306b\u6700\u521d\u306b\u73fe\u308c\u308b\u975e\u96f6\u4fc2\u6570\u306e\u5927\u304d\u3055\u307e\u3067\u7b97\u8853\u7684\u306b\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u305f\u3081\u3001\u6b21\u306b\u7406\u89e3\u3059\u3079\u304d\u8ab2\u984c\u306f\u3001\u306a\u305c\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u304b\u3089\u4f5c\u3063\u305f L \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u9593\u306b\u3053\u306e\u3088\u3046\u306a\u5bfe\u5fdc\u304c\u751f\u3058\u5f97\u308b\u306e\u304b\u3068\u3044\u3046\u70b9\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e21\u8005\u3092\u76f4\u63a5\u7d50\u3076\u3088\u308a\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068 Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001\u305d\u306e\u9593\u3092\u57cb\u3081\u308b\u69cb\u9020\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>8. \u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3068\u6709\u7406\u70b9\u306e\u9593\u306b\u306f\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304c\u3042\u308b<\/h2>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u3067\u306f\u3001\u89e3\u6790\u5074\u306b L \u95a2\u6570\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u306b Mordell\u2013Weil \u7fa4\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002\u4e21\u8005\u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u4e26\u3079\u308b\u3068\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089\u4f5c\u3063\u305f\u89e3\u6790\u95a2\u6570\u3068\u3001\u6709\u7406\u6570\u4e0a\u306e\u70b9\u306e\u7fa4\u69cb\u9020\u304c\u76f4\u63a5\u5bfe\u5fdc\u3057\u3066\u3044\u308b\u3088\u3046\u306b\u898b\u3048\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u4ee3\u6570\u5074\u306b\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068\u5404\u5c40\u6240\u4f53\u3067\u306e\u53ef\u89e3\u6027\u3092\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u308b\u4e2d\u9593\u5c64\u304c\u3042\u308b\u3002\u305d\u306e\u4ee3\u8868\u304c\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6574\u6570 \\(n\\ge2\\) \u3092\u56fa\u5b9a\u3059\u308b\u3002\u307e\u305a\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3092<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u6709\u9650\u306a\u5546\u3078\u843d\u3068\u3059\u3002\u3053\u308c\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9 \\(P\\) \u3068 \\(P+nQ\\) \u3092\u540c\u3058\u3082\u306e\u3068\u3057\u3066\u6271\u3044\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u60c5\u5831\u3092\u300c\\(n\\) \u500d\u3057\u305f\u70b9\u3092\u9664\u3044\u305f\u6b8b\u308a\u300d\u3078\u5727\u7e2e\u3059\u308b\u64cd\u4f5c\u3067\u3042\u308b\u3002Mordell\u2013Weil \u7fa4\u304c<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)\\simeq E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\oplus\\mathbf Z^r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5206\u89e3\u3055\u308c\u308b\u3053\u3068\u3092\u4f7f\u3048\u3070\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{\\mathbf Z^r}{n\\mathbf Z^r}<br \/>\n\\simeq<br \/>\n(\\mathbf Z\/n\\mathbf Z)^r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\(E(\\mathbf Q)\/nE(\\mathbf Q)\\) \u306b\u306f\u3001\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u306e\u60c5\u5831\u304c\u6709\u9650\u7fa4\u306e\u5927\u304d\u3055\u3068\u3057\u3066\u6b8b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u6709\u9650\u7fa4\u3092\u76f4\u63a5\u6c42\u3081\u308b\u305f\u3081\u306b\u306f\u3001\u3069\u306e\u70b9\u304c \\(n\\) \u500d\u70b9\u3068\u3057\u3066\u5b9f\u73fe\u3059\u308b\u304b\u3092\u8abf\u3079\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u305d\u3053\u3067\u4f7f\u308f\u308c\u308b\u306e\u304c Kummer \u5199\u50cf\u3067\u3042\u308b\u3002\\(n\\)-\u6369\u308c\u70b9\u306e\u7fa4 \\(E[n]\\) \u3092\u4f7f\u3046\u3068\u3001\u6709\u7406\u70b9\u306e\u5546\u304b\u3089\u30ac\u30ed\u30a2\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u3078<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\delta:<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nH^1(\\mathbf Q,E[n])<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5199\u50cf\u3092\u4f5c\u308c\u308b\u3002\u3053\u3053\u3067 \\(H^1(\\mathbf Q,E[n])\\) \u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e \\(n\\)-\u6369\u308c\u70b9\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u30ac\u30ed\u30a2\u4f5c\u7528\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u5927\u57df\u7684\u306a\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u3053\u306e\u5927\u57df\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u7fa4\u5168\u4f53\u306f\u5019\u88dc\u304c\u5e83\u3059\u304e\u308b\u3002\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u985e\u306f\u3001\u5404\u5c40\u6240\u4f53\u3067\u3082\u540c\u3058 Kummer \u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u305d\u3053\u3067\u3001\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240 \\(v\\) \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u6709\u7406\u6570\u4f53\u3092\u5c40\u6240\u5316\u3057\u3001\u5b9f\u6570\u4f53 \\(\\mathbf R\\) \u3084 \\(p\\)-\u9032\u4f53 \\(\\mathbf Q_p\\) \u4e0a\u3067\u3082<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q_v)}{nE(\\mathbf Q_v)}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nH^1(\\mathbf Q_v,E[n])<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5c40\u6240 Kummer \u5199\u50cf\u3092\u8003\u3048\u308b\u3002\u5927\u57df\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u306e\u3046\u3061\u3001\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240 \\(v\\) \u3067\u5c40\u6240 Kummer \u5199\u50cf\u306e\u50cf\u306b\u5165\u308b\u3082\u306e\u3060\u3051\u3092\u6b8b\u3057\u305f\u6709\u9650\u7fa4\u304c \\(n\\)-\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4 \\(\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)\\) \u3067\u3042\u308b<a href=\"#ref6\">[6]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u5b9a\u7fa9\u3092\u69cb\u9020\u3068\u3057\u3066\u66f8\u3051\u3070\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306f\u6982\u7565<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\left\\{<br \/>\nc\\in H^1(\\mathbf Q,E[n])<br \/>\n\\;\\middle|\\;<br \/>\nc_v\\in\\operatorname{im}<br \/>\n\\left(<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q_v)}{nE(\\mathbf Q_v)}<br \/>\n\\to<br \/>\nH^1(\\mathbf Q_v,E[n])<br \/>\n\\right)<br \/>\n\\text{ for all }v<br \/>\n\\right\\}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u5927\u57df\u7684\u306a\u5019\u88dc\u3092\u307e\u305a\u4f5c\u308a\u3001\u305d\u308c\u3092\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3067\u3075\u308b\u3044\u306b\u304b\u3051\u308b\u69cb\u9020\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u6bb5\u968e<\/th>\n<th>\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u5f79\u5272<\/th>\n<th>\u6b8b\u308b\u60c5\u5831<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u305d\u306e\u3082\u306e\u3092\u6271\u3046\u3002<\/td>\n<td>\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3068\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u3092\u542b\u3080\u5b8c\u5168\u306a\u7fa4\u69cb\u9020\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(n\\) \u500d\u306b\u3088\u308b\u5546<\/td>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\/nE(\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u7121\u9650\u7fa4\u3092\u6709\u9650\u7fa4\u3078\u5727\u7e2e\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304b\u3089 \\((\\mathbf Z\/n\\mathbf Z)^r\\) \u304c\u6b8b\u308a\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u60c5\u5831\u3092\u4fdd\u6301\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5927\u57df\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc<\/td>\n<td>\\(H^1(\\mathbf Q,E[n])\\)<\/td>\n<td>\\(n\\)-\u6369\u308c\u70b9\u3078\u306e\u30ac\u30ed\u30a2\u4f5c\u7528\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u3001\u5927\u57df\u7684\u306a\u5019\u88dc\u3092\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u6765\u308b\u3082\u306e\u3088\u308a\u5e83\u3044\u5019\u88dc\u96c6\u5408\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5c40\u6240\u6761\u4ef6<\/td>\n<td>\\(H^1(\\mathbf Q_v,E[n])\\)<\/td>\n<td>\u5404\u5b9f\u6570\u4f53\u30fb\\(p\\)-\u9032\u4f53\u3067\u5b9f\u73fe\u53ef\u80fd\u306a\u5019\u88dc\u3060\u3051\u3092\u6b8b\u3059\u3002<\/td>\n<td>\u5834\u6240 \\(v\\) \u3054\u3068\u306e\u53ef\u89e3\u6027\u6761\u4ef6\u3092\u53cd\u6620\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4<\/td>\n<td>\\(\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u5927\u57df\u5019\u88dc\u3092\u96c6\u3081\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3092\u542b\u307f\u306a\u304c\u3089\u6709\u9650\u3067\u3042\u308a\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e0a\u754c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u69cb\u9020\u304b\u3089\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304c\u306a\u305c\u30e9\u30f3\u30af\u8a08\u7b97\u306b\u4f7f\u3048\u308b\u304b\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u985e\u306f\u5fc5\u305a\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u305f\u3081\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\hookrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5358\u5c04\u304c\u3042\u308b\u3002\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306f\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u6709\u9650\u5546\u3092\u5185\u90e8\u306b\u542b\u3080\u305f\u3081\u3001\u305d\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092\u8a08\u7b97\u3059\u308c\u3070\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u968e\u6570\u306b\u4e0a\u9650\u3092\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7279\u306b \\(n=\\ell\\) \u3092\u7d20\u6570\u3068\u3057\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u306e\u5f71\u97ff\u3092\u5206\u96e2\u3067\u304d\u308b\u72b6\u6cc1\u3067\u306f\u3001\\(\\mathbf F_\\ell\\) \u4e0a\u306e\u6b21\u5143\u3092\u4f7f\u3063\u3066\u6982\u7565<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nr<br \/>\n\\le<br \/>\n\\dim_{\\mathbf F_\\ell}<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(\\ell)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u306e\u4e0a\u754c\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u5b9f\u969b\u306e\u964d\u4e0b\u6cd5\u3067\u306f\u30012-Selmer \u7fa4\u3084 \\(p\\)-Selmer \u7fa4\u3092\u8a08\u7b97\u3057\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u5019\u88dc\u3092\u6709\u9650\u7bc4\u56f2\u3078\u7d5e\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306b\u5165\u3063\u305f\u5168\u3066\u306e\u985e\u304c\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u3068\u306f\u9650\u3089\u306a\u3044\u3002\u305d\u306e\u5dee\u3092\u6b63\u78ba\u306b\u8a18\u9332\u3059\u308b\u306e\u304c Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e21\u8005\u306e\u95a2\u4fc2\u306f\u77ed\u5b8c\u5168\u5217<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[n]<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u8868\u3055\u308c\u308b<a href=\"#ref6\">[6]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u5de6\u7aef\u306f\u5b9f\u969b\u306e\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u90e8\u5206\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e2d\u592e\u306f\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u305f\u5927\u57df\u5019\u88dc\u3067\u3042\u308b\u3002\u53f3\u7aef\u306e \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[n]\\) \u306f\u3001\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u5168\u3066\u901a\u904e\u3057\u306a\u304c\u3089\u3001\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u306f\u751f\u3058\u306a\u304b\u3063\u305f\u6b8b\u308a\u3092\u8868\u3059\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u77ed\u5b8c\u5168\u5217\u306e\u9805<\/th>\n<th>\u610f\u5473<\/th>\n<th>\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u306e\u95a2\u4fc2<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(E(\\mathbf Q)\/nE(\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u5f97\u3089\u308c\u308b\u6709\u9650\u306a\u60c5\u5831\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5927\u57df\u7684\u306b\u5b9f\u73fe\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u5019\u88dc\u3092\u96c6\u3081\u305f\u6709\u9650\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u7684\u306b\u306f\u5b9f\u73fe\u53ef\u80fd\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[n]\\)<\/td>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3068\u306e\u5dee\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u306a\u304c\u3089\u3001\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u306b\u306f\u5bfe\u5fdc\u3057\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u77ed\u5b8c\u5168\u5217\u306f\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4ee3\u6570\u5074\u3092\u7406\u89e3\u3059\u308b\u3046\u3048\u3067\u91cd\u8981\u306a\u4f4d\u7f6e\u3092\u5360\u3081\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u306f\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3092\u6e2c\u308b\u304c\u3001\u305d\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u8abf\u3079\u308b\u904e\u7a0b\u3067\u306f\u3001\u307e\u305a\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u304b\u3089\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068\u3044\u3046\u6709\u9650\u306a\u4e0a\u754c\u3092\u69cb\u6210\u3057\u3001\u305d\u3053\u304b\u3089 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306b\u3088\u308b\u5dee\u3092\u5206\u96e2\u3059\u308b\u3002\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u304c\u3001\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u305f\u6709\u9650\u7fa4\u3092\u4ecb\u3057\u3066\u7814\u7a76\u3067\u304d\u308b\u69cb\u9020\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u3067\u300c\u5c40\u6240\u304b\u3089\u5927\u57df\u3078\u9032\u3080\u300d\u3068\u3044\u3046\u69cb\u56f3\u306f\u89e3\u6790\u5074\u3060\u3051\u306b\u73fe\u308c\u3066\u3044\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u3001\u5404\u7d20\u6570\u306e \\(a_p\\) \u3092\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3078\u5909\u63db\u3057\u3001L \u95a2\u6570\u3078\u96c6\u7d04\u3057\u305f\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u3001\u5404\u5c40\u6240\u4f53 \\(\\mathbf Q_v\\) \u3067\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3078\u96c6\u7d04\u3057\u3001\u305d\u3053\u304b\u3089\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u5206\u96e2\u3059\u308b\u3002\u4e21\u5074\u3068\u3082\u3001\u591a\u6570\u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u307e\u3068\u3081\u3066\u5927\u57df\u7684\u306a\u69cb\u9020\u3092\u8aad\u3080\u3068\u3044\u3046\u540c\u578b\u306e\u69cb\u6210\u3092\u6301\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u77ed\u5b8c\u5168\u5217\u306e\u53f3\u7aef\u306b\u73fe\u308c\u305f \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u3092\u8a73\u3057\u304f\u898b\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u3001\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u4f53\u3067\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u3066\u3044\u3066\u3082\u3001\u5927\u57df\u7684\u306b\u306f\u6709\u7406\u70b9\u3078\u6301\u3061\u4e0a\u304c\u3089\u306a\u3044\u73fe\u8c61\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u7fa4\u3067\u3042\u308a\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u3067\u306f\u305d\u306e\u4f4d\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u304c L \u95a2\u6570\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u306b\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>9. \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306f\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3060\u3051\u3067\u306f\u6d88\u3048\u306a\u3044\u5927\u57df\u7684\u969c\u5bb3\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b<\/h2>\n<p>\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u5dee\u3068\u3057\u3066 Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u304c\u73fe\u308c\u305f\u3002\u77ed\u5b8c\u5168\u5217<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[n]<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306b\u542b\u307e\u308c\u308b\u5019\u88dc\u306e\u3046\u3061\u3001\u5b9f\u969b\u306e\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u90e8\u5206\u3092\u9664\u3044\u305f\u6b8b\u308a\u304c \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[n]\\) \u306b\u306a\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u7406\u89e3\u3059\u308b\u3053\u3068\u306f\u3001\u300c\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u305f\u5019\u88dc\u304c\u3001\u306a\u305c\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u3078\u5c4a\u304b\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u306e\u304b\u300d\u3092\u7406\u89e3\u3059\u308b\u3053\u3068\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\ker\\left(<br \/>\nH^1(\\mathbf Q,E)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\prod_v H^1(\\mathbf Q_v,E)<br \/>\n\\right)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u308b<a href=\"#ref6\">[6]<\/a>\u3002\u3053\u3053\u3067 \\(v\\) \u306f \\(\\mathbf Q\\) \u306e\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240\u3092\u8d70\u308a\u3001\u6709\u9650\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b \\(p\\)-\u9032\u4f53 \\(\\mathbf Q_p\\) \u3068\u3001\u7121\u9650\u7d20\u70b9\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u5b9f\u6570\u4f53 \\(\\mathbf R\\) \u3092\u542b\u3080\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5b9a\u7fa9\u3092\u8aad\u3080\u306b\u306f\u3001\\(H^1(\\mathbf Q,E)\\) \u304c\u4f55\u3092\u5206\u985e\u3057\u3066\u3044\u308b\u304b\u3092\u898b\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u305d\u306e\u5143\u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u3092\u5bfe\u79f0\u6027\u3068\u3057\u3066\u6301\u3064\u4e3b\u7b49\u8cea\u7a7a\u9593\u3001\u3059\u306a\u308f\u3061 \\(E\\)-\u30c8\u30fc\u30b5\u30fc\u3068\u547c\u3070\u308c\u308b\u66f2\u7dda\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u5834\u5408\u3001\u3053\u308c\u306f\u9069\u5207\u306a\u57fa\u70b9\u3092\u4e00\u3064\u9078\u3079\u3070 \\(E\\) \u3068\u540c\u3058\u7fa4\u69cb\u9020\u3092\u6301\u3064\u7a2e\u6570 \\(1\\) \u306e\u66f2\u7dda\u3068\u3057\u3066\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u9055\u3044\u306f\u3001\u305d\u306e\u57fa\u70b9\u304c \\(\\mathbf Q\\) \u4e0a\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3068\u306f\u9650\u3089\u306a\u3044\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u7a2e\u6570 \\(1\\) \u306e\u66f2\u7dda \\(C\\) \u304c\u6709\u7406\u70b9 \\(P\\in C(\\mathbf Q)\\) \u3092\u4e00\u3064\u6301\u3066\u3070\u3001\u305d\u306e\u70b9\u3092\u539f\u70b9\u3068\u3057\u3066\u9078\u3076\u3053\u3068\u3067 \\(C\\) \u3092\u305d\u306e Jacobian \u3067\u3042\u308b\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u3068\u540c\u4e00\u8996\u3067\u304d\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\\(C(\\mathbf Q)\\) \u304c\u7a7a\u306a\u3089\u3001\u5c40\u6240\u7684\u306b\u306f \\(E\\) \u3068\u540c\u3058\u69cb\u9020\u3092\u6301\u3063\u3066\u3044\u3066\u3082\u3001\u5927\u57df\u7684\u306a\u539f\u70b9\u3092\u9078\u3079\u306a\u3044\u3002<\/p>\n<p>\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306b\u5165\u308b\u5143\u306f\u3001\u3055\u3089\u306b\u5f37\u3044\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u305d\u306e\u5143\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u66f2\u7dda \\(C\\) \u306f\u3001\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240 \\(v\\) \u306b\u3064\u3044\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nC(\\mathbf Q_v)\\neq\\varnothing<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u3064\u307e\u308a\u3001\u5b9f\u6570\u4e0a\u3067\u3082\u3001\u5168\u3066\u306e \\(p\\)-\u9032\u6570\u4e0a\u3067\u3082\u89e3\u3092\u6301\u3064\u3002\u305d\u308c\u3067\u3082<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nC(\\mathbf Q)=\\varnothing<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u5834\u5408\u304c\u3042\u308b\u3002\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306f\u3001\u3053\u306e\u5c40\u6240\u53ef\u89e3\u6027\u3068\u5927\u57df\u53ef\u89e3\u6027\u306e\u305a\u308c\u3092\u96c6\u3081\u305f\u7fa4\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u72b6\u614b<\/th>\n<th>\u5c40\u6240\u4f53 \\(\\mathbf Q_v\\) \u4e0a<\/th>\n<th>\u6709\u7406\u6570\u4f53 \\(\\mathbf Q\\) \u4e0a<\/th>\n<th>\u610f\u5473<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u5927\u57df\u70b9\u3092\u6301\u3064\u30c8\u30fc\u30b5\u30fc<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240\u3067\u70b9\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<td>\u57fa\u70b9\u3092\u9078\u3093\u3067\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\\) \u3068\u540c\u4e00\u8996\u3067\u304d\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u3067\u306f\u81ea\u660e\u306a\u5143\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3067\u5931\u6557\u3059\u308b\u30c8\u30fc\u30b5\u30fc<\/td>\n<td>\u5c11\u306a\u304f\u3068\u3082\u4e00\u3064\u306e\u5834\u6240\u3067\u70b9\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u3082\u6301\u305f\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u691c\u67fb\u306e\u6bb5\u968e\u3067\u6392\u9664\u3055\u308c\u308b\u305f\u3081\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306b\u306f\u5165\u3089\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u975e\u81ea\u660e\u306a\u5143<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5834\u6240\u3067\u70b9\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u901a\u904e\u3057\u306a\u304c\u3089\u3001\u5927\u57df\u7684\u306b\u306f\u5b9f\u73fe\u3057\u306a\u3044\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u969c\u5bb3\u3092\u8868\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u73fe\u8c61\u306f\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u7834\u308c\u3068\u3057\u3066\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u65b9\u7a0b\u5f0f\u3092\u6709\u7406\u6570\u4e0a\u3067\u89e3\u304d\u305f\u3044\u3068\u304d\u3001\u305d\u306e\u65b9\u7a0b\u5f0f\u304c\u5b9f\u6570\u4e0a\u3067\u89e3\u3051\u308b\u3053\u3068\u3001\u3055\u3089\u306b\u5168\u3066\u306e \\(p\\)-\u9032\u6570\u4e0a\u3067\u89e3\u3051\u308b\u3053\u3068\u306f\u3001\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u89e3\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u305f\u3081\u306e\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u3067\u3042\u308b\u3002\u5404\u5c40\u6240\u4f53\u3067\u89e3\u3051\u306a\u3051\u308c\u3070\u3001\u6709\u7406\u6570\u4e0a\u3067\u3082\u89e3\u3051\u306a\u3044\u3002\u3068\u3053\u308d\u304c\u7a2e\u6570 \\(1\\) \u306e\u66f2\u7dda\u3067\u306f\u3001\u305d\u306e\u5fc5\u8981\u6761\u4ef6\u3092\u5168\u3066\u6e80\u305f\u3057\u3066\u3082\u6709\u7406\u70b9\u304c\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044\u5834\u5408\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u3067\u300c\u5c40\u6240\u300d\u3068\u3044\u3046\u8a00\u8449\u306f\u3001\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u3068 \\(p\\)-\u9032\u4f53 \\(\\mathbf Q_p\\) \u3092\u533a\u5225\u3057\u3066\u8aad\u3080\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u3068\u304d\u306b\u306f\u3001\u826f\u3044\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3067\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3092\u6570\u3048\u3001\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u60c5\u5831\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u305f\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3084 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3067\u4f7f\u3046\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u306f\u3001\u6709\u7406\u6570\u4f53 \\(\\mathbf Q\\) \u3092\u5404\u5834\u6240\u3067\u5b8c\u5099\u5316\u3057\u305f \\(\\mathbf Q_p\\) \u3084 \\(\\mathbf R\\) \u4e0a\u3067\u8abf\u3079\u308b\u3002\u3069\u3061\u3089\u3082\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u5229\u7528\u3059\u308b\u304c\u3001\u89b3\u6e2c\u3057\u3066\u3044\u308b\u5bfe\u8c61\u3068\u5f79\u5272\u306f\u7570\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u5c40\u6240\u60c5\u5831<\/th>\n<th>\u4f7f\u3046\u4f53<\/th>\n<th>\u8abf\u3079\u308b\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>BSD \u4e88\u60f3\u3067\u306e\u5f79\u5272<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>L \u95a2\u6570\u5074<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\)<\/td>\n<td>\\(\\#E(\\mathbf F_p)\\) \u3068\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9 \\(a_p\\) \u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u4f5c\u308a\u3001\u5168\u7d20\u6570\u306e\u60c5\u5831\u3092 \\(L(E,s)\\) \u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u5074<\/td>\n<td>\\(p\\)-\u9032\u4f53 \\(\\mathbf Q_p\\) \u3068 \\(\\mathbf R\\)<\/td>\n<td>\u5927\u57df\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u304c\u5404\u5c40\u6240\u4f53\u3067 Kummer \u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3059\u304b\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u306e\u5019\u88dc\u3092\u5c40\u6240\u53ef\u89e3\u6027\u306b\u3088\u3063\u3066\u7d5e\u308a\u8fbc\u3080\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Sha}\\) \u5074<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e \\(\\mathbf Q_v\\)<\/td>\n<td>\u5168\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u305f\u5f8c\u306b\u3082\u6b8b\u308b\u5927\u57df\u7684\u306a\u969c\u5bb3\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u53ef\u89e3\u6027\u3068\u5927\u57df\u53ef\u89e3\u6027\u306e\u5dee\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u533a\u5225\u3092\u7f6e\u304f\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306b\u73fe\u308c\u308b\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u3088\u308a\u5177\u4f53\u7684\u306b\u306a\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u3092\u5168\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3068 L \u95a2\u6570\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u3001\u5168\u3066\u306e\u5b8c\u5099\u5316 \\(\\mathbf Q_v\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3068\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304c\u3067\u304d\u308b\u3002\u305d\u3057\u3066\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304b\u3089\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u5dee\u3057\u5f15\u3044\u305f\u3068\u3053\u308d\u306b \\(\\operatorname{Sha}\\) \u304c\u6b8b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\(\\operatorname{Sha}\\) \u304c\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u306b\u73fe\u308c\u308b\u7406\u7531\u3082\u3053\u3053\u306b\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u632f\u308b\u821e\u3044\u304c\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3060\u3051\u3092\u53cd\u6620\u3059\u308b\u3068\u8003\u3048\u308b\u3068\u3001\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u306a\u304c\u3089\u5927\u57df\u70b9\u3078\u5bfe\u5fdc\u3057\u306a\u304b\u3063\u305f\u60c5\u5831\u304c\u5f0f\u304b\u3089\u629c\u3051\u843d\u3061\u308b\u3002\u7cbe\u5bc6 BSD \u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u6b20\u640d\u3092 \\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u3068\u3044\u3046\u56e0\u5b50\u3068\u3057\u3066\u660e\u793a\u7684\u306b\u7d44\u307f\u8fbc\u3080\u3002<\/p>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u305d\u306e\u5f0f\u3067\u4f4d\u6570 \\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u3092\u4f7f\u3046\u305f\u3081\u306b\u306f\u3001\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u304c\u6709\u9650\u3067\u3042\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u306f\u6709\u9650\u3067\u3042\u308b\u3068\u4e88\u60f3\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u304c\u3001\u4e00\u822c\u306e\u5834\u5408\u306e\u6709\u9650\u6027\u306f\u672a\u89e3\u6c7a\u3067\u3042\u308b\u3002\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u3053\u306e\u6709\u9650\u6027\u3082\u542b\u3081\u3066\u5927\u57df\u7684\u306a\u7b97\u8853\u69cb\u9020\u3092\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u3067\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u3092\u7d50\u3076\u69cb\u9020\u304c\u898b\u3048\u305f\u3002\u6b21\u306b\u5fc5\u8981\u306a\u306e\u306f\u3001\u3053\u306e\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u69cb\u9020\u3068 L \u95a2\u6570\u5074\u304c\u5b9f\u969b\u306b\u63a5\u89e6\u3059\u308b\u5834\u6240\u3067\u3042\u308b\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u3001\u305d\u306e\u63a5\u70b9\u3092\u5177\u4f53\u7684\u306a\u516c\u5f0f\u3068\u3057\u3066\u4e0e\u3048\u308b\u306e\u304c Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u3067\u3042\u308a\u3001L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3068 Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u76f4\u63a5\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>10. Gross\u2013Zagier \u306f L \u95a2\u6570\u306e\u5fae\u5206\u5024\u3092\u6709\u7406\u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3078\u7d50\u3076<\/h2>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u304c\u4e00\u3064\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u65b9\u5411\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u3060\u3051\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001\u306a\u305c\u8907\u7d20\u89e3\u6790\u3067\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u305f \\(L'(E,1)\\) \u304c\u5177\u4f53\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u306e\u5b58\u5728\u3078\u3064\u306a\u304c\u308b\u306e\u304b\u306f\u898b\u3048\u306b\u304f\u3044\u3002\u305d\u306e\u9593\u306b\u5b9f\u969b\u306e\u6570\u5b66\u7684\u5bfe\u8c61\u3092\u7f6e\u304f\u306e\u304c Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>Gross \u3068 Zagier \u306f\u3001\u9069\u5207\u306a Heegner \u4eee\u5b9a\u3092\u6e80\u305f\u3059\u865a\u4e8c\u6b21\u4f53 \\(K\\) \u306b\u5bfe\u3057\u3066\u3001\u57fa\u5e95\u5909\u63db\u3057\u305f L \u95a2\u6570 \\(L(E\/K,s)\\) \u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3068\u3001Heegner \u70b9 \\(P_K\\) \u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u3092\u7d50\u3076\u516c\u5f0f\u3092\u8a3c\u660e\u3057\u305f<a href=\"#ref7\">[7]<\/a>\u3002\u6982\u5ff5\u7684\u306b\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E\/K,1)<br \/>\n\\quad\\longleftrightarrow\\quad<br \/>\n\\hat h(P_K)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5bfe\u5fdc\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b \\(L(E\/K,s)=L(E,s)L(E^{(D)},s)\\) \u3068\u3044\u3046\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3068\u3001\u9069\u5207\u306a\u4e8c\u6b21\u6369\u308a \\(E^{(D)}\\) \u306e\u4e2d\u5fc3\u5024\u304c\u975e\u96f6\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e \\(E\/\\mathbf Q\\) \u306b\u5bfe\u3059\u308b \\(L'(E,1)\\) \u3068 Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u306e\u95a2\u4fc2\u3078\u79fb\u308b\u3002<\/p>\n<p>Heegner \u70b9\u306f\u3001\u865a\u4e8c\u6b21\u4f53\u306e\u8907\u7d20\u4e57\u6cd5\u3092\u6301\u3064\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3068\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u66f2\u7dda\u4e0a\u306e\u7279\u6b8a\u70b9\u3092\u5229\u7528\u3057\u3066\u69cb\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda \\(E\/\\mathbf Q\\) \u304c\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u3067\u3042\u308c\u3070\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u66f2\u7dda\u304b\u3089 \\(E\\) \u3078\u306e\u5199\u50cf\u3092\u4f7f\u3044\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u66f2\u7dda\u4e0a\u306e Heegner \u70b9\u3092 \\(E\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u3078\u79fb\u305b\u308b\u3002\u3053\u3046\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u70b9\u304c\u3001L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3068\u63a5\u7d9a\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u3067 N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055 \\(\\hat h(P)\\) \u304c\u91cd\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002\u901a\u5e38\u306e\u5ea7\u6a19\u306e\u5927\u304d\u3055\u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u52a0\u6cd5\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u6271\u3044\u3084\u3059\u3044\u5f62\u3067\u632f\u308b\u821e\u3046\u3068\u306f\u9650\u3089\u306a\u3044\u3002N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u306f\u3001\u901a\u5e38\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u7fa4\u69cb\u9020\u306b\u9069\u5408\u3059\u308b\u3088\u3046\u6b63\u898f\u5316\u3057\u305f\u3082\u306e\u3067\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\hat h(nP)=n^2\\hat h(P)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u70b9\u3092 \\(n\\) \u500d\u3059\u308b\u3068\u9ad8\u3055\u304c \\(n^2\\) \u500d\u306b\u306a\u308b\u305f\u3081\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306b\u5bfe\u3059\u308b\u4e8c\u6b21\u5f62\u5f0f\u3068\u3057\u3066\u6a5f\u80fd\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6b63\u78ba\u306a\u516c\u5f0f\u306b\u306f\u5468\u671f\u3001\u5c0e\u624b\u3001\u865a\u4e8c\u6b21\u4f53\u306b\u4ed8\u968f\u3059\u308b\u4fc2\u6570\u306a\u3069\u304c\u5165\u308b\u305f\u3081\u3001\u4e00\u822c\u5f62\u306f\u5358\u7d14\u306a\u7b49\u5f0f\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3078\u9069\u7528\u3059\u308b\u969b\u306b\u306f\u3001\u57fa\u5e95\u5909\u63db\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u3068\u4e8c\u6b21\u6369\u308a\u306e\u56e0\u6570\u5206\u89e3\u3092\u7d4c\u3066\u3001\u975e\u96f6\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3068 Heegner \u70b9\u306e\u975e\u96f6\u306a\u9ad8\u3055\u3092\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u308b\u3002<\/p>\n<p>N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u306b\u306f\u3001\u6369\u308c\u70b9\u306b\u5bfe\u3057\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\hat h(P)=0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308a\u3001\u975e\u6369\u308c\u70b9\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u6b63\u306b\u306a\u308b\u3068\u3044\u3046\u6027\u8cea\u304c\u3042\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\hat h(P)>0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u5c0e\u304b\u308c\u308b\u72b6\u6cc1\u3067\u306f\u3001Heegner \u70b9 \\(P\\) \u306f\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u3092\u6301\u3064\u3002\u3053\u308c\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306b\u5177\u4f53\u7684\u306a\u975e\u96f6\u306e\u65b9\u5411\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u610f\u5473\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3078\u9069\u7528\u3057\u305f\u3068\u304d\u306e\u56e0\u679c\u95a2\u4fc2\u3092\u4e26\u3079\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\hat h(P)>0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nP\\text{ \u306f\u7121\u9650\u4f4d\u6570}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)\\ge1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u6d41\u308c\u306b\u306a\u308b\u3002\u89e3\u6790\u7684\u306a\u5fae\u5206\u5024\u304c\u3001Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u7d4c\u7531\u3057\u3066\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3078\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u3067\u7b2c 7 \u7ae0\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u3068\u306e\u9055\u3044\u304c\u898b\u3048\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u4e21\u7aef\u306e\u6574\u6570\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u306f\u3001\u305d\u306e\u5bfe\u5fdc\u306e\u9593\u306b\u5177\u4f53\u7684\u306a\u70b9\u3068\u9ad8\u3055\u3092\u7f6e\u304f\u3002\u89e3\u6790\u5074\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u304c\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u5b9f\u5728\u3059\u308b\u70b9\u306e\u7b97\u8853\u91cf\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u305f\u3081\u3001L \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u4e00\u6bb5\u5177\u4f53\u5316\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3055\u3089\u306b\u3001\u3053\u306e\u9ad8\u3055\u306f\u5f8c\u306b\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u3078\u73fe\u308c\u308b\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3068\u3082\u3064\u306a\u304c\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u751f\u6210\u5143\u3092 \\(P\\) \u3068\u3059\u308c\u3070\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u306f\u672c\u8cea\u7684\u306b\u305d\u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055 \\(\\hat h(P)\\) \u304b\u3089\u4f5c\u3089\u308c\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066 Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u306f\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e00\u81f4\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001L \u95a2\u6570\u306e\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u3068\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3092\u7d50\u3076\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u69cb\u9020\u306b\u3082\u76f4\u63a5\u63a5\u7d9a\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>BSD \u306e\u5c64<\/th>\n<th>\u89e3\u6790\u5074<\/th>\n<th>\u4ee3\u6570\u5074<\/th>\n<th>Gross\u2013Zagier \u304c\u4e0e\u3048\u308b\u63a5\u7d9a<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u30e9\u30f3\u30af<\/td>\n<td>\\(L(E,s)\\) \u304c \\(s=1\\) \u3067 1 \u6b21\u306e\u96f6\u70b9\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c 1 \u6b21\u5143\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u975e\u96f6\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u304b\u3089\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u306e Heegner \u70b9\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570<\/td>\n<td>\\(L'(E,1)\\) \u304c\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304c\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u5927\u304d\u3055\u3092\u6e2c\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(L'(E,1)\\) \u3068 Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u6bd4\u4f8b\u95a2\u4fc2\u3067\u7d50\u3076\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u4fc2\u6570\u3092\u8a55\u4fa1\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3092\u542b\u3080\u8907\u6570\u306e\u7b97\u8853\u4e0d\u5909\u91cf\u3092\u8a55\u4fa1\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u4e21\u8005\u3092\u7d50\u3076\u4e3b\u8981\u306a\u69cb\u6210\u8981\u7d20\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u306e\u70b9\u304c\u4e00\u3064\u898b\u3064\u304b\u3063\u305f\u3053\u3068\u3060\u3051\u3067\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u5168\u4f53\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u6b63\u78ba\u306b \\(1\\) \u3068\u78ba\u5b9a\u3059\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(2\\) \u4ee5\u4e0a\u3067\u3042\u308b\u53ef\u80fd\u6027\u3092\u6392\u9664\u3057\u3001\u3055\u3089\u306b Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u306b\u306f\u8ffd\u52a0\u306e\u7406\u8ad6\u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002\u305d\u306e\u5f79\u5272\u3092\u62c5\u3046\u306e\u304c Kolyvagin \u306e\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>Gross\u2013Zagier \u306b\u3088\u3063\u3066\u89e3\u6790\u5074\u304b\u3089\u5177\u4f53\u7684\u306a Heegner \u70b9\u304c\u5f97\u3089\u308c\u3001Kolyvagin \u306f\u305d\u306e\u70b9\u3092\u4e00\u3064\u306e\u5b64\u7acb\u3057\u305f\u60c5\u5831\u3068\u3057\u3066\u6271\u3046\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u4e92\u3044\u306b\u6574\u5408\u3059\u308b\u591a\u6570\u306e\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u3078\u62e1\u5f35\u3059\u308b\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u305d\u306e\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u304c\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3057\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u307e\u305f\u306f \\(1\\) \u304b\u3089 Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u307e\u3067\u5c0e\u304f\u904e\u7a0b\u3092\u898b\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>11. Kolyvagin \u306f\u4e00\u3064\u306e\u70b9\u304b\u3089 Mordell\u2013Weil \u7fa4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u5236\u5fa1\u3059\u308b<\/h2>\n<p>\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u3001Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u306b L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206 \\(L'(E,1)\\) \u3068 Heegner \u70b9\u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304c\u7d50\u3073\u4ed8\u304f\u3053\u3068\u3092\u898b\u305f\u3002\u3053\u308c\u306b\u3088\u308a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\hat h(P)>0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nP\\text{ \u306f\u7121\u9650\u4f4d\u6570}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u7d4c\u8def\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u3092\u4e00\u3064\u5f97\u305f\u3060\u3051\u3067\u306f\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u6b63\u78ba\u306b \\(1\\) \u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3082\u3001Tate\u2013Shafarevich \u7fa4\u304c\u6709\u9650\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3082\u78ba\u5b9a\u3057\u306a\u3044\u3002\u305d\u3053\u3067 Kolyvagin \u306f\u3001Heegner \u70b9\u3092\u51fa\u767a\u70b9\u3068\u3057\u3066\u591a\u6570\u306e\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u3092\u69cb\u6210\u3057\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u5168\u4f53\u3092\u5236\u7d04\u3059\u308b\u65b9\u6cd5\u3092\u4f5c\u3063\u305f<a href=\"#ref8\">[8]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u4e2d\u5fc3\u306b\u3042\u308b\u306e\u304c\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u3067\u3042\u308b\u3002\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u306f\u3001\u4e00\u3064\u306e\u6570\u4f53\u4e0a\u306b\u3042\u308b\u4e00\u3064\u306e\u70b9\u3060\u3051\u3092\u4f7f\u3046\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u7570\u306a\u308b\u6570\u4f53\u3084\u88dc\u52a9\u7d20\u6570\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u3092\u65cf\u3068\u3057\u3066\u69cb\u6210\u3057\u3001\u305d\u308c\u3089\u306e\u9593\u306b\u30ce\u30eb\u30e0\u5199\u50cf\u3084\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u306b\u95a2\u3059\u308b\u4e92\u63db\u6027\u3092\u6301\u305f\u305b\u308b\u3002\u500b\u3005\u306e\u985e\u306f\u5225\u3005\u306e\u60c5\u5831\u3092\u6301\u3064\u304c\u3001\u4e92\u63db\u95a2\u4fc2\u306b\u3088\u3063\u3066\u72ec\u7acb\u306b\u632f\u308b\u821e\u3048\u306a\u3044\u305f\u3081\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u5927\u304d\u3055\u306b\u5f37\u3044\u5236\u7d04\u3092\u4e0e\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>Heegner \u70b9\u306e\u5834\u5408\u3001\u307e\u305a\u9069\u5207\u306a\u865a\u4e8c\u6b21\u4f53 \\(K\\) \u3092\u9078\u3073\u3001\u3055\u307e\u3056\u307e\u306a\u74b0\u985e\u4f53\u4e0a\u306b Heegner \u70b9\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u3002\u3053\u308c\u3089\u306e\u70b9\u306f\u3001\u4f53\u3092\u5909\u3048\u305f\u3068\u304d\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u5199\u50cf\u306b\u5bfe\u3057\u3066\u4e00\u5b9a\u306e\u95a2\u4fc2\u3092\u6e80\u305f\u3059\u3002\u305d\u306e\u95a2\u4fc2\u3092 Kummer \u5199\u50cf\u306b\u3088\u3063\u3066\u30ac\u30ed\u30a2\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u3078\u79fb\u3059\u3068\u3001\u4e92\u3044\u306b\u6574\u5408\u3059\u308b\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u306e\u65cf\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6982\u5ff5\u7684\u306a\u6d41\u308c\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\text{Heegner \u70b9\u306e\u65cf}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{Kummer \u5199\u50cf}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u306e\u65cf}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u5236\u7d04}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u304c\u4e00\u3064\u306e Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u89e3\u6790\u5074\u304b\u3089\u8a55\u4fa1\u3059\u308b\u306e\u306b\u5bfe\u3057\u3001Kolyvagin \u306f\u305d\u306e\u70b9\u3092\u8d77\u70b9\u3068\u3057\u3066\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u62bc\u3055\u3048\u308b\u305f\u3081\u306e\u591a\u6570\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u95a2\u4fc2\u3092\u4f5c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u65b9\u6cd5\u304c\u6709\u52b9\u306a\u306e\u306f\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304c\u524d\u7ae0\u307e\u3067\u306b\u898b\u305f\u901a\u308a\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u540c\u6642\u306b\u542b\u3080\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u3060\u304b\u3089\u3067\u3042\u308b\u3002\u305f\u3068\u3048\u3070 \\(p^\\infty\\)-\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306b\u306f\u3001\u6982\u5ff5\u7684\u306b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf Q)\\otimes\\mathbf Q_p\/\\mathbf Z_p<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}_{p^\\infty}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)[p^\\infty]<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u95a2\u4fc2\u304c\u3042\u308b\u3002\u4e2d\u592e\u306e\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5341\u5206\u306b\u5236\u5fa1\u3067\u304d\u308c\u3070\u3001\u5de6\u5074\u306e Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3068\u3001\u53f3\u5074\u306e \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e \\(p\\)-\u6210\u5206\u3092\u540c\u6642\u306b\u5236\u7d04\u3067\u304d\u308b\u3002<\/p>\n<p>Kolyvagin \u306e\u8b70\u8ad6\u3067\u306f\u3001\u975e\u6369\u308c Heegner \u70b9\u304b\u3089\u4f5c\u3089\u308c\u308b\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u304c\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u5927\u304d\u3055\u306b\u4e0a\u754c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u306b\u3088\u3063\u3066 \\(L'(E,1)\\neq0\\) \u304b\u3089 Heegner \u70b9\u304c\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u3063\u3066\u3044\u308b\u5834\u5408\u3001\u3053\u306e\u4e0a\u754c\u3068\u65e2\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u4e00\u3064\u306e\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u305d\u308c\u4ee5\u4e0a\u306e\u6b21\u5143\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3053\u3068\u3092\u793a\u305b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u7d50\u679c\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u5c0e\u304b\u308c\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u3082\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u304c\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e0b\u754c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u65b9\u5411\u3078\u50cd\u304d\u3001Kolyvagin \u304c\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u4ecb\u3057\u3066\u4e0a\u754c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u6b63\u78ba\u306b\u6c7a\u307e\u308b\u69cb\u9020\u306b\u306a\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u5f79\u5272<\/th>\n<th>Gross\u2013Zagier<\/th>\n<th>Kolyvagin<\/th>\n<th>\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u305f\u5e30\u7d50<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u89e3\u6790\u5074\u306e\u5165\u529b<\/td>\n<td>\\(L'(E,1)\\neq0\\) \u3092\u4f7f\u3046\u3002<\/td>\n<td>Gross\u2013Zagier \u304b\u3089\u5f97\u305f\u975e\u6369\u308c Heegner \u70b9\u3092\u4f7f\u3046\u3002<\/td>\n<td>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3092\u4ee3\u6570\u5074\u3078\u6e21\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4<\/td>\n<td>\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u306e\u5b58\u5728\u304b\u3089\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u5c11\u306a\u304f\u3068\u3082 \\(1\\) \u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3057\u3066\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u9ad8\u304f\u306a\u308a\u3059\u304e\u308b\u3053\u3068\u3092\u9632\u3050\u3002<\/td>\n<td>\\(\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)=1\\) \u3092\u5f97\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Sha}\\)<\/td>\n<td>\u76f4\u63a5\u306e\u6709\u9650\u6027\u8a3c\u660e\u3092\u4e3b\u76ee\u7684\u3068\u3057\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u306b\u3088\u308b\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u5236\u5fa1\u304b\u3089\u6709\u9650\u6027\u3092\u5c0e\u304f\u3002<\/td>\n<td>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067 \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u304c\u6709\u9650\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u3082\u540c\u3058\u7cfb\u5217\u306e\u7406\u8ad6\u304c\u5f37\u3044\u7d50\u8ad6\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002\\(L(E,1)\\neq0\\) \u306e\u3068\u304d\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u306f \\(0\\) \u3068\u306a\u308a\u3001\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306f\u6709\u9650\u306b\u306a\u308b\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046 BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u304c\u6210\u7acb\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u306e\u7d4c\u8def\u3092\u4e26\u3079\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u89e3\u6790\u5074\u3068\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u9593\u306b\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL'(E,1)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{Heegner \u70b9}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf Q),\\ \\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u9023\u9396\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u304b\u3089\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3078\u76f4\u63a5\u98db\u3076\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u89e3\u6790\u7684\u306a\u5fae\u5206\u5024\u304c\u7279\u6b8a\u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3078\u79fb\u308a\u3001\u305d\u306e\u70b9\u304b\u3089\u4f5c\u3063\u305f\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u985e\u304c\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3057\u3001\u6700\u7d42\u7684\u306b Mordell\u2013Weil \u7fa4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3078\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u69cb\u9020\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u306f\u3001\u9577\u3044\u63a5\u7d9a\u7d4c\u8def\u306e\u4e21\u7aef\u3092\u4e00\u3064\u306e\u6574\u6570\u3067\u6bd4\u8f03\u3057\u305f\u8868\u73fe\u3060\u3068\u5206\u304b\u308b\u3002\u305d\u3057\u3066 Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306e\u6210\u679c\u306f\u3001\u305d\u306e\u63a5\u7d9a\u7d4c\u8def\u304c\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f\u5b9f\u969b\u306b\u6a5f\u80fd\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3055\u3089\u306b BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3053\u3068\u3060\u3051\u3092\u4e3b\u5f35\u3057\u3066\u3044\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u6700\u521d\u306b\u73fe\u308c\u308b\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u306e\u5927\u304d\u3055\u307e\u3067\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u3068\u3044\u3063\u305f\u4ee3\u6570\u7684\u30fb\u5c40\u6240\u7684\u306a\u91cf\u304b\u3089\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3068\u4e88\u60f3\u3059\u308b\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u3078\u9032\u307f\u3001\u3053\u3053\u307e\u3067\u500b\u5225\u306b\u767b\u5834\u3057\u305f\u91cf\u304c\u4e00\u3064\u306e\u7b49\u5f0f\u306b\u96c6\u7d04\u3055\u308c\u308b\u3053\u3068\u3092\u898b\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>12. BSD \u306e\u672c\u4f53\u306f\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e00\u81f4\u3088\u308a\u5e83\u3044<\/h2>\n<p>\u3053\u3053\u307e\u3067\u6271\u3063\u3066\u304d\u305f BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u7b49\u5f0f\u3067\u8868\u3055\u308c\u308b\u3002\u3053\u308c\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u6b21\u5143\u3068\u3001L \u95a2\u6570\u304c\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u4f55\u6b21\u307e\u3067\u6d88\u3048\u308b\u304b\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306f\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570\u3060\u3051\u3092\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3082\u306e\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u3067\u6700\u521d\u306b\u73fe\u308c\u308b\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u306e\u5927\u304d\u3055\u307e\u3067\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7b97\u8853\u7684\u4e0d\u5909\u91cf\u306b\u3088\u3063\u3066\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3068\u4e88\u60f3\u3059\u308b\u3002\u3053\u308c\u3092\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u3068\u547c\u3076\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3092 \\(r\\) \u3068\u3059\u308b\u3068\u3001\\(L(E,s)\\) \u306f \\(s=1\\) \u306e\u8fd1\u304f\u3067<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}(s-1)^r<br \/>\n+<br \/>\n\\text{\u9ad8\u6b21\u306e\u9805}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5c55\u958b\u3067\u304d\u308b\u3002\\(r\\) \u968e\u672a\u6e80\u306e\u5fae\u5206\u306f\u5168\u3066 \\(0\\) \u3067\u3042\u308a\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u4fc2\u6570\u306b\u306a\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306e BSD \u4e88\u60f3\u304c Taylor \u5c55\u958b\u306e\u300c\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u9805\u304c\u4f55\u6b21\u3067\u73fe\u308c\u308b\u304b\u300d\u3092\u4e88\u6e2c\u3059\u308b\u306e\u306b\u5bfe\u3057\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u306f\u300c\u305d\u306e\u6700\u521d\u306e\u4fc2\u6570\u304c\u3044\u304f\u3089\u306b\u306a\u308b\u304b\u300d\u307e\u3067\u4e88\u6e2c\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6a19\u6e96\u7684\u306a\u6b63\u898f\u5316\u306e\u4e0b\u3067\u3001\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u540c\u3058 \\(r\\) \u3068\u66f8\u3051\u3070\u3001\u305d\u306e\u516c\u5f0f\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\boxed{<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\Omega_E\\,<br \/>\n\\operatorname{Reg}(E)\\,<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\,<br \/>\n\\prod_p c_p<br \/>\n}{<br \/>\n\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2<br \/>\n}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u306b\u306a\u308b\u3002LMFDB \u3067\u3082\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3001Mordell\u2013Weil \u30e9\u30f3\u30af\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092 BSD \u306e\u4e0d\u5909\u91cf\u3068\u3057\u3066\u6574\u7406\u3057\u3001\u3053\u306e\u5f62\u306e\u516c\u5f0f\u3092\u7528\u3044\u3066\u3044\u308b<a href=\"#ref9\">[9]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5f0f\u306e\u7279\u5fb4\u306f\u3001\u3053\u308c\u307e\u3067\u5225\u3005\u306e\u7ae0\u3067\u73fe\u308c\u305f\u91cf\u304c\u540c\u3058\u7b49\u5f0f\u3078\u96c6\u307e\u308b\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u5de6\u8fba\u306b\u306f\u3001\u5168\u7d20\u6570\u306e\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u60c5\u5831\u3092\u96c6\u7d04\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u304c\u3042\u308b\u3002\u53f3\u8fba\u306b\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3001\u6709\u9650\u90e8\u5206\u3001\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u5468\u671f\u3001\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u88dc\u6b63\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u969c\u5bb3\u304c\u4e26\u3076\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u9805<\/th>\n<th>\u3069\u3053\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u304b<\/th>\n<th>\u610f\u5473<\/th>\n<th>\u7cbe\u5bc6 BSD \u3067\u306e\u5f79\u5272<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(r\\)<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206 \\(\\mathbf Z^r\\) \u306e\u968e\u6570\u3067\u3042\u308a\u3001\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u65b9\u5411\u306e\u6570\u3092\u8868\u3059\u3002<\/td>\n<td>L \u95a2\u6570\u304c \\(s=1\\) \u3067\u4f55\u6b21\u307e\u3067\u6d88\u3048\u308b\u304b\u3092\u6c7a\u3081\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Reg}(E)\\)<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u6709\u7406\u70b9<\/td>\n<td>\u72ec\u7acb\u306a\u751f\u6210\u5143\u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304b\u3089\u4f5c\u308b\u9ad8\u3055\u884c\u5217\u306e\u884c\u5217\u5f0f\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u4f5c\u308b\u683c\u5b50\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u5927\u304d\u3055\u3092\u6e2c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\Omega_E\\)<\/td>\n<td>\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda<\/td>\n<td>N\u00e9ron \u5fae\u5206\u3092\u5b9f\u6210\u5206\u4e0a\u3067\u7a4d\u5206\u3057\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u5b9f\u5468\u671f\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u7121\u9650\u7d20\u70b9\u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u89e3\u6790\u7684\u306a\u4f53\u7a4d\u56e0\u5b50\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\prod_p c_p\\)<\/td>\n<td>\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u6709\u9650\u7d20\u6570<\/td>\n<td>\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u304a\u3051\u308b Tamagawa \u6570 \\(c_p\\) \u306e\u7a4d\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u60aa\u3044\u9084\u5143\u306b\u4f34\u3046\u5c40\u6240\u7684\u306a\u305a\u308c\u3092\u88dc\u6b63\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u306a\u304c\u3089\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u3078\u5bfe\u5fdc\u3057\u306a\u3044\u30c8\u30fc\u30b5\u30fc\u306e\u60c5\u5831\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u53ef\u89e3\u6027\u3068\u5927\u57df\u53ef\u89e3\u6027\u306e\u5dee\u3092\u88dc\u6b63\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}\\)<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u6709\u9650\u90e8\u5206<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u3092\u6301\u3064\u6709\u7406\u70b9\u306e\u7dcf\u6570\u3067\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u6709\u9650\u90e8\u5206\u306b\u3088\u308b\u88dc\u6b63\u3068\u3057\u3066\u4e8c\u4e57\u304c\u5206\u6bcd\u306b\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u306f\u3001\u7b2c 10 \u7ae0\u3067\u6271\u3063\u305f N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u3092\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3078\u62e1\u5f35\u3057\u305f\u91cf\u3067\u3042\u308b\u3002\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u57fa\u5e95\u3092 \\(P_1,\\ldots,P_r\\) \u3068\u3057\u3001N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304b\u3089\u5f97\u3089\u308c\u308b\u53cc\u7dda\u5f62\u5f62\u5f0f\u3092 \\(\\langle P_i,P_j\\rangle\\) \u3068\u66f8\u304f\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{Reg}(E)<br \/>\n=<br \/>\n\\det<br \/>\n\\left(<br \/>\n\\langle P_i,P_j\\rangle<br \/>\n\\right)_{1\\le i,j\\le r}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306a\u3089\u9ad8\u3055\u884c\u5217\u306f 1 \u884c 1 \u5217\u306a\u306e\u3067\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u306f\u672c\u8cea\u7684\u306b\u751f\u6210\u5143 \\(P\\) \u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055 \\(\\hat h(P)\\) \u306b\u306a\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u304c \\(L'(E,1)\\) \u3068 Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u7d50\u3093\u3060\u3053\u3068\u306f\u3001\u3053\u306e\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u53f3\u8fba\u306b\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u304c\u73fe\u308c\u308b\u69cb\u9020\u3068\u76f4\u63a5\u3064\u306a\u304c\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>Tamagawa \u6570 \\(c_p\\) \u306f\u3001\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u73fe\u308c\u308b\u5c40\u6240\u91cf\u3067\u3042\u308b\u3002\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092 \\(p\\)-\u9032\u6574\u6570\u4e0a\u306e\u9069\u5207\u306a\u30e2\u30c7\u30eb\u3078\u5ef6\u9577\u3059\u308b\u3068\u3001\u7279\u6b8a\u30d5\u30a1\u30a4\u30d0\u30fc\u304c\u8907\u6570\u306e\u9023\u7d50\u6210\u5206\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u304c\u3042\u308b\u3002\u305d\u306e\u6210\u5206\u7fa4\u306e\u5927\u304d\u3055\u304c Tamagawa \u6570\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3002\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u307b\u3068\u3093\u3069\u5168\u3066\u306e\u7d20\u6570\u3067\u306f \\(c_p=1\\) \u306a\u306e\u3067\u3001\u7a4d<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\prod_p c_p<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306b\u5b9f\u8cea\u7684\u306b\u5bc4\u4e0e\u3059\u308b\u306e\u306f\u6709\u9650\u500b\u306e\u60aa\u3044\u7d20\u6570\u3060\u3051\u3067\u3042\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u306e L \u95a2\u6570\u3067\u3082\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u306f\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u8abf\u6574\u3057\u305f\u304c\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u4ee3\u6570\u5074\u306b\u3082\u3001\u305d\u308c\u3089\u306e\u7d20\u6570\u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u5c40\u6240\u88dc\u6b63\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306e\u4f4d\u6570\u304c\u53f3\u8fba\u3078\u5165\u308b\u3053\u3068\u3082\u3001\u524d\u7ae0\u307e\u3067\u306e\u6d41\u308c\u304b\u3089\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306b\u306f\u3001\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u985e\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u306a\u304c\u3089\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u306b\u5bfe\u5fdc\u3057\u306a\u3044\u985e\u3082\u542b\u307e\u308c\u308b\u3002\u305d\u306e\u5dee\u304c \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3067\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u304c\u5927\u57df\u7684\u7b97\u8853\u5168\u4f53\u3092\u53cd\u6620\u3059\u308b\u306a\u3089\u3001\u6709\u7406\u70b9\u3060\u3051\u3092\u6570\u3048\u3066\u3082\u4e0d\u8db3\u3057\u3001\u3053\u306e\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u3082\u5f0f\u3078\u7d44\u307f\u8fbc\u3080\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u304c\u6709\u9650\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3082\u542b\u3093\u3067\u3044\u308b\u3002\u6709\u9650\u6027\u304c\u6210\u7acb\u3059\u308c\u3070\u3001\u305d\u306e\u4f4d\u6570<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u6574\u6570\u3068\u3057\u3066\u516c\u5f0f\u3078\u5165\u308c\u3089\u308c\u308b\u3002\u4e00\u822c\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u306f\u672a\u89e3\u6c7a\u3067\u3042\u308a\u3001\u3053\u306e\u70b9\u3082\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u672a\u89e3\u6c7a\u90e8\u5206\u306b\u542b\u307e\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001\u3053\u306e\u516c\u5f0f\u306f\u7279\u306b\u5206\u304b\u308a\u3084\u3059\u3044\u3002\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044\u305f\u3081\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3092 \\(1\\) \u3068\u3057\u3001\\(r=0\\) \u306a\u306e\u3067\u5de6\u8fba\u306f\u5358\u306b \\(L(E,1)\\) \u306b\u306a\u308b\u3002\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\Omega_E\\,<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\,<br \/>\n\\prod_p c_p<br \/>\n}{<br \/>\n\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u306b\u306a\u308b\u3002\u4e2d\u5fc3\u5024\u305d\u306e\u3082\u306e\u304c\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001\u5c40\u6240\u88dc\u6b63\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u306e\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u3068\u3057\u3066\u4e88\u6e2c\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u306f\u3001\u5de6\u8fba\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308a\u3001\u53f3\u8fba\u306b\u306f\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u3059\u306a\u308f\u3061\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u751f\u6210\u5143\u306e\u9ad8\u3055\u304c\u5165\u308b\u3002\u524d\u7ae0\u307e\u3067\u306b\u898b\u305f Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306e\u7406\u8ad6\u304c\u7279\u306b\u5f37\u304f\u50cd\u304f\u306e\u304c\u3001\u3053\u306e\u9818\u57df\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u3068\u7cbe\u5bc6\u5f62\u3067\u306f\u4e88\u60f3\u3057\u3066\u3044\u308b\u60c5\u5831\u91cf\u304c\u7570\u306a\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\text{\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570}<br \/>\n\\longleftrightarrow<br \/>\n\\text{\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u6b21\u5143}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u7cbe\u5bc6\u5f62\u306f\u3055\u3089\u306b\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\text{\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570}<br \/>\n\\longleftrightarrow<br \/>\n\\text{\u5468\u671f}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u683c\u5b50}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u5c40\u6240\u88dc\u6b63}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u6709\u9650\u90e8\u5206\u306e\u88dc\u6b63}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5bfe\u5fdc\u307e\u3067\u4e3b\u5f35\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5f0f\u307e\u3067\u898b\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u5bfe\u8c61\u304c\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u3044\u3046\u4e00\u3064\u306e\u6574\u6570\u306b\u9650\u3089\u308c\u3066\u3044\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u6319\u52d5\u3068\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001\u60aa\u3044\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u69cb\u9020\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306b\u8a18\u9332\u3055\u308c\u305f\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u304c\u3001\u4e00\u3064\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u3068\u3057\u3066\u91e3\u308a\u5408\u3046\u3053\u3068\u3092\u4e88\u60f3\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u7cbe\u5bc6\u516c\u5f0f\u3092\u9805\u3054\u3068\u306e\u4e00\u89a7\u304b\u3089\u4e00\u6bb5\u62bd\u8c61\u5316\u3057\u3001\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3001\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u304c\u540c\u3058\u7b49\u5f0f\u306b\u3069\u306e\u3088\u3046\u306b\u73fe\u308c\u308b\u304b\u3092\u6574\u7406\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>13. \u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u5c40\u6240\u91cf\u3068\u5927\u57df\u91cf\u3092\u4e00\u3064\u306e\u7b49\u5f0f\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b<\/h2>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u5f0f\u306b\u306f\u3001\u7531\u6765\u306e\u7570\u306a\u308b\u91cf\u304c\u540c\u3058\u53f3\u8fba\u306b\u4e26\u3093\u3067\u3044\u308b\u3002\u524d\u7ae0\u3067\u306f\u5404\u9805\u3092\u500b\u5225\u306b\u78ba\u8a8d\u3057\u305f\u304c\u3001\u3053\u3053\u3067\u306f\u305d\u308c\u3089\u3092\u300c\u3069\u306e\u968e\u5c64\u306e\u60c5\u5831\u3092\u8a18\u9332\u3057\u3066\u3044\u308b\u304b\u300d\u3068\u3044\u3046\u89b3\u70b9\u304b\u3089\u6574\u7406\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u3092\u3082\u3046\u4e00\u5ea6\u66f8\u304f\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\Omega_E\\,<br \/>\n\\operatorname{Reg}(E)\\,<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\,<br \/>\n\\prod_p c_p<br \/>\n}{<br \/>\n\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002\u5de6\u8fba\u306f\u3001\u5404\u7d20\u6570\u306b\u304a\u3051\u308b\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u60c5\u5831\u304b\u3089\u69cb\u6210\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u3092\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u3067\u8abf\u3079\u3001\u305d\u306e\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u305f\u3082\u306e\u3067\u3042\u308b\u3002\u53f3\u8fba\u306f\u3001\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u6709\u7406\u70b9\u3001\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u5468\u671f\u3001\u5404\u7d20\u6570\u3067\u306e\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u3068\u3044\u3046\u5225\u3005\u306e\u65b9\u5411\u304b\u3089\u8abf\u3079\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u91cf\u3067\u69cb\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u60c5\u5831\u306e\u968e\u5c64<\/th>\n<th>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306b\u73fe\u308c\u308b\u91cf<\/th>\n<th>\u4f55\u3092\u8a18\u9332\u3057\u3066\u3044\u308b\u304b<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u5927\u57df\u7684\u306a\u81ea\u7531\u90e8\u5206<\/td>\n<td>\\(\\operatorname{Reg}(E)\\)<\/td>\n<td>\u72ec\u7acb\u306a\u6709\u7406\u70b9\u304c\u4f5c\u308b Mordell\u2013Weil \u683c\u5b50\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u5927\u304d\u3055\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u9650\u90e8\u5206<\/td>\n<td>\\(\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2\\)<\/td>\n<td>\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306b\u542b\u307e\u308c\u308b\u6709\u9650\u4f4d\u6570\u90e8\u5206\u3092\u88dc\u6b63\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u6709\u9650\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u69cb\u9020<\/td>\n<td>\\(\\prod_p c_p\\)<\/td>\n<td>\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u751f\u3058\u308b\u9023\u7d50\u6210\u5206\u306e\u305a\u308c\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7121\u9650\u7d20\u70b9\u3067\u306e\u69cb\u9020<\/td>\n<td>\\(\\Omega_E\\)<\/td>\n<td>\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u304b\u3089\u5f97\u3089\u308c\u308b\u5468\u671f\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3<\/td>\n<td>\\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u306a\u304c\u3089\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u3078\u5bfe\u5fdc\u3057\u306a\u3044\u60c5\u5831\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u89e3\u6790\u7684\u306a\u96c6\u7d04\u7d50\u679c<\/td>\n<td>\\(L^{(r)}(E,1)\/r!\\)<\/td>\n<td>\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u7d71\u5408\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u306b\u304a\u3051\u308b\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u3092\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u5206\u985e\u304b\u3089\u898b\u3048\u308b\u306e\u306f\u3001\u53f3\u8fba\u304c\u5358\u4e00\u306e\u7a2e\u985e\u306e\u4e0d\u5909\u91cf\u304b\u3089\u4f5c\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u308f\u3051\u3067\u306f\u306a\u3044\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u305d\u306e\u3082\u306e\u304b\u3089\u306f\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3068\u6369\u308c\u90e8\u5206\u304c\u751f\u3058\u308b\u3002\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u5404\u7d20\u6570\u304b\u3089\u306f Tamagawa \u6570\u304c\u751f\u3058\u308b\u3002\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u66f2\u7dda\u304b\u3089\u306f\u5468\u671f\u304c\u751f\u3058\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u3001\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3068\u5927\u57df\u7684\u53ef\u89e3\u6027\u306e\u5dee\u304b\u3089 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u304c\u751f\u3058\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u53f3\u8fba\u306f\u6982\u5ff5\u7684\u306b\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\text{\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u5468\u671f}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u5927\u57df\u7684\u306a\u81ea\u7531\u90e8\u5206}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3}<br \/>\n\\times<br \/>\n\\text{\u6709\u9650\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u88dc\u6b63}<br \/>\n}{<br \/>\n\\text{\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u9650\u90e8\u5206\u306e\u88dc\u6b63}<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u69cb\u9020\u3092\u6301\u3064\u3002\u3053\u308c\u3089\u3092\u5168\u3066\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u305f\u5024\u304c\u3001\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u306b\u304a\u3051\u308b\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u4fc2\u6570\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3068\u3044\u3046\u306e\u304c\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u4e3b\u5f35\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u7b49\u5f0f\u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7b97\u8853\u3092\u7570\u306a\u308b\u5834\u6240\u3067\u89b3\u6e2c\u3057\u305f\u3068\u304d\u306b\u73fe\u308c\u308b\u91cf\u3092\u3001\u4e57\u6cd5\u7684\u306a\u4e00\u3064\u306e\u95a2\u4fc2\u3078\u96c6\u7d04\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u3001\u6709\u9650\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u69cb\u9020\u3001\u7121\u9650\u7d20\u70b9\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u306e\u305d\u308c\u305e\u308c\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u9805\u304c\u53f3\u8fba\u306b\u73fe\u308c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7279\u306b \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u5b58\u5728\u306f\u3001\u3053\u306e\u69cb\u9020\u3092\u3088\u304f\u8868\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u3082\u3057\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u306e\u95a2\u4fc2\u304c\u5b8c\u5168\u3067\u3042\u308c\u3070\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3067\u5168\u3066\u306e\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u6e80\u305f\u3057\u305f\u5019\u88dc\u306f\u3001\u305d\u306e\u307e\u307e\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u3078\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u5b9f\u969b\u306b\u306f\u3001\u305d\u306e\u9593\u306b\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u969c\u5bb3\u304c\u6b8b\u308a\u5f97\u308b\u3002\u305d\u306e\u5dee\u3092 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3068\u3057\u3066\u5225\u306b\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u53f3\u8fba\u306f\u6709\u7406\u70b9\u3060\u3051\u3067\u306f\u6349\u3048\u304d\u308c\u306a\u3044\u5927\u57df\u7684\u7b97\u8853\u307e\u3067\u542b\u3080\u3002<\/p>\n<p>Tamagawa \u6570\u306b\u3082\u540c\u3058\u5f79\u5272\u304c\u3042\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u306f\u5404\u7d20\u6570\u306b\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092\u6301\u3061\u3001\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u306f\u826f\u3044\u9084\u5143\u306e\u5834\u5408\u3068\u306f\u7570\u306a\u308b\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u3082\u3001\u305d\u306e\u3088\u3046\u306a\u7d20\u6570\u3067\u306f N\u00e9ron \u30e2\u30c7\u30eb\u306e\u7279\u6b8a\u30d5\u30a1\u30a4\u30d0\u30fc\u306b\u8ffd\u52a0\u306e\u6210\u5206\u304c\u73fe\u308c\u3001\u305d\u306e\u305a\u308c\u3092 \\(c_p\\) \u304c\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3068\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u53cc\u65b9\u306b\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u5c40\u6240\u69cb\u9020\u304c\u53cd\u6620\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4e00\u65b9\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u306f\u5b8c\u5168\u306b\u5927\u57df\u7684\u306a\u91cf\u3067\u3042\u308b\u3002\u72ec\u7acb\u306a\u6709\u7406\u70b9 \\(P_1,\\ldots,P_r\\) \u306e\u9ad8\u3055\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u3001\u305d\u306e\u70b9\u7fa4\u304c\u4f5c\u308b\u683c\u5b50\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092\u6e2c\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u3060\u3051\u3067\u306f\u300c\u72ec\u7acb\u306a\u65b9\u5411\u304c \\(r\\) \u500b\u3042\u308b\u300d\u3053\u3068\u307e\u3067\u3057\u304b\u5206\u304b\u3089\u306a\u3044\u304c\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3092\u52a0\u3048\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u305d\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u7b97\u8853\u7684\u306b\u3069\u306e\u7a0b\u5ea6\u306e\u5927\u304d\u3055\u3092\u6301\u3064\u304b\u307e\u3067\u5f0f\u306b\u5165\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u9055\u3044\u3092\u4e26\u3079\u308b\u3068\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u4e00\u3064\u306e\u968e\u5c64\u3060\u3051\u3067\u9589\u3058\u305f\u4e88\u60f3\u3067\u306f\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u5206\u304b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\begin{aligned}<br \/>\n\\text{\u6709\u9650\u7d20\u6570\u3067\u306e\u89b3\u6e2c}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow L(E,s),\\\\<br \/>\n\\text{\u6709\u7406\u70b9\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow \\operatorname{Reg}(E),\\\\<br \/>\n\\text{\u6709\u7406\u70b9\u306e\u6709\u9650\u90e8\u5206}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}},\\\\<br \/>\n\\text{\u5c40\u6240\u7684\u306a\u60aa\u3044\u9084\u5143}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow c_p,\\\\<br \/>\n\\text{\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u969c\u5bb3}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow \\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q),\\\\<br \/>\n\\text{\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u69cb\u9020}<br \/>\n&#038;\\longrightarrow \\Omega_E.<br \/>\n\\end{aligned}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3053\u308c\u3089\u306f\u5225\u3005\u306e\u65b9\u6cd5\u3067\u5b9a\u7fa9\u3055\u308c\u308b\u304c\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u6700\u7d42\u7684\u306b\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7b97\u8853\u3092\u6e2c\u3063\u3066\u3044\u308b\u3068\u4e3b\u5f35\u3059\u308b\u3002\u5de6\u8fba\u3067\u306f\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u60c5\u5831\u304c L \u95a2\u6570\u3068\u3044\u3046\u89e3\u6790\u5bfe\u8c61\u3078\u5727\u7e2e\u3055\u308c\u3001\u53f3\u8fba\u3067\u306f\u5927\u57df\u7684\u6709\u7406\u70b9\u3068\u5404\u5834\u6240\u3067\u751f\u3058\u308b\u88dc\u6b63\u304c\u660e\u793a\u7684\u306b\u5206\u89e3\u3055\u308c\u308b\u3002\u4e21\u8005\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u4e88\u60f3\u306f\u3001\u300c\u5c40\u6240\u30c7\u30fc\u30bf\u3092\u96c6\u3081\u308c\u3070\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u5206\u304b\u308b\u300d\u3068\u3044\u3046\u4e3b\u5f35\u3088\u308a\u306f\u308b\u304b\u306b\u60c5\u5831\u91cf\u304c\u591a\u3044\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u898b\u65b9\u3092\u3059\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306b\u30e9\u30f3\u30af\u3001Heegner \u70b9\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u5468\u671f\u304c\u6b21\u3005\u306b\u73fe\u308c\u308b\u7406\u7531\u3082\u4e00\u3064\u306e\u69cb\u9020\u3068\u3057\u3066\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u305d\u308c\u305e\u308c\u304c\u5225\u306e\u554f\u984c\u3092\u8ffd\u52a0\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u5927\u57df\u7684\u306a\u7b97\u8853\u3092\u5fa9\u5143\u3059\u308b\u3068\u304d\u306b\u5fc5\u8981\u3068\u306a\u308b\u7570\u306a\u308b\u6210\u5206\u3092\u62c5\u5f53\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u3001\u5c40\u6240\u7684\u306b\u89b3\u6e2c\u3057\u305f\u60c5\u5831\u3001\u5927\u57df\u7684\u306b\u5b58\u5728\u3059\u308b\u6709\u7406\u70b9\u3001\u305d\u306e\u9593\u306b\u6b8b\u308b\u969c\u5bb3\u3092\u4e00\u3064\u306e\u7b49\u5f0f\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u5c04\u7a0b\u306f\u3001\u4e8c\u3064\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\u59cb\u307e\u308a\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u89e3\u6790\u7684\u5074\u3068\u7b97\u8853\u7684\u5074\u306e\u60c5\u5831\u5168\u4f53\u304c\u3069\u306e\u3088\u3046\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u304b\u3068\u3044\u3046\u554f\u984c\u307e\u3067\u5e83\u304c\u3063\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u5927\u304d\u306a\u4e88\u60f3\u306e\u3046\u3061\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f\u3069\u3053\u307e\u3067\u65e2\u306b\u8a3c\u660e\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u304b\u3092\u6574\u7406\u3059\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306b\u3088\u3063\u3066\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e00\u81f4\u3078\u5230\u9054\u3057\u305f\u5f8c\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u3082\u7814\u7a76\u304c\u9032\u3093\u3067\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>14. \u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af 0 \u3068 1 \u3067\u306f\u6a4b\u306e\u304b\u306a\u308a\u306e\u90e8\u5206\u304c\u5b8c\u6210\u3057\u3066\u3044\u308b<\/h2>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u5168\u4f53\u306f\u4e00\u822c\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066\u672a\u89e3\u6c7a\u3067\u3042\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(0\\) \u307e\u305f\u306f \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001\u524d\u7ae0\u307e\u3067\u306b\u898b\u3066\u304d\u305f\u89e3\u6790\u5074\u3068\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u63a5\u7d9a\u304c\u5b9a\u7406\u3068\u3057\u3066\u6210\u7acb\u3059\u308b\u9818\u57df\u304c\u5e83\u3044\u3002\u7279\u306b Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306e\u6210\u679c\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)\\le1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306a\u3089\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u6210\u7acb\u3057\u3001\u3055\u3089\u306b \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u304c\u6709\u9650\u306b\u306a\u308b<a href=\"#ref4\">[4]<\/a><a href=\"#ref7\">[7]<\/a><a href=\"#ref8\">[8]<\/a>\u3002\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u3068\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306b\u73fe\u308c\u308b \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u306f\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f\u65e2\u77e5\u306e\u7406\u8ad6\u306b\u3088\u3063\u3066\u5927\u304d\u304f\u89e3\u6c7a\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3067\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u3042\u308b\u3002\u3053\u306e\u5834\u5408\u3001\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3082 \\(0\\) \u3068\u306a\u308a\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306f\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3060\u3051\u304b\u3089\u306a\u308b\u6709\u9650\u7fa4\u306b\u306a\u308b\u3002\u540c\u6642\u306b \\(\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u3082\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u4e2d\u5fc3\u5024\u304c\u6d88\u3048\u306a\u3044\u3053\u3068\u304c\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u5b58\u5728\u3057\u306a\u3044\u3053\u3068\u306b\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)=0,<br \/>\n\\qquad<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308b\u3002Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u306f\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206 \\(L'(E,1)\\) \u3092 Heegner \u70b9\u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u3078\u7d50\u3073\u3001\u975e\u96f6\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u304b\u3089\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u3092\u5f97\u308b\u3002Kolyvagin \u306f\u3001\u305d\u306e Heegner \u70b9\u304b\u3089\u4f5c\u308b\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u306b\u3088\u3063\u3066\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3057\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u305d\u308c\u4ee5\u4e0a\u5897\u3048\u306a\u3044\u3053\u3068\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u3092\u5c0e\u304f\u3002\u4e8c\u3064\u306e\u7d50\u679c\u3092\u7d44\u307f\u5408\u308f\u305b\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)=1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u307e\u3067\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af<\/th>\n<th>L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u632f\u308b\u821e\u3044<\/th>\n<th>Mordell\u2013Weil \u7fa4<\/th>\n<th>\\(\\operatorname{Sha}\\)<\/th>\n<th>\u63a5\u7d9a\u306b\u4f7f\u308f\u308c\u308b\u4e3b\u8981\u306a\u69cb\u9020<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\\(0\\)<\/td>\n<td>\\(L(E,1)\\neq0\\) \u3068\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3082 \\(0\\) \u3068\u306a\u308a\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u3092\u6301\u305f\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u6027\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<td>L \u95a2\u6570\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u306b\u3088\u308b\u5236\u5fa1\u304c\u4e2d\u5fc3\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(1\\)<\/td>\n<td>\\(L(E,1)=0\\)\u3001\\(L'(E,1)\\neq0\\) \u3068\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3082 \\(1\\) \u3068\u306a\u308a\u3001\u4e00\u3064\u306e\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u3092\u6301\u3064\u3002<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u6027\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002<\/td>\n<td>Gross\u2013Zagier \u306e Heegner \u70b9\u3068\u9ad8\u3055\u3001Kolyvagin \u306e\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u304c\u63a5\u7d9a\u3092\u62c5\u3046\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(2\\) \u4ee5\u4e0a<\/td>\n<td>\u9ad8\u6b21\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u304c\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u9805\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u8907\u6570\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u3092\u540c\u6642\u306b\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4e00\u822c\u306b\u306f BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4e00\u90e8\u3068\u3057\u3066\u6b8b\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4f4e\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u5834\u5408\u3068\u540c\u3058\u65b9\u6cd5\u3060\u3051\u3067\u5168\u69cb\u9020\u3092\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u4e00\u822c\u8ad6\u306f\u5f97\u3089\u308c\u3066\u3044\u306a\u3044\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u305f\u3060\u3057\u3001\u3053\u3053\u307e\u3067\u3067\u5206\u304b\u308b\u306e\u306f\u30e9\u30f3\u30af\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u3067\u3042\u308a\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u7b49\u5f0f\u305d\u306e\u3082\u306e\u306b\u306f\u3055\u3089\u306b\u60c5\u5831\u304c\u542b\u307e\u308c\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306a\u3089\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u5358\u306b \\(L'(E,1)\\neq0\\) \u3068\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u306e\u5b58\u5728\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306e\u5177\u4f53\u7684\u306a\u5024\u3092\u3001\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3001\\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u306e\u7a4d\u3068\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u3053\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u307e\u3067\u4e00\u81f4\u3055\u305b\u308b\u306b\u306f\u3001\u305d\u308c\u305e\u308c\u306e\u7b97\u8853\u4e0d\u5909\u91cf\u3092\u5b9a\u91cf\u7684\u306b\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u305d\u306e\u65b9\u5411\u3067\u3082\u7814\u7a76\u306f\u9032\u3093\u3067\u3044\u308b\u3002Jetchev\u3001Skinner\u3001Wan \u306f\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306e\u534a\u5b89\u5b9a\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066\u3001\\(p\\ge5\\) \u304c\u826f\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3061 \\(E[p]\\) \u304c\u65e2\u7d04\u3067\u3042\u308b\u306a\u3069\u306e\u4eee\u5b9a\u306e\u4e0b\u3067\u3001BSD \u516c\u5f0f\u306e \\(p\\)-\u6210\u5206\u3092\u8a3c\u660e\u3057\u305f<a href=\"#ref10\">[10]<\/a>\u3002\u3053\u3053\u3067 \\(p\\)-\u6210\u5206\u3092\u8a3c\u660e\u3059\u308b\u3068\u306f\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u4e21\u8fba\u3092\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u95a2\u3059\u308b\u4ed8\u5024\u3067\u6bd4\u8f03\u3057\u3001\u305d\u306e\u7d20\u6570\u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u56e0\u5b50\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059\u3068\u3044\u3046\u610f\u5473\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u53f3\u8fba\u306b\u3042\u308b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q),<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\prod_\\ell c_\\ell,<br \/>\n\\qquad<br \/>\n\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306f\u3044\u305a\u308c\u3082\u6574\u6570\u7684\u306a\u56e0\u5b50\u3092\u6301\u3064\u3002\u305d\u308c\u305e\u308c\u3092\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3054\u3068\u306b\u5206\u89e3\u3057\u3066\u8abf\u3079\u308c\u3070\u3001BSD \u516c\u5f0f\u5168\u4f53\u3092\u4e00\u5ea6\u306b\u8a3c\u660e\u3059\u308b\u4ee3\u308f\u308a\u306b\u3001\u305d\u306e \\(p\\)-\u6210\u5206\u304c\u6b63\u3057\u3044\u3053\u3068\u3092\u78ba\u8a8d\u3067\u304d\u308b\u3002\u5ca9\u6fa4\u7406\u8ad6\u3084 \\(p\\)-\u9032 L \u95a2\u6570\u3092\u7528\u3044\u308b\u7814\u7a76\u306f\u3001\u3053\u306e\u3088\u3046\u306b\u7cbe\u5bc6 BSD \u3092\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u5206\u89e3\u3057\u3066\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u65b9\u5411\u3078\u9032\u3093\u3067\u304d\u305f\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u8a3c\u660e\u3059\u308b\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u6bd4\u8f03\u3059\u308b\u91cf<\/th>\n<th>\u5230\u9054\u3059\u308b\u5185\u5bb9<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206<\/td>\n<td>\\(\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)\\) \u3068 \\(\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)\\)<\/td>\n<td>L \u95a2\u6570\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3068 Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u6b21\u5143\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027<\/td>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068 Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u5dee<\/td>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e\u53f3\u8fba\u306b \\(\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\) \u3092\u6709\u9650\u6574\u6570\u3068\u3057\u3066\u7f6e\u3051\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD \u306e \\(p\\)-\u6210\u5206<\/td>\n<td>\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u3068\u5404\u7b97\u8853\u4e0d\u5909\u91cf\u306e \\(p\\)-\u9032\u4ed8\u5024<\/td>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD \u516c\u5f0f\u306e\u3046\u3061\u3001\u7279\u5b9a\u306e\u7d20\u6570 \\(p\\) \u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u56e0\u5b50\u306e\u4e00\u81f4\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD \u5168\u4f53<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u306e\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u3068\u5168\u3066\u306e\u7b97\u8853\u4e0d\u5909\u91cf<\/td>\n<td>\u5168\u7d20\u6570\u306e\u56e0\u5b50\u3092\u542b\u3080\u5b8c\u5168\u306a\u7b49\u5f0f\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u533a\u5225\u306b\u3088\u3063\u3066\u3001\u300c\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f BSD \u304c\u8a3c\u660e\u3055\u308c\u305f\u300d\u3068\u3044\u3046\u8868\u73fe\u306e\u5c04\u7a0b\u3082\u660e\u78ba\u306b\u306a\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e00\u81f4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u6709\u9650\u6027\u306b\u3064\u3044\u3066\u306f\u5f37\u3044\u5b9a\u7406\u304c\u6210\u7acb\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u4e00\u65b9\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u304c\u8981\u6c42\u3059\u308b\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u306e\u5b8c\u5168\u306a\u7b49\u5f0f\u306b\u306f\u3001\u3055\u3089\u306b\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3092\u4e00\u81f4\u3055\u305b\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308a\u3001\u305d\u306e\u8a3c\u660e\u7bc4\u56f2\u306f\u6761\u4ef6\u3084\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7a2e\u985e\u306b\u3088\u3063\u3066\u7570\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4f4e\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u5f97\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u6210\u679c\u306e\u610f\u5473\u306f\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4e21\u8fba\u304c\u7d4c\u9a13\u7684\u306b\u540c\u3058\u5024\u3092\u793a\u3059\u3068\u3044\u3046\u3053\u3068\u3088\u308a\u6df1\u3044\u3002\u7b2c 10 \u7ae0\u3068\u7b2c 11 \u7ae0\u3067\u898b\u305f\u3088\u3046\u306b\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{Heegner \u70b9}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u9ad8\u3055}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf Q),\\ \\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u304c\u5b9f\u969b\u306b\u50cd\u304d\u3001\u89e3\u6790\u7684\u60c5\u5831\u304b\u3089\u4ee3\u6570\u7684\u60c5\u5831\u3078\u79fb\u308b\u7d4c\u8def\u304c\u5b9a\u7406\u3068\u3057\u3066\u6210\u7acb\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002L \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u5bfe\u5fdc\u306f\u3001\u4e21\u7aef\u306e\u6570\u5024\u3060\u3051\u304c\u4e00\u81f4\u3057\u3066\u3044\u308b\u73fe\u8c61\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u305d\u306e\u9593\u3092\u7d50\u3076\u5177\u4f53\u7684\u306a\u7b97\u8853\u69cb\u9020\u306b\u3088\u3063\u3066\u652f\u3048\u3089\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4e00\u65b9\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(2\\) \u4ee5\u4e0a\u306b\u306a\u308b\u3068\u3001L \u95a2\u6570\u5074\u3067\u306f\u9ad8\u6b21\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u304c\u73fe\u308c\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u8907\u6570\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u9ad8\u6b21\u5143\u306e Mordell\u2013Weil \u683c\u5b50\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u6b21\u7ae0\u3067\u306f\u3001\u4f4e\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u6a5f\u80fd\u3057\u305f\u63a5\u7d9a\u6a5f\u69cb\u3092\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3078\u62e1\u5f35\u3059\u308b\u3068\u304d\u3001\u3069\u306e\u90e8\u5206\u304c\u96e3\u3057\u304f\u306a\u308b\u306e\u304b\u3092\u898b\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>15. \u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u306f\u8907\u6570\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u5927\u57df\u60c5\u5831\u3092\u540c\u6642\u306b\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b<\/h2>\n<p>\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(0\\) \u307e\u305f\u306f \\(1\\) \u306e\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001\u4e2d\u5fc3\u5024 \\(L(E,1)\\) \u307e\u305f\u306f\u4e00\u6b21\u5fae\u5206 \\(L'(E,1)\\) \u304c\u4e3b\u8981\u306a\u89e3\u6790\u91cf\u306b\u306a\u308b\u3002\u3053\u308c\u306b\u5bfe\u3057\u3001\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(r\\ge2\\) \u306a\u3089\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,1)<br \/>\n=<br \/>\nL'(E,1)<br \/>\n=<br \/>\n\\cdots<br \/>\n=<br \/>\nL^{(r-1)}(E,1)<br \/>\n=<br \/>\n0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u306a\u308a\u3001\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u9805\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u73fe\u308c\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u6271\u3046\u5bfe\u8c61\u304c\u9ad8\u6b21\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3078\u79fb\u308b\u306e\u3068\u540c\u6642\u306b\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u3082\u4e00\u3064\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u8907\u6570\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u6709\u7406\u70b9\u3078\u554f\u984c\u306e\u6b21\u5143\u304c\u4e0a\u304c\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c \\(r\\) \u306a\u3089\u3001Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)\/E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}<br \/>\n\\simeq<br \/>\n\\mathbf Z^r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3067\u3042\u308a\u3001\u72ec\u7acb\u306a\u751f\u6210\u5143<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nP_1,\\ldots,P_r<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002\u70b9\u3092 \\(r\\) \u500b\u898b\u3064\u3051\u308b\u3060\u3051\u3067\u306f\u5341\u5206\u3067\u306f\u306a\u304f\u3001\u305d\u308c\u3089\u304c\u6574\u6570\u4fc2\u6570\u306e\u95a2\u4fc2<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nn_1P_1+\\cdots+n_rP_r=\\mathcal O<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u81ea\u660e\u306a \\(n_1=\\cdots=n_r=0\\) \u4ee5\u5916\u306b\u6301\u305f\u306a\u3044\u3053\u3068\u3001\u3059\u306a\u308f\u3061\u72ec\u7acb\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u78ba\u8a8d\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3055\u3089\u306b\u7cbe\u5bc6 BSD \u3067\u306f\u3001\u72ec\u7acb\u306a\u70b9\u306e\u500b\u6570\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001\u305d\u308c\u3089\u304c\u4f5c\u308b\u683c\u5b50\u306e\u7b97\u8853\u7684\u306a\u5927\u304d\u3055\u3082\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304b\u3089\u4f5c\u308b\u9ad8\u3055\u884c\u5217<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\left(<br \/>\n\\langle P_i,P_j\\rangle<br \/>\n\\right)_{1\\le i,j\\le r}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u306e\u884c\u5217\u5f0f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{Reg}(E)<br \/>\n=<br \/>\n\\det<br \/>\n\\left(<br \/>\n\\langle P_i,P_j\\rangle<br \/>\n\\right)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u304c\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3067\u3042\u308b\u3002\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u306a\u3089 1 \u500b\u306e\u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3092\u8abf\u3079\u308c\u3070\u3088\u3044\u304c\u3001\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\) \u3067\u306f \\(r\\) \u500b\u306e\u70b9\u306e\u76f8\u4e92\u95a2\u4fc2\u307e\u3067\u542b\u3080 \\(r\\times r\\) \u884c\u5217\u3092\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u89b3\u70b9<\/th>\n<th>\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\)<\/th>\n<th>\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af \\(r\\ge2\\)<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u89e3\u6790\u5074\u306e\u4e3b\u8981\u9805<\/td>\n<td>\\(L'(E,1)\\) \u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(L^{(r)}(E,1)\/r!\\) \u3068\u3044\u3046\u9ad8\u6b21\u5fae\u5206\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u5fc5\u8981\u306a\u5927\u57df\u70b9<\/td>\n<td>\u4e00\u3064\u306e\u975e\u6369\u308c\u70b9\u304c\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u5b58\u5728\u3092\u793a\u3059\u3002<\/td>\n<td>\\(r\\) \u500b\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u7121\u9650\u4f4d\u6570\u70b9\u304c\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u72ec\u7acb\u6027<\/td>\n<td>\u4e00\u70b9\u304c\u975e\u6369\u308c\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u78ba\u8a8d\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u8907\u6570\u306e\u70b9\u306e\u9593\u306b\u975e\u81ea\u660e\u306a\u6574\u6570\u95a2\u4fc2\u304c\u306a\u3044\u3053\u3068\u3092\u78ba\u8a8d\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u9ad8\u3055<\/td>\n<td>\u4e00\u3064\u306e N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u304c\u4e2d\u5fc3\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5168\u3066\u306e\u70b9\u306e\u76f8\u4e92\u9ad8\u3055\u304b\u3089\u9ad8\u3055\u884c\u5217\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf<\/td>\n<td>\u672c\u8cea\u7684\u306b\u4e00\u3064\u306e\u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\\(r\\times r\\) \u306e\u9ad8\u3055\u884c\u5217\u306e\u884c\u5217\u5f0f\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4<\/td>\n<td>\u4e00\u3064\u306e\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u5206\u96e2\u3059\u308b\u5236\u5fa1\u304c\u4e2d\u5fc3\u306b\u306a\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u8907\u6570\u306e\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u3001\u8ffd\u52a0\u306e Selmer \u985e\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u540c\u6642\u306b\u5206\u96e2\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306e\u4f4e\u30e9\u30f3\u30af\u7406\u8ad6\u304c\u5f37\u304f\u6a5f\u80fd\u3059\u308b\u7406\u7531\u3082\u3001\u3053\u306e\u6b21\u5143\u306e\u9055\u3044\u304b\u3089\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u306f\u3001Gross\u2013Zagier \u516c\u5f0f\u306b\u3088\u3063\u3066<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL'(E,1)\\neq0<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\hat h(P)>0<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u3067\u4e00\u3064\u306e Heegner \u70b9\u304c\u5f97\u3089\u308c\u308b\u3002\u305d\u306e\u4e00\u70b9\u304c\u975e\u6369\u308c\u3067\u3042\u308b\u3053\u3068\u3092\u793a\u305b\u3070\u3001\u5c11\u306a\u304f\u3068\u3082\u4e00\u3064\u306e\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u304c\u5b58\u5728\u3059\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b Kolyvagin \u306e\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u304c\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3078\u4e0a\u754c\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u81ea\u7531\u65b9\u5411\u304c\u4e00\u3064\u3092\u8d85\u3048\u306a\u3044\u3053\u3068\u3092\u793a\u305b\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u69cb\u9020\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\text{1 \u500b\u306e\u5927\u57df\u70b9\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b}<br \/>\n+<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u304b\u3089\u4e0a\u754c\u3092\u5f97\u308b}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30e9\u30f3\u30af\u3092\u78ba\u5b9a\u3059\u308b}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u3092\u6301\u3064\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(1\\) \u3067\u306f\u3001\u4e0b\u754c\u3068\u4e0a\u754c\u304c\u4e00\u70b9\u3092\u8ef8\u306b\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u69cb\u56f3\u3092\u305d\u306e\u307e\u307e\u4f7f\u3046\u306b\u306f\u60c5\u5831\u304c\u4e0d\u8db3\u3059\u308b\u3002\u305f\u3068\u3048\u3070\u30e9\u30f3\u30af \\(3\\) \u3092\u793a\u3059\u306a\u3089\u3001\u72ec\u7acb\u306a\u4e09\u3064\u306e\u5927\u57df\u70b9\u307e\u305f\u306f\u305d\u308c\u306b\u76f8\u5f53\u3059\u308b\u4e09\u6b21\u5143\u306e\u5927\u57df\u30b3\u30db\u30e2\u30ed\u30b8\u30fc\u60c5\u5831\u3092\u69cb\u6210\u3059\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u4e00\u3064\u306e\u975e\u6369\u308c Heegner \u70b9\u304c\u5b58\u5728\u3057\u3066\u3082\u3001\u305d\u308c\u306b\u3088\u3063\u3066\u5f97\u3089\u308c\u308b\u306e\u306f<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)\\ge1<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u4e0b\u754c\u3060\u3051\u3067\u3042\u308a\u3001\u30e9\u30f3\u30af \\(3\\) \u306b\u5fc5\u8981\u306a\u6b8b\u308a\u4e8c\u65b9\u5411\u306f\u5225\u306b\u691c\u51fa\u3057\u306a\u3051\u308c\u3070\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002<\/p>\n<p>\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u306f\u3001\u89e3\u6790\u5074\u3082\u540c\u3058\u3088\u3046\u306b\u60c5\u5831\u91cf\u304c\u5897\u3048\u308b\u3002\u4e00\u6b21\u5fae\u5206\u304c\u4e00\u3064\u306e\u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3068\u7d50\u3073\u4ed8\u304f Gross\u2013Zagier \u306e\u69cb\u9020\u306b\u5bfe\u3057\u3001\\(r\\) \u6b21\u5fae\u5206\u306b\u306f\u8907\u6570\u306e\u5927\u57df\u70b9\u3084\u9ad8\u6b21\u5143\u306e\u7b97\u8853\u7684\u4e0d\u5909\u91cf\u3092\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3078\u62e1\u5f35\u3059\u308b\u7406\u8ad6\u3082\u7814\u7a76\u3055\u308c\u3066\u3044\u308b\u304c\u3001\u4e00\u822c\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066 BSD \u5168\u4f53\u3092\u4e0e\u3048\u308b\u7d50\u679c\u306b\u306f\u81f3\u3063\u3066\u3044\u306a\u3044\u3002<\/p>\n<p>\u3055\u3089\u306b\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u6b21\u5143\u304c\u5927\u304d\u3044\u5834\u5408\u306b\u306f\u3001\u305d\u306e\u5168\u3066\u304c Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304b\u3089\u6765\u3066\u3044\u308b\u3068\u306f\u9650\u3089\u306a\u3044\u3002\u524d\u7ae0\u307e\u3067\u306b\u898b\u305f\u77ed\u5b8c\u5168\u5217\u3067\u306f\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u306e\u4e2d\u306b \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u60c5\u5831\u3082\u542b\u307e\u308c\u3066\u3044\u308b\u3002\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u5019\u88dc\u304c\u5f97\u3089\u308c\u305f\u3068\u304d\u3001\u305d\u306e\u5927\u304d\u3055\u304c\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u306b\u3088\u308b\u3082\u306e\u304b\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\) \u306b\u7531\u6765\u3059\u308b\u3082\u306e\u304b\u3092\u5206\u96e2\u3059\u308b\u4f5c\u696d\u3082\u5fc5\u8981\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6 BSD \u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u8907\u6570\u306e\u554f\u984c\u3092\u6700\u7d42\u7684\u306b\u4e00\u3064\u306e\u5f0f\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u9ad8\u6b21\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f \\(r\\) \u6b21\u5143\u306e Mordell\u2013Weil \u683c\u5b50\u3068\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u3055\u3089\u306b \\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3092\u540c\u6642\u306b\u5236\u5fa1\u3057\u306a\u3051\u308c\u3070\u306a\u3089\u306a\u3044\u3002<\/p>\n<p>\u3057\u305f\u304c\u3063\u3066\u3001\u9ad8\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u96e3\u3057\u304f\u306a\u308b\u7406\u7531\u306f\u3001\u5358\u306b\u8a08\u7b97\u91cf\u304c\u5897\u3048\u308b\u3053\u3068\u306b\u96c6\u7d04\u3055\u308c\u306a\u3044\u3002\u89e3\u6790\u5074\u306e\u6b21\u6570\u3068\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u6b21\u5143\u304c\u540c\u6642\u306b\u4e0a\u304c\u308a\u3001\u305d\u306e\u4e8c\u3064\u3092\u7d50\u3076\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u3082\u9ad8\u6b21\u5143\u5316\u3059\u308b\u3002\u4e00\u3064\u306e\u7279\u6b8a\u70b9\u3092\u691c\u51fa\u3059\u308b\u554f\u984c\u304b\u3089\u3001\u8907\u6570\u306e\u72ec\u7acb\u306a\u5927\u57df\u60c5\u5831\u3092\u69cb\u6210\u3057\u3001\u305d\u308c\u3089\u306e\u76f8\u4e92\u95a2\u4fc2\u3068\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u540c\u6642\u306b\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u554f\u984c\u3078\u5909\u308f\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u898b\u65b9\u3092\u3059\u308b\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u672a\u89e3\u6c7a\u90e8\u5206\u3092\u300cL \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u304c\u306a\u305c\u95a2\u4fc2\u3059\u308b\u304b\u5206\u304b\u3089\u306a\u3044\u300d\u3068\u8868\u3059\u306e\u306f\u6b63\u78ba\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f\u3001\u305d\u306e\u95a2\u4fc2\u3092\u5b9f\u73fe\u3059\u308b Heegner \u70b9\u3001\u9ad8\u3055\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3068\u3044\u3046\u7d4c\u8def\u304c\u5b9a\u7406\u3068\u3057\u3066\u6a5f\u80fd\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u4e00\u822c\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u6b8b\u308b\u8ab2\u984c\u306f\u3001\u65e2\u306b\u898b\u3048\u3066\u3044\u308b\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u306e\u63a5\u7d9a\u3092\u3001\u5fc5\u8981\u306a\u6b21\u6570\u3068\u6b21\u5143\u307e\u3067\u62e1\u5f35\u3057\u3001\u7cbe\u5bc6 BSD \u306b\u73fe\u308c\u308b\u5168\u3066\u306e\u4e0d\u5909\u91cf\u3092\u540c\u6642\u306b\u4e00\u81f4\u3055\u305b\u308b\u3053\u3068\u306b\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>16. \u5165\u9580\u7684\u306a BSD \u89e3\u8aac\u304b\u3089\u4e00\u6bb5\u5148\u3078\u9032\u3080\u3068\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u304c\u898b\u3048\u308b<\/h2>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u306e\u5165\u9580\u3067\u306f\u3001\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3001L \u95a2\u6570\u3092\u9806\u306b\u5c0e\u5165\u3057\u3001\u6700\u5f8c\u306b<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u3092\u63d0\u793a\u3059\u308b\u69cb\u6210\u304c\u7406\u89e3\u3057\u3084\u3059\u3044\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u306e\u6574\u6570\u3068\u89e3\u6790\u5074\u306e\u6574\u6570\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046\u5f62\u307e\u3067\u7d5e\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u4e88\u60f3\u306e\u4e3b\u5f35\u3092\u77ed\u3044\u5f0f\u3068\u3057\u3066\u6349\u3048\u3089\u308c\u308b\u304b\u3089\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>2026 \u5e74 9 \u6708 15 \u65e5\u306b\u516c\u958b\u3055\u308c\u305f tsujimotter \u6c0f\u306e\u8a73\u7d30\u89e3\u8aac\u3082\u3001\u3053\u306e\u7d4c\u8def\u3092\u305f\u3069\u308a\u306a\u304c\u3089\u3001Birch \u3068 Swinnerton-Dyer \u306b\u3088\u308b EDSAC \u3092\u4f7f\u3063\u305f\u6570\u5024\u8a08\u7b97\u3001\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u3001Coates\u2013Wiles\u3001Gross\u2013Zagier\u3001Kolyvagin \u307e\u3067\u7d39\u4ecb\u3057\u3066\u3044\u308b<a href=\"#ref11\">[11]<\/a>\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306e\u5165\u53e3\u304b\u3089\u65e2\u77e5\u306e\u90e8\u5206\u7d50\u679c\u307e\u3067\u3092\u8ffd\u3046\u3046\u3048\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u69cb\u6210\u3067\u4e3b\u8981\u306a\u8ad6\u70b9\u3092\u628a\u63e1\u3067\u304d\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4e00\u65b9\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u306e\u4e21\u8fba\u3060\u3051\u3092\u898b\u308b\u3068\u3001\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u304b\u3089\u4f5c\u3089\u308c\u308b L \u95a2\u6570\u3068\u3001\u6709\u7406\u6570\u4e0a\u306e Mordell\u2013Weil \u7fa4\u304c\u3069\u306e\u7d4c\u8def\u3067\u63a5\u89e6\u3059\u308b\u306e\u304b\u306f\u898b\u3048\u306b\u304f\u3044\u3002\u672c\u7a3f\u3067\u6271\u3063\u3066\u304d\u305f\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001Heegner \u70b9\u3001N\u00e9ron\u2013Tate \u9ad8\u3055\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u3092\u9593\u306b\u7f6e\u304f\u3068\u3001\u305d\u306e\u5bfe\u5fdc\u3092\u8907\u6570\u306e\u6bb5\u968e\u3078\u5206\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u898b\u308b\u7bc4\u56f2<\/th>\n<th>\u4e2d\u5fc3\u3068\u306a\u308b\u5bfe\u8c61<\/th>\n<th>\u898b\u3048\u308b\u69cb\u9020<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u307e\u3067<\/td>\n<td>\\(\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)\\) \u3068 \\(\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)\\)<\/td>\n<td>\u4ee3\u6570\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u3068\u3044\u3046 BSD \u4e88\u60f3\u306e\u4e2d\u5fc3\u547d\u984c\u3092\u628a\u63e1\u3067\u304d\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u307e\u3067<\/td>\n<td>Heegner \u70b9\u3001\u9ad8\u3055\u3001\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u3001\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4<\/td>\n<td>L \u95a2\u6570\u306e\u89e3\u6790\u7684\u60c5\u5831\u304c\u3001\u3069\u306e\u3088\u3046\u306a\u6bb5\u968e\u3092\u7d4c\u3066 Mordell\u2013Weil \u7fa4\u3078\u63a5\u7d9a\u3059\u308b\u304b\u304c\u898b\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u7cbe\u5bc6 BSD \u307e\u3067<\/td>\n<td>\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001Tamagawa \u6570\u3001\u5b9f\u5468\u671f\u3001\u6369\u308c\u90e8\u5206<\/td>\n<td>\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3060\u3051\u3067\u306a\u304f\u3001\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u307e\u3067\u8907\u6570\u306e\u7b97\u8853\u7684\u4e0d\u5909\u91cf\u3068\u5bfe\u5fdc\u3059\u308b\u3053\u3068\u304c\u898b\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u3053\u306e\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u3092\u5165\u308c\u308b\u3068\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\text{\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u306e\u70b9\u6570}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\na_p<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{Heegner \u70b9}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf Q),\\ \\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u63a5\u7d9a\u304c\u898b\u3048\u308b\u3002\u4f4e\u89e3\u6790\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u7d4c\u8def\u306e\u4e3b\u8981\u90e8\u5206\u304c Gross\u2013Zagier \u3068 Kolyvagin \u306e\u7406\u8ad6\u306b\u3088\u3063\u3066\u5b9f\u969b\u306b\u5b9a\u7406\u3068\u3057\u3066\u6a5f\u80fd\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002\u7cbe\u5bc6 BSD \u3078\u9032\u3081\u3070\u3001\u3055\u3089\u306b\u6709\u7406\u70b9\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u304c\u4f5c\u308b\u683c\u5b50\u3001\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u306e\u5c40\u6240\u88dc\u6b63\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u539f\u7406\u306e\u969c\u5bb3\u307e\u3067\u540c\u3058\u7b49\u5f0f\u3078\u5165\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6b74\u53f2\u7684\u306a\u4f4d\u7f6e\u4ed8\u3051\u3067\u306f\u3001\u4e00\u70b9\u3060\u3051\u533a\u5225\u3057\u3066\u304a\u304f\u5fc5\u8981\u304c\u3042\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u305d\u306e\u3082\u306e\u306f\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u5b9a\u7406\u306e\u5b8c\u6210\u3088\u308a\u524d\u304b\u3089\u5b9a\u5f0f\u5316\u3055\u308c\u3001\u7814\u7a76\u3055\u308c\u3066\u304d\u305f\u3002\u30e2\u30b8\u30e5\u30e9\u30fc\u6027\u304c\u3082\u305f\u3089\u3057\u305f\u306e\u306f\u3001\\(\\mathbf Q\\) \u4e0a\u306e\u5168\u3066\u306e\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306b\u3064\u3044\u3066 L \u95a2\u6570\u306e\u89e3\u6790\u63a5\u7d9a\u3068\u95a2\u6570\u7b49\u5f0f\u3092\u78ba\u7acb\u3057\u3001\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u306e\u5024\u3084\u5fae\u5206\u3092\u7121\u6761\u4ef6\u306b\u6271\u3048\u308b\u57fa\u76e4\u3067\u3042\u308b<a href=\"#ref4\">[4]<\/a>\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u533a\u5225\u3092\u7f6e\u304f\u3068\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306e\u6210\u7acb\u3068\u3001\u305d\u306e\u89e3\u6790\u5074\u3092\u53b3\u5bc6\u306b\u6271\u3048\u308b\u3088\u3046\u306b\u306a\u3063\u305f\u6b74\u53f2\u3092\u5206\u3051\u3066\u7406\u89e3\u3067\u304d\u308b\u3002\u305d\u3057\u3066\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u304b\u3089\u3055\u3089\u306b\u4e00\u6bb5\u9032\u3080\u3053\u3068\u3067\u3001BSD \u4e88\u60f3\u306f\u300c\u4e8c\u3064\u306e\u6574\u6570\u304c\u4e00\u81f4\u3059\u308b\u300d\u3068\u3044\u3046\u4e3b\u5f35\u304b\u3089\u3001\u5c40\u6240\u7684\u306a\u7b97\u8853\u60c5\u5831\u3068\u5927\u57df\u7684\u306a\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3092\u8907\u6570\u306e\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u304c\u7d50\u3093\u3067\u3044\u308b\u3068\u3044\u3046\u3001\u3088\u308a\u5177\u4f53\u7684\u306a\u6570\u8ad6\u306e\u554f\u984c\u3068\u3057\u3066\u898b\u3048\u3066\u304f\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>17. BSD \u4e88\u60f3\u306f\u6709\u9650\u306a\u5c40\u6240\u89b3\u6e2c\u304b\u3089\u5927\u57df\u69cb\u9020\u3092\u8aad\u3080<\/h2>\n<p>\u6709\u7406\u70b9\u3092\u77e5\u308a\u305f\u3044\u3068\u3044\u3046\u51fa\u767a\u70b9\u304b\u3089 BSD \u4e88\u60f3\u307e\u3067\u306e\u7d4c\u8def\u3092\u4e26\u3079\u76f4\u3059\u3068\u3001\u89e3\u6790\u5074\u3068\u4ee3\u6570\u5074\u306b\u4e8c\u3064\u306e\u7cfb\u5217\u304c\u898b\u3048\u308b\u3002\u4e21\u8005\u306f\u7570\u306a\u308b\u65b9\u6cd5\u3067\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u8abf\u3079\u306a\u304c\u3089\u3001\u6700\u7d42\u7684\u306b\u306f\u540c\u3058\u5927\u57df\u7684\u306a\u7b97\u8853\u69cb\u9020\u3078\u5230\u9054\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u3001\u5404\u7d20\u6570 \\(p\\) \u3067\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u3092\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u3078\u9084\u5143\u3059\u308b\u3053\u3068\u304b\u3089\u59cb\u307e\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\na_p<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s),<br \/>\n\\ \\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u6709\u9650\u4f53\u4e0a\u3067\u306f\u70b9\u3092\u5168\u3066\u6570\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002\u305d\u306e\u70b9\u6570\u3068\u57fa\u6e96\u5024 \\(p+1\\) \u306e\u5dee\u304b\u3089<\/p>\n<p>\\[<br \/>\na_p=p+1-\\#E(\\mathbf F_p)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3059\u3068\u3001\\(a_p\\) \u306f\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u4f5c\u7528\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3068\u3057\u3066\u89e3\u91c8\u3067\u304d\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u5404\u7d20\u6570\u306e \\(a_p\\) \u3092\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3078\u5165\u308c\u3001\u5168\u7d20\u6570\u306b\u3064\u3044\u3066\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7a4d\u3092\u53d6\u308b\u3053\u3068\u3067 L \u95a2\u6570 \\(L(E,s)\\) \u304c\u69cb\u6210\u3055\u308c\u308b\u3002\u305d\u306e\u4e2d\u5fc3\u70b9 \\(s=1\\) \u3067\u3001\u96f6\u70b9\u306e\u6b21\u6570\u3068\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3064\u307e\u308a\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u6709\u9650\u306a\u89b3\u6e2c\u7d50\u679c\u3092\u9806\u306b\u5909\u63db\u3057\u3001\u6700\u7d42\u7684\u306b\u4e00\u3064\u306e\u5927\u57df\u7684\u306a\u89e3\u6790\u95a2\u6570\u3078\u96c6\u7d04\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u4e00\u65b9\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u305d\u306e\u3082\u306e\u304b\u3089\u51fa\u767a\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nE(\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\frac{E(\\mathbf Q)}{nE(\\mathbf Q)}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\mathrm{Sel}^{(n)}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>Mordell\u2013Weil \u5b9a\u7406\u306b\u3088\u3063\u3066 \\(E(\\mathbf Q)\\) \u306f\u6709\u9650\u751f\u6210\u3067\u3042\u308a\u3001\u305d\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u968e\u6570\u304c\u30e9\u30f3\u30af\u306b\u306a\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u7121\u9650\u7fa4\u3092\u76f4\u63a5\u6271\u3046\u4ee3\u308f\u308a\u306b \\(n\\) \u500d\u306b\u3088\u308b\u5546\u3078\u843d\u3068\u305b\u3070\u6709\u9650\u306a\u60c5\u5831\u3078\u5909\u63db\u3067\u304d\u308b\u3002\u3055\u3089\u306b\u5404\u5c40\u6240\u4f53 \\(\\mathbf Q_v\\) \u306b\u304a\u3051\u308b\u6761\u4ef6\u3092\u8ab2\u3059\u3053\u3068\u3067\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u69cb\u6210\u3057\u3001\u5b9f\u969b\u306e\u6709\u7406\u70b9\u304b\u3089\u751f\u3058\u308b\u90e8\u5206\u3068\u3001\u305d\u308c\u3067\u3082\u6b8b\u308b\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u3092 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3068\u3057\u3066\u5206\u96e2\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<table>\n<thead>\n<tr>\n<th>\u7cfb\u5217<\/th>\n<th>\u5c40\u6240\u7684\u306a\u5165\u53e3<\/th>\n<th>\u60c5\u5831\u306e\u96c6\u7d04<\/th>\n<th>\u5927\u57df\u7684\u306b\u5f97\u305f\u3044\u91cf<\/th>\n<\/tr>\n<\/thead>\n<tbody>\n<tr>\n<td>\u89e3\u6790\u5074<\/td>\n<td>\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u70b9\u6570\u3068\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u306e\u30c8\u30ec\u30fc\u30b9\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5404\u7d20\u6570\u306e\u5c40\u6240\u56e0\u5b50\u3092 L \u95a2\u6570\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u4e2d\u5fc3\u70b9\u3067\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3068\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6 Taylor \u4fc2\u6570\u3092\u5f97\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\u4ee3\u6570\u5074<\/td>\n<td>\u5404\u5c40\u6240\u4f53 \\(\\mathbf Q_v\\) \u306b\u304a\u3051\u308b Kummer \u6761\u4ef6\u3092\u8abf\u3079\u308b\u3002<\/td>\n<td>\u5c40\u6240\u6761\u4ef6\u3092\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3078\u96c6\u7d04\u3059\u308b\u3002<\/td>\n<td>Mordell\u2013Weil \u7fa4\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u3092\u5206\u96e2\u3057\u3066\u6349\u3048\u308b\u3002<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<p>\u4e8c\u3064\u306e\u7cfb\u5217\u3067\u4f7f\u3046\u300c\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u300d\u306f\u540c\u4e00\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u89e3\u6790\u5074\u3067\u306f\u4e3b\u306b\u6709\u9650\u4f53 \\(\\mathbf F_p\\) \u4e0a\u306e\u30d5\u30ed\u30d9\u30cb\u30a6\u30b9\u60c5\u5831\u3092\u4f7f\u3044\u3001\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u306f\u5b8c\u5099\u5316 \\(\\mathbf Q_p\\) \u3084 \\(\\mathbf R\\) \u4e0a\u306e\u5c40\u6240\u53ef\u89e3\u6027\u3092\u4f7f\u3046\u3002\u305d\u308c\u3067\u3082\u3001\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306e\u60c5\u5831\u3092\u96c6\u7d04\u3057\u3066\u5927\u57df\u7684\u306a\u69cb\u9020\u3078\u9032\u3080\u3068\u3044\u3046\u69cb\u6210\u306f\u5171\u901a\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>BSD \u4e88\u60f3\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u90e8\u5206\u306f\u3001\u3053\u306e\u4e8c\u7cfb\u5217\u306e\u5230\u9054\u70b9\u304b\u3089\u4e00\u3064\u305a\u3064\u6574\u6570\u3092\u53d6\u308a\u51fa\u3057\u3066\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\operatorname{rank}E(\\mathbf Q)<br \/>\n=<br \/>\n\\operatorname{ord}_{s=1}L(E,s)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u5bfe\u5fdc\u3055\u305b\u308b\u3002\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u6b21\u5143\u304c\u3001\u5168\u7d20\u6570\u306e\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092\u96c6\u7d04\u3057\u305f L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u96f6\u70b9\u6b21\u6570\u3068\u3057\u3066\u73fe\u308c\u308b\u3068\u3044\u3046\u4e3b\u5f35\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3057\u304b\u3057\u3001\u672c\u7a3f\u3067\u898b\u3066\u304d\u305f\u3088\u3046\u306b\u3001\u3053\u306e\u7b49\u5f0f\u3060\u3051\u304c BSD \u4e88\u60f3\u306e\u69cb\u9020\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u4f4e\u89e3\u6790\u30e9\u30f3\u30af\u3067\u306f\u3001Gross\u2013Zagier \u304c L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206\u3092 Heegner \u70b9\u306e\u9ad8\u3055\u3078\u7d50\u3073\u3001Kolyvagin \u304c\u305d\u306e\u70b9\u304b\u3089\u4f5c\u308b\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb\u306b\u3088\u3063\u3066\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3092\u5236\u5fa1\u3059\u308b\u3002\u305d\u306e\u7d4c\u8def\u306f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\nL(E,s)<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u4e2d\u5fc3\u5024\u30fb\u4e2d\u5fc3\u5fae\u5206}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{Heegner \u70b9}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u9ad8\u3055}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30aa\u30a4\u30e9\u30fc\u7cfb}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\n\\text{\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4}<br \/>\n\\longrightarrow<br \/>\nE(\\mathbf Q),\\ \\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u8868\u305b\u308b\u3002\u89e3\u6790\u7684\u30e9\u30f3\u30af \\(0\\) \u3068 \\(1\\) \u3067\u306f\u3001\u3053\u306e\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u306e\u4e3b\u8981\u90e8\u5206\u304c\u5b9f\u969b\u306b\u5b9a\u7406\u3068\u3057\u3066\u6a5f\u80fd\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3055\u3089\u306b\u7cbe\u5bc6 BSD \u306f\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u306e\u4e00\u81f4\u304b\u3089\u4e00\u6bb5\u9032\u307f\u3001<\/p>\n<p>\\[<br \/>\n\\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!}<br \/>\n=<br \/>\n\\frac{<br \/>\n\\Omega_E\\,<br \/>\n\\operatorname{Reg}(E)\\,<br \/>\n\\#\\operatorname{Sha}(E\/\\mathbf Q)\\,<br \/>\n\\prod_p c_p<br \/>\n}{<br \/>\n\\#E(\\mathbf Q)_{\\mathrm{tors}}^2<br \/>\n}<br \/>\n\\]<\/p>\n<p>\u3068\u3044\u3046\u5f62\u3067\u3001\u4e2d\u5fc3\u306b\u304a\u3051\u308b\u6700\u521d\u306e\u975e\u96f6\u4fc2\u6570\u305d\u306e\u3082\u306e\u3092\u7b97\u8853\u7684\u4e0d\u5909\u91cf\u304b\u3089\u8a18\u8ff0\u3059\u308b\u3002\u53f3\u8fba\u306b\u306f\u3001\u81ea\u7531\u90e8\u5206\u306e\u683c\u5b50\u3092\u6e2c\u308b\u30ec\u30ae\u30e5\u30ec\u30fc\u30bf\u3001\u5b9f\u6570\u4e0a\u306e\u5468\u671f\u3001\u60aa\u3044\u9084\u5143\u3092\u6301\u3064\u7d20\u6570\u3067\u306e Tamagawa \u6570\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u3067\u3042\u308b \\(\\operatorname{Sha}\\)\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u306e\u6709\u9650\u90e8\u5206\u304c\u5168\u3066\u5165\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u3053\u306e\u5168\u4f53\u50cf\u304b\u3089\u3001BSD \u4e88\u60f3\u304c\u7d50\u3073\u4ed8\u3051\u3066\u3044\u308b\u3082\u306e\u3092\u3088\u308a\u6b63\u78ba\u306b\u6349\u3048\u3089\u308c\u308b\u3002\u5bfe\u5fdc\u3057\u3066\u3044\u308b\u306e\u306f\u3001\u5076\u7136\u4f3c\u305f\u4e8c\u3064\u306e\u6570\u3067\u306f\u306a\u3044\u3002\u5404\u7d20\u6570\u3067\u89b3\u6e2c\u3067\u304d\u308b\u6709\u9650\u306a\u5c40\u6240\u60c5\u5831\u3092 L \u95a2\u6570\u3068\u3057\u3066\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3068\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068\u3044\u3046\u5927\u57df\u7684\u306a\u7121\u9650\u69cb\u9020\u304c\u73fe\u308c\u308b\u3001\u3068\u3044\u3046\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u306e\u5bfe\u5fdc\u3067\u3042\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u7cbe\u5bc6\u5f62\u307e\u3067\u9032\u3081\u3070\u3001\u305d\u306e\u5bfe\u5fdc\u306f\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u3044\u3046\u4e00\u3064\u306e\u6574\u6570\u306b\u3068\u3069\u307e\u3089\u306a\u3044\u3002L \u95a2\u6570\u306e\u4e2d\u5fc3\u3067\u306e\u632f\u308b\u821e\u3044\u5168\u4f53\u304c\u3001\u6709\u7406\u70b9\u306e\u683c\u5b50\u3001\u6709\u9650\u90e8\u5206\u3001\u5c40\u6240\u7684\u306a\u88dc\u6b63\u3001\u7121\u9650\u7d20\u70b9\u3067\u306e\u5468\u671f\u3001\u5c40\u6240\u5927\u57df\u969c\u5bb3\u3092\u4e00\u3064\u306e\u5f0f\u3068\u3057\u3066\u8a18\u9332\u3059\u308b\u3068\u4e88\u60f3\u3059\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6709\u7406\u70b9\u3092\u76f4\u63a5\u63a2\u3059\u3068\u3053\u308d\u304b\u3089\u59cb\u3081\u308b\u3068\u3001\u554f\u984c\u306f\u7121\u9650\u306e\u63a2\u7d22\u306b\u898b\u3048\u308b\u3002\u7d20\u6570\u3054\u3068\u306b\u6709\u9650\u4f53\u3078\u79fb\u308c\u3070\u6709\u9650\u306a\u89b3\u6e2c\u3078\u5909\u308f\u308a\u3001\u305d\u306e\u89b3\u6e2c\u3092 L \u95a2\u6570\u3078\u7d71\u5408\u3059\u308c\u3070\u89e3\u6790\u7684\u306a\u5927\u57df\u91cf\u306b\u306a\u308b\u3002\u4ee3\u6570\u5074\u3067\u3082\u3001\u5404\u5c40\u6240\u4f53\u3067\u306e\u6761\u4ef6\u3092\u30bb\u30eb\u30de\u30fc\u7fa4\u3078\u7d71\u5408\u3059\u308b\u3053\u3068\u3067\u3001\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3068 \\(\\operatorname{Sha}\\) \u306e\u69cb\u9020\u3078\u8fd1\u3065\u3051\u308b\u3002BSD \u4e88\u60f3\u306f\u3001\u3053\u306e\u4e8c\u3064\u306e\u5c40\u6240\u304b\u3089\u5927\u57df\u3078\u306e\u7d4c\u8def\u304c\u6700\u7d42\u7684\u306b\u540c\u3058\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u7b97\u8853\u3092\u8a18\u8ff0\u3057\u3066\u3044\u308b\u3053\u3068\u3092\u3001\u30e9\u30f3\u30af\u3068\u4e3b\u8981\u4fc2\u6570\u306e\u53cc\u65b9\u306b\u3064\u3044\u3066\u4e3b\u5f35\u3057\u3066\u3044\u308b\u3002<\/p>\n<p>\u6709\u9650\u306a\u5c40\u6240\u89b3\u6e2c\u3092\u7a4d\u307f\u91cd\u306d\u3001\u305d\u306e\u7dcf\u4f53\u304b\u3089\u5927\u57df\u7684\u306a\u7121\u9650\u69cb\u9020\u3092\u8aad\u3080\u3002\u3053\u306e\u5c40\u6240\u3068\u5927\u57df\u306e\u5bfe\u5fdc\u3053\u305d\u304c\u3001BSD \u4e88\u60f3\u3092\u4e00\u3064\u306e\u30e9\u30f3\u30af\u7b49\u5f0f\u3088\u308a\u5e83\u3044\u6570\u8ad6\u306e\u554f\u984c\u3068\u3057\u3066\u7406\u89e3\u3059\u308b\u305f\u3081\u306e\u4e2d\u5fc3\u306b\u306a\u308b\u3002<\/p>\n<hr>\n<h2>\u53c2\u8003\u6587\u732e<\/h2>\n<ol>\n<li id=\"ref1\">Bjorn Poonen, <em>Rational Points on Varieties<\/em> (2017). <a href=\"https:\/\/math.berkeley.edu\/~poonen\/papers\/Qpoints.pdf\">https:\/\/math.berkeley.edu\/~poonen\/papers\/Qpoints.pdf<\/a><\/li>\n<li id=\"ref2\">Andrew V. Sutherland, <em>18.783 Elliptic Curves, Lecture 24: Modular Forms and L-Functions<\/em> (2025). <a href=\"https:\/\/ocw.mit.edu\/courses\/18-783-elliptic-curves-fall-2025\/resources\/mit18_783_f25_lec24_pdf\/\">https:\/\/ocw.mit.edu\/courses\/18-783-elliptic-curves-fall-2025\/resources\/mit18_783_f25_lec24_pdf\/<\/a><\/li>\n<li id=\"ref3\">id774, \u30d5\u30a7\u30eb\u30de\u30fc\u306e\u6700\u7d42\u5b9a\u7406\u306e\u5f62\u5f0f\u5316\u3067\u3001AI \u304c\u751f\u6210\u3057\u305f\u8a3c\u660e\u3092 Lean \u304c\u3069\u3046\u691c\u8a3c\u3057\u305f\u304b\uff082026-09-07\uff09. <a href=\"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/2026\/09\/07\/5616\/\">https:\/\/blog.id774.net\/entry\/2026\/09\/07\/5616\/<\/a><\/li>\n<li id=\"ref4\">Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor, <em>On the Modularity of Elliptic Curves over Q: Wild 3-adic Exercises<\/em> (2001). <a href=\"https:\/\/www.math.u-psud.fr\/~breuil\/PUBLICATIONS\/STW.pdf\">https:\/\/www.math.u-psud.fr\/~breuil\/PUBLICATIONS\/STW.pdf<\/a><\/li>\n<li id=\"ref5\">Clay Mathematics Institute, <em>Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture<\/em>. <a href=\"https:\/\/www.claymath.org\/millennium\/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture\/\">https:\/\/www.claymath.org\/millennium\/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture\/<\/a><\/li>\n<li id=\"ref6\">Leonard Tomczak, <em>Elliptic Curves &#8211; Lecture Notes<\/em> (2023). <a href=\"https:\/\/math.berkeley.edu\/~ltomczak\/notes\/Lent2023\/EC_Notes.pdf\">https:\/\/math.berkeley.edu\/~ltomczak\/notes\/Lent2023\/EC_Notes.pdf<\/a><\/li>\n<li id=\"ref7\">Benedict H. Gross, Don B. Zagier, <em>Heegner Points and Derivatives of L-Series<\/em> (1986). <a href=\"https:\/\/archive.mpim-bonn.mpg.de\/id\/eprint\/3578\/\">https:\/\/archive.mpim-bonn.mpg.de\/id\/eprint\/3578\/<\/a><\/li>\n<li id=\"ref8\">V. A. Kolyvagin, <em>Finiteness of E(Q) and Sha(E,Q) for a Subclass of Weil Curves<\/em> (1989). <a href=\"https:\/\/www.mathnet.ru\/eng\/im1191\">https:\/\/www.mathnet.ru\/eng\/im1191<\/a><\/li>\n<li id=\"ref9\">LMFDB, <em>Birch and Swinnerton-Dyer invariants of an elliptic curve\/Q<\/em>. <a href=\"https:\/\/www.lmfdb.org\/knowledge\/show\/ec.q.bsd_invariants\">https:\/\/www.lmfdb.org\/knowledge\/show\/ec.q.bsd_invariants<\/a><\/li>\n<li id=\"ref10\">Dimitar Jetchev, Christopher Skinner, Xin Wan, <em>The Birch and Swinnerton-Dyer Formula for Elliptic Curves of Analytic Rank One<\/em> (2017). <a href=\"https:\/\/archive.intlpress.com\/site\/pub\/files\/_fulltext\/journals\/cjm\/2017\/0005\/0003\/CJM-2017-0005-0003-a002.pdf\">https:\/\/archive.intlpress.com\/site\/pub\/files\/_fulltext\/journals\/cjm\/2017\/0005\/0003\/CJM-2017-0005-0003-a002.pdf<\/a><\/li>\n<li id=\"ref11\">tsujimotter, \u30df\u30ec\u30cb\u30a2\u30e0\u554f\u984c\u300cBSD\u4e88\u60f3\u300d\u306e\u4e3b\u5f35\u30921\u304b\u3089\u7406\u89e3\u3057\u305f\u3044\uff01\uff08\u8a73\u7d30\u7de8\uff09\uff082026-09-15\uff09. <a href=\"https:\/\/tsujimotter.hatenablog.com\/entry\/BSD-conjecture-part2\">https:\/\/tsujimotter.hatenablog.com\/entry\/BSD-conjecture-part2<\/a><\/li>\n<\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u6955\u5186\u66f2\u7dda\u306e\u6709\u7406\u70b9\u3092\u8abf\u3079\u305f\u3044\u3068\u304d\u3001\u6700\u3082\u76f4\u63a5\u7684\u306a\u65b9\u6cd5\u306f\u3001\u6709\u7406\u6570\u306e\u5ea7\u6a19\u3092\u6301\u3064\u70b9\u3092\u63a2\u3059\u3053\u3068\u3067\u3042\u308b\u3002\u3057\u304b\u3057\u3001\u6709\u7406\u6570\u306b\u306f\u5206\u5b50\u3068\u5206\u6bcd\u306e\u5927\u304d\u3055\u306b\u4e0a\u9650\u304c\u306a\u3044\u3002\u63a2\u7d22\u6642\u306b\u5206\u5b50\u3084\u5206\u6bcd\u3078\u4e0a\u9650\u3092\u8a2d\u3051\u308c\u3070\u6709\u9650\u500b\u306e\u5019\u88dc\u3092\u8abf\u3079\u3089\u308c\u308b\u304c\u3001\u305d\u306e\u7bc4\u56f2\u3092\u8d8a\u3048\u3066\u6709 &#8230; <a title=\"BSD \u4e88\u60f3\u306f L \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3092\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u3067\u3064\u306a\u3050\" class=\"read-more\" href=\"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/2026\/09\/17\/5683\/\" aria-label=\"BSD \u4e88\u60f3\u306f L \u95a2\u6570\u3068\u6709\u7406\u70b9\u7fa4\u3092\u4e2d\u9593\u69cb\u9020\u3067\u3064\u306a\u3050 \u306b\u3064\u3044\u3066\u3055\u3089\u306b\u8aad\u3080\">\u7d9a\u304d\u3092\u8aad\u3080<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[26],"tags":[],"class_list":["post-5683","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-math"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5683","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=5683"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5683\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":5684,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/5683\/revisions\/5684"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5683"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=5683"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blog.id774.net\/entry\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=5683"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}