前回の記事では、量子アニーリングを業務上の最適化問題へ適用するとき、定式化から後処理までを含む全工程で評価する必要があると述べた。その評価を理論側から支えるには、断熱量子計算と量子アニーリングを区別しなければならない。
断熱量子計算は、時間とともに変化するハミルトニアンを用いる計算モデルである。量子アニーリングは、その考え方と共通する構造を持ちながら、主にイジング模型の低エネルギー状態を探索する最適化手法として実装される。両者は連続しているが、同一ではない。
この区別を欠くと、二つの誤解が生じる。断熱量子計算と回路型量子計算の理論的な同等性を、そのまま現在の量子アニーリング実機の能力と見なす誤解と、有限温度やノイズを受ける実機を、理想的な断熱発展の失敗版にすぎないと見なす誤解である。本稿では、理論モデルが何を保証し、実機について何を保証しないのかを整理する。
1. 断熱量子計算はハミルトニアンの変化を計算に使う
回路型量子計算では、量子ゲートを順番に適用して状態を変化させる。断熱量子計算では、個々のゲート列ではなく、量子系のエネルギーを定めるハミルトニアンを時間とともに変化させる。計算開始時には基底状態を準備しやすい初期ハミルトニアンを用意し、計算終了時には基底状態が求める答えを表す終端ハミルトニアンへ移行する[1]。
この過程が計算になるのは、入力、時間発展、出力の対応が定義されているためである。入力された問題は終端ハミルトニアンへ符号化される。量子状態は時間依存シュレーディンガー方程式に従って変化する。最後に状態を測定し、問題の答えを読み出す。
終端ハミルトニアンの基底状態へ答えを埋め込む構成は、最適化と相性がよい。目的関数の値をエネルギーに対応させれば、最小値を与える変数の組合せが基底状態になる。ただし、答えを基底状態へ符号化できることと、その状態へ短時間で到達できることは別の問題である。
2. 断熱条件は単にゆっくり動かすことではない
断熱定理の直観は、系を十分にゆっくり変化させれば、初期の基底状態から瞬間ごとの基底状態を追跡できるというものである。しかし、必要な時間は「ゆっくり」という一語では決まらない。基底状態と励起状態のエネルギー差であるスペクトルギャップと、ハミルトニアンを変化させる速度が関係する[2]。
発展途中でギャップが小さくなると、基底状態から励起状態へ移る確率を抑えるために、より長い時間が必要になる。問題規模の増加に伴って最小ギャップが急速に縮小する問題では、断熱発展に必要な時間も急増し得る。断熱量子計算が量子力学的に成立することから、任意の問題を効率よく解けるという結論は出ない。
必要時間を最小ギャップの逆二乗に比例すると説明することがあるが、これは一般的な理解の入口にすぎない。厳密な評価には、ギャップだけでなく、ハミルトニアンの時間微分、補間経路、境界条件などが入る[2]。同じ初期状態と終端状態を使っても、途中の経路と速度配分によって成功確率は変わる。
量子アニーリングの性能を考えるときも、アニーリング時間を長くすれば必ず改善するとは限らない。理想的な閉鎖系で断熱誤差を減らす効果と、現実の開放系で熱やノイズへさらされる時間が長くなる効果が同時に存在するからである。
3. 回路型との同等性は理想モデルについての定理である
断熱量子計算が計算モデルとしてどの程度の能力を持つかについて、Aharonov らは、標準的な量子回路を多項式の資源増加で断熱量子計算へ変換できることを示した。これにより、断熱量子計算と回路型量子計算は計算能力の意味で多項式同等と位置づけられた[3]。
この定理が対象とするのは、適切な局所ハミルトニアンを設計し、必要な精度で制御できる理想的な断熱量子計算モデルである。横磁場イジング模型だけを扱う現在の量子アニーリング装置が、任意の量子回路を効率よく実行できると示した定理ではない。
多項式同等という表現も、実行時間が同じであることを意味しない。一方の計算を他方で模擬したとき、必要資源が問題規模の多項式以内に収まるという計算量上の関係である。装置の定数倍の差、誤り訂正、制御精度、接続構造、温度は、この理論的な分類だけでは評価されない。
さらに、回路型量子計算と同等の能力を持つことは、NP 困難な最適化問題を一般に多項式時間で解けることを意味しない。計算モデルの汎用性と、特定問題に対する効率的なアルゴリズムの存在は別である。
4. 量子アニーリングは最適化へ対象を絞った構成である
量子アニーリングの代表的な構成では、問題を古典的なイジング模型として終端ハミルトニアンへ埋め込み、探索を生じさせる横磁場を初期ハミルトニアンとして用いる。時間とともに横磁場を弱め、問題ハミルトニアンの寄与を強める方法は、Kadowaki と Nishimori によって最適化手法として示された[4]。
横磁場は、計算基底上の異なる状態を結び、熱揺らぎとは異なる量子力学的な遷移を生じさせる。この性質を「山を越えずに障壁を抜ける」と説明することがある。ただし、一次元の障壁を抜ける比喩だけでは、多数の変数が結合した問題の性能を予測できない。小さなギャップ、量子相転移、回避交差などが発展を妨げる場合がある[5]。
量子アニーリングには、シュレーディンガー方程式による実時間発展だけでなく、量子モンテカルロ法を用いる計算手法なども含まれてきた。量子揺らぎを徐々に弱めて最適状態を探索するという共通原理はあるが、物理的な量子処理装置と古典計算機上の量子モンテカルロ法は同じ実装ではない[6]。
このため、「量子アニーリング」という語を使うときは、理論上の探索原理、古典計算機上の模擬手法、量子処理装置による実装のどれを指すかを区別する必要がある。
5. QUBO とイジング模型は実機の終端問題を表す
現在の量子アニーリング装置では、終端ハミルトニアンをイジング模型として与える。スピン変数が −1 または +1 を取るイジング形式と、二値変数が 0 または 1 を取る QUBO は変数変換によって相互に移せる[7]。
この対応により、割当、選択、配置などの組合せ最適化を、エネルギー最小化として装置へ入力できる。ただし、QUBO とイジング模型が断熱量子計算一般に必須なのではない。汎用的な断熱量子計算では、より一般の局所ハミルトニアンを扱う。QUBO とイジング模型は、最適化向け量子アニーリング実機が採用している問題表現である。
目的関数をエネルギーへ置き換えるだけでは、業務上の意味は保存されない。制約を罰点へ変換し、実行可能解が制約違反解より低いエネルギーを持つように設計する必要がある。基底状態が数式上の最小値であっても、その数式が現場の判断を誤って表していれば、得られる解も現場では使えない。
理論が保証するのは、与えた終端ハミルトニアンの基底状態と、その模型の最小解との対応である。元の業務課題と終端ハミルトニアンの対応は、モデルを作る側が検証しなければならない。
6. 実機では断熱発展よりサンプリングとして理解する
理想的な断熱量子計算は、環境から隔離された閉鎖系として記述しやすい。現実の量子アニーリング装置は有限温度で動作し、環境との相互作用、磁束雑音、制御値のずれを受ける。D-Wave の資料でも、指定した局所バイアスと結合が実機上で歪む集積制御誤差が説明されている[8]。
開放系であることは、単に理論へ雑音を追加するという意味ではない。熱励起によって基底状態から外れる場合がある一方、励起状態から低い状態へ緩和する場合もある。発展途中で状態が環境との平衡を追えなくなると、その後の出力分布が事実上固定されることもある[1]。
そのため、実機の出力を一回の断熱計算による確定解と捉えるより、低エネルギー状態を得るサンプラーとして捉える方が実態に合う。同じ問題を複数回実行し、得られたエネルギー分布、基底状態の出現率、制約を満たす割合を測る必要がある。
実機が理想的な基底状態へ到達しなかった場合も、その原因を一つに決めることはできない。アニーリングが速すぎた可能性、最小ギャップが小さかった可能性、熱励起、制御誤差、問題の係数範囲、埋め込み後の鎖切れなどを分離して調べる必要がある。
7. 理論から導けることと導けないことを分ける
| 理論上の結果 | そこから言えること | そこからは言えないこと |
|---|---|---|
| 断熱定理 | 一定の条件と十分な実行時間のもとで、基底状態を追跡できる。 | 問題によらず短時間で基底状態へ到達できる。 |
| 回路型との多項式同等性 | 理想的な断熱量子計算は汎用的な量子計算モデルとして成立する。 | 現在の横磁場型量子アニーリング実機が任意の量子回路を実行できる。 |
| 最適解と基底状態の対応 | 正しく符号化した目的関数の最小解を、基底状態として表現できる。 | 符号化した問題を効率よく解ける、または元の業務課題を正しく表している。 |
| 量子揺らぎによる探索 | 熱揺らぎとは異なる遷移機構を探索に利用できる。 | すべてのエネルギー地形で古典的な探索より有利になる。 |
| 量子処理装置からの低エネルギー出力 | 指定した模型について良い解候補を得られる場合がある。 | 量子効果による計算速度向上が実証された。 |
量子速度向上を主張するには、量子処理装置を使ったという事実だけでは足りない。比較する古典手法、対象とする問題族、問題規模、解品質、成功確率、前処理と後処理を含む時間を定義する必要がある。Rønnow らは、量子速度向上には複数の定義があり、問題の選び方や比較条件によって、優位性を隠す場合と見かけ上作り出す場合の双方があることを示した[9]。
量子アニーリングの理論は、実機が必ず勝つという予言ではない。どの部分が計算モデルの保証で、どの部分が問題固有の性質で、どの部分が装置と運用の制約なのかを分けるための地図である。この区別があって初めて、実験結果を過大評価せず、失敗を量子計算全体の否定にも結びつけずに済む。
制約を QUBO へ移す方法と、量子古典ハイブリッドで工程を分割する判断は、続編で扱う。理論上の基底状態と、現場で必要な実行可能解の間を埋めるのは、定式化と運用設計である。
結論
断熱量子計算は、初期ハミルトニアンから終端ハミルトニアンへの時間発展を計算として用いる理論モデルである。適切な条件では回路型量子計算と多項式同等の能力を持つ。しかし、その定理は現在の量子アニーリング実機が汎用量子計算機であることも、組合せ最適化を一般に高速化することも示していない。
量子アニーリングは、断熱発展と共通する考え方を用いながら、横磁場イジング模型の低エネルギー状態探索へ対象を絞る。QUBO とイジング模型は、この実装で終端問題を表す形式であり、断熱量子計算一般の必然ではない。
実機は有限温度の開放系であり、ノイズと制御誤差を含む。出力は一回で確定する最適解ではなく、低エネルギー状態のサンプル分布として評価する必要がある。理想モデルの断熱条件、問題固有のスペクトルギャップ、実機の物理条件、定式化の正しさは、それぞれ別の失敗要因である。
量子アニーリングの理論背景を理解する目的は、量子性を理由に期待することでも、実機が理想どおりでないことを理由に退けることでもない。理論が保証する範囲を限定し、量子速度向上や業務上の価値を、問題と比較条件ごとに検証できる形へ戻すことである。
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参考文献
- T. Albash, D. A. Lidar, “Adiabatic quantum computation,” Reviews of Modern Physics, Vol. 90, Article 015002, 2018. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.90.015002
- S. Jansen, M.-B. Ruskai, R. Seiler, “Bounds for the adiabatic approximation with applications to quantum computation,” Journal of Mathematical Physics, Vol. 48, Article 102111, 2007. https://doi.org/10.1063/1.2798382
- D. Aharonov, W. van Dam, J. Kempe, Z. Landau, S. Lloyd, O. Regev, “Adiabatic Quantum Computation is Equivalent to Standard Quantum Computation,” SIAM Journal on Computing, Vol. 37, No. 1, pp. 166–194, 2007. https://doi.org/10.1137/S0097539705447323
- T. Kadowaki, H. Nishimori, “Quantum annealing in the transverse Ising model,” Physical Review E, Vol. 58, No. 5, pp. 5355–5363, 1998. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.58.5355
- C. R. Laumann, R. Moessner, A. Scardicchio, S. L. Sondhi, “Quantum annealing: the fastest route to quantum computation?” The European Physical Journal Special Topics, Vol. 224, pp. 75–100, 2015. https://doi.org/10.1140/epjst/e2015-02344-2
- S. Morita, H. Nishimori, “Mathematical foundation of quantum annealing,” Journal of Mathematical Physics, Vol. 49, Article 125210, 2008. https://doi.org/10.1063/1.2995837
- D-Wave Quantum Inc., “QUBOs and Ising Models,” D-Wave Quantum Computing Products Documentation, 2026 年参照. https://docs.dwavequantum.com/en/latest/quantum_research/qubo_ising.html
- D-Wave Quantum Inc., “Errors and Error Correction,” D-Wave Quantum Computing Products Documentation, 2026 年参照. https://docs.dwavequantum.com/en/latest/quantum_research/errors.html
- T. F. Rønnow et al., “Defining and detecting quantum speedup,” Science, Vol. 345, No. 6195, pp. 420–424, 2014. https://doi.org/10.1126/science.1252319