水面に渦が現れ、微粒子が集団を作り、細胞が一定の形を保ちながら内部の物質を入れ替える。これらの現象には、複数の要素が相互作用することで、個々の要素の性質からは直ちに予測しにくい集団的な秩序が現れるという共通点がある。渦では水の各部分が移動していても、流れの模様が一定時間保たれる場合がある。微粒子の集団では、粒子が接近と分離を繰り返しながら、全体としてまとまった分布を示すことがある。細胞では、構成分子が絶えず交換される一方で、細胞膜や内部の反応系が維持される。いずれも時間の経過とともに構成要素の状態が更新されるが、観測される秩序を成立させる条件は異なる。
流体の渦は、流速の分布、圧力、粘性、境界条件などによって形成される。流体の一部が周囲と異なる速度で動けば、その速度差に伴う応力や運動量の輸送が周囲の流れへ影響する。流れが一定の条件で供給される系では、渦の形態が持続する場合がある。一方、外部からの駆動を受ける微粒子の集団では、粒子自身の運動と周囲の粒子との相互作用が、密度の偏りや集団の移動を生む。生物の細胞では、これらの物理的な過程に加えて、代謝反応を通じた物質の変換、損傷した構成要素の修復、膜や内部機構の更新が働く。同じような輪郭を持つ構造でも、力の釣り合いによって残る場合と、物質やエネルギーの継続的な流れによって維持される場合では、成立機構が異なる。
ある時点で円形の構造が観測されたとしても、その輪郭だけから、内部の物質が静止しているのか、循環しているのか、外部と交換されているのかは判別できない。時間を空けて再び同じ輪郭が観測された場合も、同じ構成要素が残っていた可能性と、構成要素が入れ替わりながら形態が保たれた可能性がある。さらに、形態が持続したという結果から、構造が外乱に耐える能力まで確定することも難しい。持続時間を調べることと、持続の原因を調べることとでは、必要な測定が異なるからである。
集団構造について区別すべき性質は、大きく三つある。第一は、初期状態から特定の秩序が形成されることである。第二は、形成された秩序が時間の経過や構成要素の運動の中で持続することである。第三は、その秩序を維持するために必要な構成要素や機構が、系の内部で継続的に再生産されることである。粒子が凝集する条件を説明できても、集団が外乱から回復する条件が同時に説明されたことにはならない。また、運動が長時間続いていても、その運動を支える装置や物質が系の内部で修復されているとは限らない。形成、持続、維持機構の再生産は、互いに関連しながらも、異なる因果関係を持っている。
非平衡統計力学、自己組織化、能動物質、非相反相互作用の研究は、この違いを具体的な物理現象として調べる手掛かりになる。例えば、自己推進する粒子が周囲の粒子によって移動を妨げられると、密度の高い領域に粒子が滞在しやすくなり、集団の形成が促進される場合がある。一方、二種類の成分が互いに及ぼす作用が非対称であれば、密度の偏りが一方向へ移動する集団的な運動を生む場合がある。前者は粒子の運動性と密度の関係から凝集を説明し、後者は種類間の相互作用の非対称性と時間発展の関係から移動を説明する。観測された集団という結果が共通していても、運動を生む直接の原因は一致しない。
また、粒子間で働く作用が直接には相反的であっても、多数の粒子を平均化した巨視的な運動方程式には非相反な有効結合が現れる場合がある。逆に、微視的には非相反な相互作用を持つ系でも、巨視的な記述ではその非対称性が現れない場合がある。これは、粒子一つひとつの運動を記述するときと、集団全体の密度や流れを記述するときとでは、残される情報が異なるためである。何を要素として選び、どの尺度で相互作用を定義するかによって、観測される秩序と、それを説明する有効な関係が定まる。
さらに、持続的な運動を現実の物理現象として説明するには、運動を可能にする物質やエネルギーの供給を確かめる必要がある。数理モデルでは、粒子に働く作用や速度の更新規則を直接指定できる。一方、実際の液滴や微粒子では、化学反応、濃度勾配、流体との相互作用、外部電場などが運動の発生に関与する。粒子の軌道が似ていることと、その軌道を成立させる物理的な駆動が同じであることは、別々に検証される。運動の持続を説明するには、力学的な記述と、駆動や散逸の収支を対応付けることが必要になる。
構造が形成された後の変化を評価する場合も、何を測定しているかを明示する必要がある。集団全体が平行移動しても、内部の粒子間関係はほぼ維持されることがある。反対に、集団の重心がほとんど動かなくても、内部では粒子同士の接近と分離が繰り返され、関係構造が大きく再編成される場合がある。形態の変化量、運動の速さ、内部の関係の更新量、外乱への回復能力は、それぞれ異なる観測量で表される。構造の変化が小さいという測定結果から、その構造が安定であるか、特定の機能を維持しているかを判断するには、対応する追加の観測が必要になる。
生命としての自己維持では、構成要素の交換と維持機構の連続性が中心的な問題になる。例えば細胞では、外部から取り込んだ物質を反応によって変換し、膜を構成する分子や内部で働く分子を補充する。膜は物質の出入りを制御し、その内部の反応系が膜や反応系自身の維持に必要な物質を生み出す。このような過程が組織的に結び付くことで、個々の分子の寿命を超えて細胞の構造と機能が持続する。形態を保つことと、その形態を成立させる条件を内部で再生産することの違いは、この具体的な循環に表れる。
複雑な秩序の成立を説明するには、観測された形態から生成規則を推定し、その規則がどの条件で構造を形成するかを調べ、形成後の持続性を測り、必要に応じて物理的な駆動や内部機能を検証することになる。異なる条件を制御した比較によって、特定の機構が存在するときに何が成立し、その機構を変更すると何が失われるのかを確かめられる。構造が存在するという観測を、構造の成立条件についての検証可能な説明へ結び付けるには、このように状態、規則、環境、測定結果を分離することが必要である。
1. 同じ集団構造を生み出す規則は一つとは限らない
1.1. 観測された形態と生成規則を分ける
多数の微粒子が円形に集まっている写真を考える。写真からは、各粒子のおおよその位置、粒子の密度、集団の輪郭を読み取れる。しかし、粒子同士が引き合って円形になったのか、外側から押し込まれたのか、周囲の流体の流れに運ばれたのかは、写真だけから一意に定められない。例えば、粒子間に引力が働く系では、粒子同士が接近することで凝集が進む場合がある。これに対し、粒子間に引力が働かなくても、外部からの拘束や粒子自身の運動性によって、局所的に密度の高い領域が形成される場合がある。円形の輪郭は共通する結果であっても、その輪郭へ至る運動過程は異なる。
この違いは、観測された形態と生成規則を分けて考えると明確になる。生成規則とは、構成要素がどのような条件の下で、どのように相互作用し、次の状態へ更新されるかを定めるものである。粒子の運動なら、粒子間に働く力、速度の更新、周囲の媒質との相互作用などが含まれる。一方、観測された形態は、これらの規則に従って時間が経過した結果として得られる状態である。生成規則は時間発展の原因を記述し、形態はその時間発展の特定時点における結果を記述する。
既稿「材料設計は完成形から生成規則までを扱う」では、完成した構造と、その構造を生成する規則を別の対象として整理した[1]。例えば、同じ形状の材料が得られたとしても、一方は材料を削って形成し、もう一方は材料を積み重ねて形成した可能性がある。完成した形状の幾何学的な情報は共通していても、生成中に材料へ加わった作用や内部に残る状態は、製造方法によって異なり得る。このような関係は、集団構造にも当てはまる。ある時点で類似した密度分布が得られていても、形成過程で粒子が受けた作用や、形成後の運動まで一致するとは限らない。
一つの生成規則から常に一つの形態だけが生じるわけでもない。例えば、粒子間の引力の大きさを固定しても、初期状態で粒子が均等に分布している場合と、特定の領域に集中している場合では、凝集までの時間や形成される集団の数が異なる場合がある。初期速度を変えれば、粒子が接近する方向や衝突する頻度も変わる。さらに、粒子を閉じ込める境界がある場合と、広い空間へ分散できる場合では、同じ相互作用を指定しても到達する状態が異なり得る。生成規則だけでなく、初期条件と環境条件が、実際に形成される構造を決める要因になる。
既稿「創発とは何かを考える」では、下位要素の局所的な相互作用から上位の構造や振る舞いが現れることを論じた[2]。例えば、粒子が周囲の粒子から受ける作用だけで移動していても、集団全体では特定の方向への移動や、一定範囲への凝集が生じる場合がある。このとき、集団としての運動を個々の粒子に与えられた目的や判断だけで説明する必要はない。個々の粒子が受ける作用は周囲の配置によって決まり、その配置が各粒子の移動によって更新されるため、粒子間の相互作用が集団全体の時間発展へ結び付く。
ただし、局所相互作用から集団構造が生じたことを確認するだけでは、その構造に固有の成立条件までは特定できない。例えば、二種類の粒子の間に引力と斥力を指定したモデルで移動する集団が現れたとしても、同じような集団移動が自己推進や流体による輸送から生じる場合がある。異なる生成規則を比較すれば、集団移動という観測結果に共通する性質と、それぞれのモデルに固有の原因を分けられる。創発した構造を説明する際には、局所的な規則から上位の状態へ至る過程を示すとともに、どの規則がその結果の形成に寄与したかを検証することが求められる。
1.2. 微視的な状態と巨視的な観測
生成規則と観測結果の関係を数学的に表すため、多数の粒子の位置や速度をすべて含む状態を \(X_t\)、相互作用を指定する規則を \(\theta\)、環境条件を \(C_t\) とする。時刻 \(t\) は状態を記録する時点を表し、次の時刻の状態は、現在の状態、規則、環境条件によって定まるものとする。決定論的な離散時間モデルであれば、更新の関係を次のように書ける。
\[
X_{t+1}=F(X_t,\theta,C_t)
\]
\(F\) は状態を更新する写像である。例えば粒子の位置と速度が \(X_t\) に含まれ、\(\theta\) が粒子間に働く力の規則を表すなら、現在の粒子配置から各粒子が受ける作用を求め、その作用によって速度と位置を更新する処理が \(F\) に相当する。環境条件 \(C_t\) には、外部から加えられる力や境界条件などを含められる。粒子の種類や規則を固定していても、\(X_t\) が更新されれば相手との距離や方向が変化するため、次の時刻に働く作用も変化し得る。
この式は、現在の状態が与えられたときに次の状態をどう求めるかを表している。実際の物理系では、熱的なゆらぎや測定できていない環境の影響によって、状態更新に確率的な要素が含まれる場合もある。その場合には確率変数や遷移確率を用いる記述が必要になる。一方、粒子の状態と規則から次の状態が一意に計算されるモデルでは、上の形式によって時間発展の関係を表せる。どちらの場合も、状態を記述する変数と、状態の変化を決める規則を区別することが分析の前提になる。
多数の粒子について、すべての位置と速度を記録し続けると、状態の次元は粒子数に応じて大きくなる。例えば、二次元空間の粒子が 1,000 個存在し、それぞれの位置と速度を二成分ずつ記録するなら、位置と速度だけで 4,000 個の数値が必要になる。さらに粒子の種類や周囲の場を記録すれば、保持すべき情報は増える。これに対して、集団全体の移動を知りたい場合には、重心の位置や速度を記録するだけで十分な場面がある。凝集の程度を知りたい場合には、一定面積当たりの粒子数や密度分布を記録する方法がある。
このように、微視的な状態から測定対象に対応する情報を取り出した結果を \(O_t\) と書く。観測を定める写像を \(G\) とすると、次のように表せる。
\[
O_t=G(X_t,C_t)
\]
\(G\) は、どの変数をどの方法で観測結果へ変換するかを定める。例えば、粒子の位置の平均を取るなら、\(O_t\) は集団の重心を表す。粒子の移動方向の平均を取れば、集団全体の運動方向を調べられる。一定距離以内に存在する粒子の組を数えれば、近接関係の数を記録できる。同じ微視的状態であっても、どの観測方法を選ぶかによって、得られる値と判断できる性質が異なる。
観測によって情報の一部が失われる例として、二つの粒子からなる集団を考える。一つ目の状態では、二つの粒子が横方向に離れて位置し、座標が \((-2,0)\) と \((2,0)\) であるとする。二つ目の状態では、座標が \((-0.5,0)\) と \((0.5,0)\) であるとする。どちらも二つの位置の平均は原点になり、重心は同じである。
\[
\overline{\mathbf{x}}=
\frac{\mathbf{x}_1+\mathbf{x}_2}{2}
=(0,0)
\]
しかし、粒子間距離は前者が 4、後者が 1 である。仮に粒子間の相互作用が距離 2 未満で働く規則なら、前者では粒子間の作用が発生せず、後者では作用が発生する。重心が一致していても、粒子間距離が異なれば、その後の速度更新が異なる可能性がある。観測値 \(\overline{\mathbf{x}}\) だけを記録していた場合、この違いは観測結果から失われている。
輪郭を測定する場合にも、同じ問題が生じる。例えば、集団の外周に存在する粒子の配置が維持されている間に、内部の粒子だけが移動したとする。外周の座標から集団の輪郭を定義するなら、観測される形態は同じままである。一方、内部の粒子間距離や近接関係は更新されている。集団の外形を保つことと、内部構造が維持されることを区別するには、輪郭と近接関係を別々に観測する必要がある。
また、同じ量を測定していても、観測の時間間隔が異なれば得られる情報は変化する。例えば、粒子集団が一定の周期で広がったり縮んだりしている場合、その周期と同じ間隔で観測すれば、毎回ほぼ同じ大きさの集団が記録される可能性がある。より短い間隔で観測すれば、拡大と縮小の過程を確認できる。観測した時点で値が一致したという事実は、その間に状態の変化が発生しなかったことまで意味するものではない。
観測対象と、観測によって区別できる性質の関係を整理すると、次のようになる。
| 観測対象 | 主な測定量 | 確認できる性質 | 別途必要な情報 |
|---|---|---|---|
| 集団の位置 | 重心座標を測定する。 | 集団全体の位置と移動を追跡できる。 | 粒子間距離や内部配置を調べるには、個々の位置情報が必要である。 |
| 集団の形態 | 輪郭、面積、密度分布を測定する。 | 凝集や分散、形状の時間変化を確認できる。 | 形態を形成した力や駆動を特定するには、運動と環境の情報が必要である。 |
| 集団の運動 | 重心速度、粒子速度、速度相関を測定する。 | 集団の移動方向と内部の運動を区別できる。 | 運動の駆動機構を特定するには、作用やエネルギー供給の情報が必要である。 |
| 関係構造 | 近接関係、相互作用の向き、関係の重みを測定する。 | 要素間の接続や相互作用関係の更新を確認できる。 | 力の方向や大きさまで評価するには、距離や相互作用規則が必要である。 |
| 構造の持続 | 形成された構造の寿命と崩壊頻度を測定する。 | 指定された条件下での持続時間を評価できる。 | 外乱への安定性を調べるには、摂動後の応答を測定する必要がある。 |
| 維持機能 | 物質の交換、反応、補充、修復を測定する。 | 構成要素や維持機構を更新する過程を評価できる。 | 自己維持の成立を判断するには、各機構がどのように相互依存しているかを確認する必要がある。 |
表の各項目は、同じ集団について異なる問いに答えている。例えば、重心座標が安定していても、内部では粒子の交換が進んでいる場合がある。輪郭が変わらなくても、流体から継続的な力を受けている場合がある。長時間持続した構造でも、外乱を与えると崩壊する場合がある。測定量を区別することで、観測された秩序について、何が直接確認され、何が別の測定を必要とするのかを明確にできる。
一般に、異なる微視的状態が同じ観測結果へ対応する場合、観測写像 \(G\) はその状態集合の上で一対一になっていない。観測値から元の状態を一意に決めるには、観測対象を増やすか、時間発展に関する追加の仮定を設ける必要がある。例えば、重心だけで区別できなかった二つの粒子配置も、粒子間距離を合わせて記録すれば識別できる。さらに、連続する時刻の位置と速度を測定すれば、どのような相互作用が運動へ寄与したかを検討するための情報が得られる。ただし、複数の相互作用が同じ運動を生み出す場合には、観測量を増やしただけで原因が一意に確定するとは限らない。
生成規則から時間発展を求める問題と、観測結果から生成規則を推定する問題には、このような非対称性がある。前者では規則と初期条件を与えて結果を計算する。後者では結果から規則を推定するため、観測で失われた情報や、異なる規則が同じ結果を生む可能性を考慮する必要がある。構造の存在を確認することと、その成立原因を特定することの間には、観測可能性と原因の識別可能性という問題が存在している。
1.3. 存在、形成、原因の同定を区別する
ある集団構造が一度観測されたとき、その観測から確実に分かるのは、観測した条件の下で、その構造に対応する状態が生じたということである。例えば、粒子の初期配置を一度設定し、一定時間後に環状の構造が現れたとする。この結果は、その設定で環状構造が形成され得ることを示している。しかし、粒子の初期配置を変えた場合にも同じ構造が生じるか、相互作用を少し変更しても形成されるか、形成された後にどの程度存続するかは、別の試行を必要とする。
同じ規則の下で初期条件を変えて複数回計算し、一定の割合で環状構造が現れたなら、形成頻度を評価できる。例えば、100 回の試行で 70 回形成された場合、その試行条件における観測上の形成割合は 70％ になる。ただし、その割合は粒子数、初期配置の生成方法、観測時間、環状構造と判定する規則によって左右される。この例の 70％ は形成頻度の意味を示す仮定上の数値であり、特定の物理系について測定された結果ではない。形成頻度を比較するには、何を同じ構造と判定するかをあらかじめ定義する必要がある。
さらに、形成された構造が長時間続いたかどうかを確認するには、形成の有無とは別に寿命を測定する。例えば、同じ条件で多くの集団が形成されても、その大部分が短時間で崩壊する場合がある。反対に、形成される頻度は低くても、一度形成された集団は長時間存続する場合がある。この二つの条件では、ある時点で集団が観測される頻度が似ていても、形成と持続の機構は異なり得る。形成確率と形成後の寿命分布を分けて測定すれば、集団の出現しやすさと、出現した集団の残りやすさを独立に評価できる。
構造が繰り返し形成されたとしても、どの相互作用が形成に必要だったかを特定するには、さらに条件を変更した比較が必要になる。例えば、引力を持つ粒子モデルで凝集が生じたとする。このとき、引力を除去しても境界の拘束や自己推進の効果によって凝集が生じるなら、観測された凝集に対して、その引力が唯一の成立機構であったとは言えない。一方、他の条件を維持したまま引力を除去すると凝集が失われるなら、その比較条件の範囲で引力が形成に寄与していたと判断できる。
非相反相互作用を持つ系でも、同じ考え方を適用できる。例えば、二種類の成分の結合が非対称な状態で移動する密度波が生じた場合、結合を対称化した条件と比較することで、非対称性が運動の成立へ及ぼす影響を調べられる。ただし、相互作用の非対称性が係数の大きさだけでなく作用範囲にも含まれる場合、係数だけを対称化しても、すべての非対称性が除去されたことにはならない。また、相互作用係数を変更すると集団の密度や配置も変化し得るため、介入によって直接変更された条件と、その結果として変化した状態量を分けて記録する必要がある。
構造形成の原因を検証する際には、条件の変更が何を意味するかも明確にする必要がある。ある条件を除去すると特定の構造が形成されなくなった場合、その条件が選択したモデルとパラメーター範囲で必要だった可能性を示す。一方、ある条件を追加すると構造が形成された場合、その条件が形成を可能にする場合があることを示す。どちらの結果も、すべての物質系やすべての初期条件で同じ関係が成立することを直ちに保証するものではない。必要条件と十分条件を区別するためには、対象とするモデル、比較する条件の範囲、観測量を明示することが求められる。
また、形成過程の観測から原因を推定する場合には、時間的な順序も判断材料になる。例えば、ある種類の粒子の密度が先に増加し、その後に別の種類の粒子が集まる現象が繰り返し観測されたとする。この結果は、二つの変化の時間的な関係を示している。しかし、両者が同じ外部の駆動を受けている場合には、一方の密度増加が他方の凝集を直接引き起こしたとは限らない。特定の成分だけを制御して変更し、その操作が他の成分の時間発展へどう影響するかを測定することで、時間的な先行関係と因果的な作用を区別できる。
構造の存在、形成の再現性、持続性、成立原因を整理すると、次のようになる。
| 評価対象 | 確認する現象 | 必要な測定・比較 | 判断できる範囲 |
|---|---|---|---|
| 構造の存在 | 指定された時点で集団構造が観測される。 | 構造を識別する形態や密度の測定が必要である。 | 観測条件の下で、その構造が存在したことを確認できる。 |
| 形成の再現性 | 異なる試行でも同じ分類の構造が現れる。 | 初期条件を変えた反復試行と、形成頻度の測定が必要である。 | 定めた条件範囲で構造が形成される頻度を評価できる。 |
| 構造の持続性 | 形成された集団が一定時間存続する。 | 形成後の寿命、崩壊率、時間相関を測定する。 | 指定された条件下での存続時間と、そのばらつきを評価できる。 |
| 構造の安定性 | 外乱を受けた構造が元の状態や許容範囲へ戻る。 | 摂動の大きさを制御し、回復率や回復時間を測定する。 | 定めた外乱に対する応答と、回復が成立する範囲を評価できる。 |
| 形成原因の同定 | 特定の規則や環境条件の変更に応じて形成結果が変化する。 | 条件を制御した介入と対照条件の比較が必要である。 | 選択したモデルと比較範囲において、各条件が形成へ及ぼす因果的な寄与を評価できる。 |
例えば、ある集団が一度形成され、長時間持続したという観測が得られた場合、構造の存在と持続時間についての情報は得られている。しかし、同じ規則で何度形成されるか、外乱を受けたときに回復できるか、特定の相互作用を取り除くと消滅するかについては、それぞれ別の検証が必要になる。形成を繰り返し観測できた場合も、維持機構や安定性についての情報が自動的に増えるわけではない。
この区別は、形成された構造の複雑さを評価する場合にも当てはまる。例えば、単純な円形の集団と、複数の帯状構造が連結した集団を比較すると、後者の方が幾何学的には複雑に見えるかもしれない。しかし、長時間存続するか、外乱から回復できるか、物質輸送などの機能を持つかは、形態の複雑さだけでは決まらない。複雑さを測る尺度と、構造が実現する機能を測る尺度を分けて定義すれば、外見に関する評価と、維持機構に関する評価を区別できる。
集団構造の形成を科学的に理解するには、生成規則から状態が更新される過程を明らかにし、その結果として観測される量を定義し、異なる条件で形成結果がどう推移するかを比較することが必要である。局所相互作用から上位の秩序が現れたという観測は、構造形成の存在を示す。その秩序がどの条件で現れ、どの条件で持続し、どの条件を除去すると失われるかまで確認することで、構造の見た目に関する説明を、成立機構についての検証可能な説明へ進められる。
2. 凝集、追跡、移動はそれぞれ異なる条件から成立する
2.1. 自走と混雑だけでも集団は形成される
多数の粒子が一か所に集まっていると、その粒子同士には引力が働いているように見える。例えば、水中に分散した粒子が時間の経過とともに一つの塊を形成した場合、粒子が互いに引き寄せられたという説明は自然である。しかし、粒子が自ら移動する系では、直接的な引力がなくても密度の高い領域が形成される。粒子の移動と周囲の密度が相互に影響し合うことで、集団を形成する別の機構が成立するからである。
Fily と Marchetti は、自己推進する粒子が等方的な斥力によって相互作用する系を調べ、粒子の向きをそろえる特別な相互作用がなくても相分離が生じ得ることを示した[3]。自己推進とは、粒子が内部または外部の駆動によって、一定の方向へ進む運動成分を持つことである。この系では、粒子同士が接近すると斥力によって移動が妨げられるが、そのことが集団形成を抑えるとは限らない。周囲の粒子が移動を妨げることで、その領域に粒子が滞在する時間が長くなるためである。
例えば、密度の低い領域を移動している粒子は、周囲に障害となる粒子が少ないため、比較的自由に進むことができる。ところが、密度の高い領域に入ると、進行方向に別の粒子が存在する頻度が高くなる。粒子同士が重なれない場合、前方への移動が抑えられ、粒子がその領域から離れるまでの時間が長くなる。領域から出ていく粒子が減少する一方、周囲から粒子が流入し続ければ、局所的な密度がさらに高まる。この密度上昇によって、後から入ってきた粒子も移動しにくくなる。
ここには、粒子の密度が増えると移動が妨げられ、その結果として粒子が蓄積し、密度がさらに増えるという正のフィードバックがある。粒子が互いに引き寄せられることによって接近する機構とは異なり、粒子が自ら移動しているにもかかわらず、混雑した場所から抜け出しにくくなることが集団形成に結び付く。このような仕組みを運動誘起相分離と呼ぶ。相分離とは、粒子が比較的密集した領域と希薄な領域に分かれることであり、ここでは粒子の運動性と密度の関係が、その分離を生み出す。
ただし、混雑による移動速度の低下が認められれば、必ず相分離が成立するわけではない。粒子が進行方向をどの程度の時間保つか、方向が変化する頻度、密度に対する移動速度の低下、粒子の拡散、密度ゆらぎなどが関係する。例えば、粒子が非常に頻繁に向きを変え、混雑した領域から容易に抜け出せる場合には、局所的な密度の偏りが蓄積しにくくなる。反対に、進行方向の持続性が高く、混雑によって移動が十分に抑えられる条件では、密度の偏りが増幅される可能性がある。Fily と Marchetti の研究で扱われているのは、このような運動の持続性と排他的な相互作用が結び付いた系である。
この機構を引力による凝集と比較すると、形成された集団の外見だけでは原因を判断できない理由が明確になる。引力による凝集では、粒子間の距離が変化することで、相手へ向かう作用が働く。一方、運動誘起相分離では、粒子の移動が密度に依存して妨げられ、流入と流出の差によって粒子が蓄積する。どちらも密度の高い集団を形成し得るが、前者では粒子間の力、後者では自走と混雑による滞留が中心的な役割を担う。
形成された集団を検証する場合にも、必要な測定は異なる。引力が原因であるという仮説なら、粒子間距離に応じた力や、その力を変更したときの凝集状態を調べる。運動誘起相分離の仮説なら、粒子密度と移動速度の関係、進行方向の持続性、密度の高い領域への流入と流出を調べる。凝集した粒子の数だけを数えても、どちらの機構が成立しているかまでは特定できない。集団形成という共通の結果に対して、異なる因果関係を識別する測定が必要になる。
2.2. 相互作用の非相反性は、移動する秩序を生む
粒子が集まって一定の密度分布を形成することと、その密度分布が空間を移動することは、異なる現象である。密度の高い領域が形成されても、粒子の移動が互いに打ち消し合えば、集団全体の位置はほとんど変化しない場合がある。一方、局所的な密度の変化が別の成分の移動を引き起こし、その成分の移動が最初の成分の分布へ影響する場合には、密度の偏りそのものが時間とともに移動する可能性がある。このような動的な秩序を生む一つの仕組みが、相互作用の非相反性である。
二種類の成分 \(A\) と \(B\) を考える。\(A\) が \(B\) の多い領域から遠ざかる一方、\(B\) が \(A\) の多い領域へ向かうとする。この場合、\(A\) の分布が \(B\) の運動へ及ぼす影響と、\(B\) の分布が \(A\) の運動へ及ぼす影響は対称ではない。例えば、\(A\) の密度が局所的に高くなると、\(B\) がその領域へ集まり始める。\(B\) の密度が高くなると、\(A\) はその領域から離れる方向へ移動する。\(A\) が移動した先へ \(B\) が追随する関係が維持されれば、密度の高い領域が一方向へ進むような運動が生じ得る。
この説明で扱っているのは、\(A\) や \(B\) が相手を追跡する目的を持つという意味ではない。各成分の密度分布が他方の移動へ影響し、その影響が互いに対称でないことが、時間的な応答のずれを作る。ある成分の分布が変化し、それを受けて別の成分の分布が変化し、その変化が最初の成分へ再び作用する。この循環に空間的な偏りが結び付くと、分布の形をある程度保ちながら移動する状態が成立する可能性がある。
You、Baskaran、Marchetti は、非相反な結合が、静的な空間模様から移動する状態への移行を生む経路となり得ることを示した[4]。Saha、Agudo-Canalejo、Golestanian は、粒子数が保存される二成分の濃度場を扱う非相反 Cahn-Hilliard モデルを研究し、相分離、振動、移動する密度波などが成立する条件を分析した[5]。Cahn-Hilliard モデルは、成分の総量を保存しながら濃度分布が時間発展する過程を記述する方程式である。非相反な結合を導入すると、一方の濃度分布が他方へ及ぼす作用と、その逆方向の作用が対称な自由エネルギーの勾配だけでは表せない場合が生じる。
非相反な結合が時間発展へ与える影響は、二つの変数だけを使った単純な線形モデルでも確認できる。平衡状態からの小さな変動を \(u\)、\(v\) とし、両者がそれぞれ減衰しながら、相手の変動からも影響を受ける場合を考える。各変数の減衰率を \(\alpha\)、\(v\) から \(u\) への結合係数を \(\beta\)、\(u\) から \(v\) への結合係数を \(\gamma\) とすると、次の方程式で記述できる。
\[
\frac{d}{dt}
\begin{pmatrix}
u\\
v
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\alpha & \beta\\
\gamma & -\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u\\
v
\end{pmatrix}
\]
\(\alpha>0\) とすれば、他方の変数から作用を受けない場合、\(u\) と \(v\) はそれぞれ時間とともにゼロへ減衰する。行列の対角成分にある \(-\alpha\) は、その減衰を表す。一方、対角成分の外側にある \(\beta\) と \(\gamma\) は、二つの変数の間で作用が伝わる方向と大きさを表す。例えば \(\beta>0\)、\(\gamma<0\) なら、\(v\) の増加は \(u\) の増加へ寄与するが、\(u\) の増加は \(v\) の減少へ寄与する。二つの変数は、互いに逆向きの応答を引き起こす関係になる。
この線形系がどのように時間発展するかは、係数行列の固有値によって調べられる。固有値は、微小な変動が時間とともに増幅するか、減衰するか、振動するかを判定するための量である。この行列の固有値は、次のようになる。
\[
\lambda_{\pm}
=
-\alpha\pm\sqrt{\beta\gamma}
\]
\(\beta\gamma<0\) の場合、平方根の中が負になるため、固有値は虚数成分を持つ。例えば \(\beta=2\)、\(\gamma=-2\) なら、\(\beta\gamma=-4\) となり、固有値は次のようになる。
\[
\lambda_{\pm}=-\alpha\pm2i
\]
ここで \(i\) は虚数単位であり、\(i^2=-1\) を満たす。この固有値の実部は \(-\alpha\)、虚部は \(\pm2\) である。実部は変動の振幅が増幅・減衰する性質に、虚部は振動の速さに対応する。\(\alpha>0\) なら振幅は時間とともに減少するが、二つの変数は位相のずれを伴いながら振動する。例えば \(u\) が増加している間に \(v\) が減少し、その後に \(u\) の減少と \(v\) の増加が生じるような時間発展が考えられる。
この単純な例から、相互作用の向きが非対称で、二つの結合の積が負になると、減衰だけでは表せない振動的な応答が現れ得ることが分かる。ただし、ここで得られるのは時間的な変動であり、空間を移動する密度波そのものではない。さらに \(\alpha>0\) である限り、この線形モデルの振動は減衰する。持続的な振動には、振幅の増加を生む不安定化の仕組みと、振幅が際限なく増加することを抑える非線形な作用などが必要になる。
空間的な移動を説明する場合には、二つの変数を位置に依存する密度場として扱い、空間微分や粒子数の保存則を含む方程式へ拡張する必要がある。その際、密度の変動を異なる波長に分解し、各波長の変動が増幅するか減衰するかを調べられる。波長に応じて変動の増幅率と振動数が決まれば、特定の空間模様が形成される条件や、その模様が時間とともに移動する条件を分析できる。You らや Saha らの研究は、このような空間的な自由度と非相反な結合の関係を、具体的な連続体モデルで扱っている。
ここでは、非相反性を二つの変数が異なる大きさの影響を及ぼし合うことだけに限定しない点も重要である。結合の向きや符号の組み合わせによって、時間発展の性質が異なる。例えば先ほどの線形モデルで \(\beta\gamma>0\) なら、固有値は実数になり、各変動は振動成分を持たずに増幅または減衰する。一方、\(\beta\gamma<0\) なら虚数成分が生じる。この違いは、結合の非対称性が存在するという情報に加えて、相互作用の方向と符号を調べる必要があることを示している。
Duan らは、二種類の自己推進粒子が周囲の密度に応じて移動速度を変える系を研究し、非相反性と運動性の組み合わせによって、追跡する帯状構造が生じる条件を示した[6]。この研究では、同じ種類の粒子同士が互いに引き合うことを、帯状構造の形成に必要な条件とはしていない。種類間の相互作用が密度分布と運動性へ影響し、その結果として追跡する集団構造が成立する。さらに同種粒子間の自己引力を導入した条件では、追跡する帯状構造と希薄な領域の共存や、集団の粗大化が遅くなる状態も報告されている。
ここまでの研究を比較すると、凝集と移動には異なる説明が必要になる。自己推進と混雑による相分離では、密度の高い領域へ粒子が滞留することが形成機構となる。非相反な結合を持つ二成分系では、成分間の応答のずれが、時間依存の秩序や移動する模様の成立へ寄与する。両者は同じ自己組織化の研究に含まれるが、観測量としては、密度の偏りが生じたかという問いと、その偏りがどのように移動するかという問いを分けられる。
2.3. 粒子モデルで確かめられる最小限の関係
局所的な作用から集団運動を生成する簡潔な例として、Hunar Ahmad が公開する Particle Life がある。粒子の種類ごとに引力と斥力を独立に指定し、位置と速度を繰り返し更新することで、凝集、分散、追跡に似た運動などが現れる[7]。先行する Jeffrey Ventrella の Clusters も、種類間の相互作用を設定して集団構造を探索する取り組みである[8]。これらのモデルでは、完成した集団の形を直接指定する代わりに、個々の粒子が周囲の粒子から受ける作用を指定する。その作用が位置関係を更新し、位置関係の変化によって次に働く作用が変わるという循環から、集団の模様が形成される。
Particle Life の相互作用を、二種類の粒子 \(A\) と \(B\) だけに限定して考える。\(A\) が左、\(B\) が右にあり、両粒子が互いの作用範囲内にいるとする。\(A\) から \(B\) へ向かう単位ベクトルを \(\mathbf{e}\) とし、\(A\) が \(B\) から受ける作用の係数を \(g_{AB}\)、\(B\) が \(A\) から受ける作用の係数を \(g_{BA}\) とする。正の係数が斥力、負の係数が引力を表すとき、各粒子が受ける作用は次のように書ける。
\[
\mathbf{F}_A=-g_{AB}\mathbf{e},
\qquad
\mathbf{F}_B=g_{BA}\mathbf{e}
\]
例えば \(g_{AB}=-g\)、\(g_{BA}=g\)、\(g>0\) と設定すると、\(A\) は \(B\) に引き寄せられ、\(B\) は \(A\) から遠ざかる。\(A\) が左側、\(B\) が右側にいる場合、両方の作用は右向きになる。
\[
\mathbf{F}_A=\mathbf{F}_B=g\mathbf{e}
\]
このとき、粒子対が受ける作用の合計はゼロにならず、両粒子が同じ方向へ移動する原因になる。一般の係数について合力を計算すると、次の関係が得られる。
\[
\mathbf{F}_A+\mathbf{F}_B
=
(g_{BA}-g_{AB})\mathbf{e}
\]
右辺に現れる係数の差は、粒子対全体の運動へ寄与する作用を表している。これに対し、二つの粒子が互いに近づくか遠ざかるかという相対運動には、両粒子の作用の差が関係する。
\[
\mathbf{F}_B-\mathbf{F}_A
=
(g_{BA}+g_{AB})\mathbf{e}
\]
係数の差と和が異なる運動成分に対応するため、粒子対全体の移動と、二粒子間の距離の変化を分けて説明できる。ただし、実際の運動には速度の減衰、初期速度、作用距離、境界条件が加わる。一定の距離を保って追跡する運動が継続するかどうかは、合力の式だけで決まるわけではない。
このような粒子モデルの意義は、非相反な相互作用を持つとき、集団全体を移動させるような有効な作用が生じ得ることを、具体的な規則から計算できる点にある。個々の粒子に追跡という目的や判断能力を実装する必要はない。位置関係、相互作用係数、速度更新によって、追跡に似た運動を構成できる。一方、実在する粒子系では、粒子だけを取り出した有効作用と、周囲の媒質や外部駆動を含む全体系の運動量・エネルギー収支を区別する必要がある。数値モデルで指定された非相反な作用が、現実のどの物理的な仕組みに対応するかは、別の研究によって確かめられる。
また、二粒子の運動を多数粒子へ拡張すると、粒子の位置関係と相互作用の組み合わせが大幅に増える。ある粒子が一方の種類から引力を受け、別の種類から斥力を受ける場合には、それぞれの作用が方向を持つベクトルとして合成される。周囲の配置が対称であれば合力が小さくなることもあり、密度が一方向に偏れば移動が生じることもある。局所的な作用が集団全体の運動へ結び付くかどうかは、粒子数、種類ごとの密度、相互作用範囲、境界条件などの関係によって決まる。
ここで、二粒子の追跡に似た運動が成立するという数学的な結果と、多数粒子の安定した集団構造が成立するという結果を分離できる。前者は特定の相互作用係数を与えれば運動則から導出できる。後者については、時間発展を解くことに加えて、構造がどの程度の頻度で形成され、形成後にどの程度存続するかを調べる必要がある。単純な規則が複雑な集団模様を生み出すという事実は、集団の形成条件と持続条件を調べるための具体的な出発点になる。
2.4. 形成と運動を別々に測定する
集団が形成されたことを調べるには、粒子の密度が高い領域の出現、粒子間の近接関係、集団の大きさなどを測定できる。例えば、一定距離以内にある粒子を同じ集団へ分類し、集団に含まれる粒子数を記録すれば、凝集がどの程度進んだかを定量化できる。ただし、集団を分類する距離の閾値が変われば、同じ粒子配置でも集団数や集団サイズが変化する場合がある。形成の有無を比較する際には、分類規則を固定する必要がある。
一方、集団の移動を調べるには、重心の位置を時間に沿って記録し、その変化から移動速度を求める方法がある。粒子数を \(N\)、粒子 \(i\) の位置を \(\mathbf{x}_i(t)\) とすると、集団の重心を次のように定義できる。
\[
\mathbf{X}(t)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}\mathbf{x}_i(t)
\]
\(N\) は集団に含まれる粒子数である。各粒子の位置を足し合わせて粒子数で割ることで、粒子の位置の平均が得られる。粒子数と集団の構成が固定されている場合、連続する時刻の重心差を観測間隔 \(\Delta t\) で割れば、重心速度を近似できる。
\[
\mathbf{V}(t)
=
\frac{\mathbf{X}(t+\Delta t)-\mathbf{X}(t)}
{\Delta t}
\]
重心速度がゼロに近ければ、集団全体の平均位置はほとんど移動していないことになる。ただし、個々の粒子が静止しているとは限らない。例えば、複数の粒子が集団の中心を囲んで循環している場合、各粒子の位置は変化し続けても、重心はほぼ同じ位置に保たれることがある。内部の循環を測るには、重心から見た相対位置や速度場を追加して調べる必要がある。
また、密度の高い領域が移動する現象では、個々の粒子と密度の模様が同じ速度で移動しているとは限らない。例えば、粒子が密集領域へ流入し、別の位置から流出しながら、密度の高い領域だけが一定方向へ進む場合がある。このとき、粒子の平均速度と密度波の伝播速度は異なる量になる。移動する秩序を評価する場合には、個々の粒子がどのように動くかと、巨視的な模様がどのように移動するかを区別する必要がある。
形成された構造が長時間持続することを評価する場合には、集団の寿命を測定する。例えば、一定数以上の粒子がまとまった状態を集団として定義し、その状態が初めて成立した時刻から、判定条件を満たさなくなる時刻までを記録できる。同じ規則で複数回の試行を行えば、寿命の分布を比較できる。形成頻度が高くても寿命が短い集団と、形成頻度は低いが長時間存続する集団では、集団がある時刻に観測される確率の意味が異なる。
さらに、外乱からの回復能力を調べるなら、形成された集団へ一定の摂動を与え、その後の時間発展を測定する。例えば、集団内の一部の粒子を移動させる、粒子数を減らす、外部から短時間の力を加えるなどの操作が考えられる。外乱後に元の形態や運動状態へ戻る場合、その条件に対する回復能力が認められる。ただし、回復と判定する状態の範囲、摂動の大きさ、観測する時間を定義する必要がある。外乱を与えない状態で長時間存続したことと、外乱から回復したことは異なる結果である。
集団形成と運動について、代表的な成立機構と測定量を整理すると、次のようになる。
| 観測対象 | 主な成立機構の例 | 必要な測定 | その測定から分かること |
|---|---|---|---|
| 凝集 | 引力による接近や、運動性が密度に依存することによる滞留がある。 | 密度分布、集団サイズ、形成頻度を記録する。 | 集団が形成される条件と、その再現性を評価できる。 |
| 移動する集団 | 自己推進、非相反な結合、媒質を介した作用などがある。 | 重心速度、移動方向の持続、密度波の速度を記録する。 | 形成された秩序が移動する条件と、粒子運動と模様の移動との関係を評価できる。 |
| 内部の循環 | 集団内部で局所的な移動と再配置が継続する。 | 相対速度、速度場、粒子間の関係、粒子の交換を記録する。 | 輪郭や重心が保たれる場合にも、内部の運動と関係構造の更新を識別できる。 |
| 長時間の存続 | 相互作用、駆動、減衰、境界条件などの組み合わせが働く。 | 形成後の寿命分布、崩壊頻度、時間相関を記録する。 | 指定した条件下での構造の持続時間と、そのばらつきを評価できる。 |
この表では、同じ集団についても、形成、移動、内部循環、持続という異なる性質を独立に評価している。例えば、一定の時間にわたって輪郭を保って移動する集団では、形成された構造が持続し、重心も移動していることが分かる。一方、内部の粒子間関係がどの程度更新されたか、移動を生む力が何か、外乱から回復するかについては、それぞれ別の測定が必要になる。集団が動いているという一つの観測結果へ、複数の成立機構をまとめて帰属させることはできない。
Fily と Marchetti の運動誘起相分離は、集団形成に関係する運動性と密度のフィードバックを具体的に示している。You ら、Saha ら、Duan らの研究は、非相反な結合と時間発展の関係から、移動する秩序が成立する条件を分析している。これらの研究で形成された構造や運動は、それぞれ異なる変数と運動方程式によって記述されている。共通するのは、局所的な相互作用から集団的な秩序が生じることであり、各研究の差は、その秩序の形成と運動を支える因果関係にある。
集団構造の形成、移動、循環、持続を別々に測定すれば、ある研究がどの条件を説明したのかを具体的に判断できる。自己組織化という現象を確認することと、その自己組織化がどの相互作用から成立したかを特定することも区別できる。さらに、形成された秩序が長時間持続する場合には、その持続を支える物理的な駆動、内部の再配置、安定性を独立に検証する必要がある。複雑な集団運動の説明は、どのような模様が現れたかという分類から、どの条件が形成と運動の各性質を成立させたかという分析へ進むことで具体化される。
3. 微視的な非相反性が巨視的な秩序に残る条件
3.1. 相反性はどの相互作用について測るかで定まる
二つの粒子が相互作用するとき、一方が他方へ及ぼす力と、逆方向に及ぼされる力がどのような関係にあるかは、運動を説明するための基本的な情報になる。例えば、孤立した二粒子が互いに直接作用し、その間の力が大きさの等しい反対向きの力として表される場合、二粒子に働く内部の力の合計はゼロになる。粒子 \(A\) が粒子 \(B\) から受ける力を \(\mathbf{F}_{A\leftarrow B}\)、粒子 \(B\) が粒子 \(A\) から受ける力を \(\mathbf{F}_{B\leftarrow A}\) とすれば、この関係は次のように表せる。
\[
\mathbf{F}_{A\leftarrow B}
=
-\mathbf{F}_{B\leftarrow A}
\]
この場合、粒子間の内部作用によって二粒子全体の運動量が変化することはなく、二粒子の相対運動が変化する。これは、運動を粒子同士の直接的な力で表す古典力学の典型的な状況である。ただし、媒質が力を伝えたり、外部からエネルギーや運動量が供給されたりする系では、二粒子だけを取り出した記述に追加の条件が必要になる。
例えば、液体の中に二種類の微粒子が存在し、一方の粒子が放出する化学物質の濃度勾配によって他方の粒子が移動する場合を考える。粒子 \(A\) が作る濃度分布に対して粒子 \(B\) が移動する程度と、\(B\) が作る濃度分布に対して \(A\) が移動する程度は、粒子表面の性質や化学反応の違いによって一致しない場合がある。粒子同士が直接接触していなくても、媒質を介した作用が運動を生み出す。この作用を粒子間の有効力として表すと、二方向の力が大きさの等しい反対向きになるとは限らない。
有効力とは、媒質や化学場などの自由度を個別には記述せず、それらの影響を粒子の運動へまとめた量である。例えば、媒質中の濃度分布を明示的に計算するモデルでは、粒子の運動と濃度場の時間発展を連立して扱う。一方、濃度場が粒子の運動に比べて十分速く変化し、粒子の位置から近似的に決まる場合には、濃度場を消去して粒子間の有効相互作用として記述できる。その際、粒子の種類によって濃度場への応答が異なれば、有効相互作用にも非相反性が現れ得る。
このような非相反な有効力が存在することは、粒子と媒質を含む全体系の運動量保存則が破れていることを直ちに意味しない。粒子だけを対象とした運動量の変化には、媒質へ伝わる運動量や外部からの作用が含まれる場合があるからである。例えば、粒子が流体を押せば、その反作用は流体の運動にも現れる。粒子対だけの有効方程式と、媒質を含む全体系の保存則は、対象とする自由度が異なる。非相反性を検証する際には、どの粒子や場を系に含め、どの作用を有効相互作用として定義したかを明確にする必要がある。
さらに、多数の粒子からなる系では、個々の粒子間力をすべて記録する代わりに、粒子密度や集団全体の流れを変数として扱うことがある。例えば、二種類の粒子 \(A\) と \(B\) が空間に分布する場合、種類ごとの粒子密度を \(\rho_A(\mathbf r,t)\)、\(\rho_B(\mathbf r,t)\) と書く。ここで \(\mathbf r\) は空間内の位置、\(t\) は時刻を表す。密度は、ある位置の周囲に単位体積当たり何個の粒子が存在するかを表す量であり、個々の粒子の位置そのものとは異なる。
粒子数が保存される場合、ある領域内の粒子数の増減は、その領域へ流入する粒子と、領域から流出する粒子の差によって決まる。この関係を局所的に表したものが連続の式である。種類 \(a\) の粒子密度を \(\rho_a\)、その粒子が単位時間に移動する量と方向を表す流束を \(\mathbf J_a\) とすれば、次のようになる。
\[
\frac{\partial\rho_a}{\partial t}
=
-\nabla\cdot\mathbf J_a
\]
左辺の \(\partial\rho_a/\partial t\) は、ある位置の密度が時間とともにどの程度変化するかを表す。右辺の \(\nabla\cdot\mathbf J_a\) は、流束がその位置の周囲からどの程度流れ出しているかを表す発散である。発散が正なら周囲へ流出する量が多く、密度は減少する。発散が負なら周囲から流入する量が多く、密度は増加する。領域の境界を通る正味の流束がゼロであれば、その領域内の粒子数は保存される。
流束は、自分と同じ種類の粒子密度だけでなく、別の種類の密度にも依存する場合がある。例えば、\(A\) の粒子が \(B\) の密度の高い方向を避けるなら、\(A\) の流束には \(B\) の密度勾配が関係する。反対に、\(B\) の粒子が \(A\) の密度の高い方向へ向かうなら、\(B\) の流束には \(A\) の密度勾配が関係する。密度の空間的な変化に対する応答を簡単な線形近似で表すと、次のように書ける。
\[
\begin{aligned}
\mathbf J_A
&=
-D_{AA}\nabla\rho_A
-D_{AB}\nabla\rho_B,\\
\mathbf J_B
&=
-D_{BA}\nabla\rho_A
-D_{BB}\nabla\rho_B
\end{aligned}
\]
\(\nabla\rho_A\) と \(\nabla\rho_B\) は、それぞれの密度が空間のどの方向へ増加するかを表す密度勾配である。\(D_{AA}\) と \(D_{BB}\) は各種類自身の密度勾配に対する応答、\(D_{AB}\) と \(D_{BA}\) は相手の種類の密度勾配に対する応答を表す。例えば \(D_{AB}>0\) なら、\(B\) の密度が高くなる方向とは反対向きへ \(A\) の流束が生じる。\(D_{BA}<0\) なら、\(A\) の密度が高くなる方向へ \(B\) の流束が生じる。
この式で \(D_{AB}\) と \(D_{BA}\) は、種類間の密度応答を比較するための係数である。ただし、係数行列の非対称性を熱力学的な非相反性と結び付ける場合には、変数の規格化、自由エネルギー、移動度、応答の定義をそろえる必要がある。平衡系の相反関係は、一般に適切な熱力学的な力と流れの組み合わせに対して定義されるためである。密度の方程式に現れる係数を、個々の粒子間の直接の力と同一視することもできない。密度場を作る過程で、粒子の向き、速度、粒子間相関、媒質の情報などが平均化または消去されているからである。
粒子対の力と密度場の結合は、いずれも相互作用を表すが、その対象は異なる。前者は二粒子の運動量や相対運動へ作用する力を比較する。後者は、一方の種類の密度変化が、他方の種類の密度分布の時間発展へどう現れるかを比較する。粒子対に非相反な有効力が働く場合でも、その非相反性が巨視的な密度方程式に必ず残るとは限らない。逆に、直接の粒子間力が相反的でも、密度場の有効結合が非相反になる場合がある。どの階層で何を比較しているかを定めることが、両者をつなぐ分析の前提になる。
3.2. 非相反性が生む時間依存の秩序
Fruchart、Hanai、Littlewood、Vitelli は、非相反な結合を持つ多成分系について、時間依存の集団的な秩序と相転移が生じる条件を理論的に研究した[9]。相転移とは、結合の強さや密度などの条件を変更したときに、系の巨視的な状態の性質が質的に切り替わる現象である。例えば、各成分の状態が時間的に一定の関係を保つ秩序と、集団全体の状態が時間的に回転する秩序では、時間発展の性質が異なる。非相反な結合は、このような静的な秩序と動的な秩序の間の関係を考えるうえで重要になる。
二種類の成分が互いに影響を及ぼす場合を考える。一方の成分の状態が変化すると、その変化がもう一方の成分を動かす。さらに、動かされた成分が最初の成分へ作用を返す。相互作用が完全に対称な場合には、両者の応答を共通の自由エネルギーの減少として記述できる系がある。一方、非相反な結合では、二方向の応答が異なるため、一つの自由エネルギーを減少させる過程として表しきれない場合がある。状態を一方向へ変化させる作用と、それを別方向へ変化させる作用が循環的に働けば、時間依存の集団的な秩序が現れ得る。
こうした運動では、結合の符号だけでなく、静的な状態がどのような摂動に対して安定かが問題になる。例えば、二つの成分が一定の値を取る状態を考え、その状態から一方の成分だけをわずかに増加させる。この変化が時間とともに減衰するなら、元の状態はその摂動に対して安定である。一方、変化が増幅するなら、元の状態から離れる運動が生じる可能性がある。二成分の応答が互いにずれながら増幅する場合には、振動的な不安定性が現れることもある。
ただし、微小な摂動が振動しながら増幅するという結果だけでは、長時間持続する有限の振幅の運動まで確定しない。変動が成長した後、非線形な作用によって振幅が一定範囲に制限されれば、周期的な運動が維持される場合がある。一方、成長した変動が別の定常状態へ移行したり、より不規則な時間発展へ進んだりする場合もある。線形安定性解析が示すのは、特定の状態から小さく離れた変動の性質であり、その後の時間発展を決めるには非線形な項も必要になる。
Fruchart らの研究が示した重要な点は、非相反性を単に作用・反作用の非対称性として捉えるだけでなく、多成分系の秩序そのものの時間依存性に結び付けて分析できることである。非相反な結合の下では、静的な秩序が成立する条件と、時間的に変化する秩序が成立する条件を区別できる。集団全体の状態が動いているという観測に対して、どの結合が不安定性を生み、どの非線形な作用が運動を維持するかという説明が可能になる。
また、時間的な振動と空間的な移動は異なる性質である。例えば、二成分の平均的な状態が時間とともに周期的に変化していても、空間的な模様は一定の場所にとどまっている場合がある。逆に、空間的な密度の模様が形を保ったまま移動する場合には、固定された位置で観測される密度が周期的に増減することもある。前者では集団全体の状態変数の時間発展を、後者では密度分布の空間的な移動を測定する必要がある。非相反な結合が時間依存の秩序を生むという理論的な結果を、実際に観測される運動へ対応付けるには、この区別が必要になる。
3.3. 粗視化によって非相反性が消える場合
個々の粒子に非相反な作用が存在しても、それが集団全体の時間発展へ同じ形で現れるとは限らない。Dinelli らは、微視的な非相反相互作用を持つ能動粒子の混合系を粗視化し、巨視的な密度場の方程式を導出した[10]。その結果、微視的な相互作用が非相反であっても、巨視的には平衡系に対応する有効な記述が成立する場合があることを示した。
粗視化とは、多数の粒子の位置や運動方向を一つずつ追跡する代わりに、集団としての密度や流れなど、より少数の変数で系の時間発展を記述する操作である。例えば、二種類の粒子が数千個存在する場合、そのすべての座標と向きを記録すれば、非常に多くの変数が必要になる。一方、空間を小さな領域に区切り、各領域に含まれる \(A\) と \(B\) の粒子数だけを記録すれば、集団全体の密度分布を少数の変数で表せる。その代わり、個々の粒子の向きや速度の違いは、密度だけからは直接読み取れなくなる。
このとき、微視的な粒子間の応答が非相反であっても、その非対称性が密度場の時間発展へ独立した作用として残るとは限らない。例えば、ある粒子が特定の方向へ移動しやすい性質を持っていても、集団内で異なる方向へ移動する粒子の寄与が平均化されれば、その方向性が巨視的な密度方程式に明確には現れない場合がある。また、粒子の向きと位置の相関を消去すると、非相反な作用が別の係数へ組み込まれ、巨視的な方程式では有効な平衡的記述が成立することもある。
ここで平衡的な記述が成立するということは、指定された巨視的変数の時間発展について、適切な有効自由エネルギーや平衡的な関係を用いた説明が可能になることを意味する。微視的な過程で非平衡な作用が一切存在しなくなったことまで意味するものではない。例えば、粒子の向きや内部駆動に関係する不可逆な過程が、密度だけを観測する記述では明示的に現れない場合がある。どの自由度を残し、どの自由度を消去したかによって、巨視的な方程式で確認できる非平衡性の範囲が決まる。
Dinelli らの研究では、微視的な非相反性が巨視的にも残る条件についても分析されている。その場合には、密度場の有効方程式に非相反な結合が現れ、移動するパターンなどの動的な状態が形成される条件を調べられる。さらに、非相反な巨視的結合が残る系では、正のエントロピー生成率を持つ状態も分析されている。ここでのエントロピー生成率は、粗視化された密度場の定常状態における時間反転非対称性の尺度であり、微視的な熱やエネルギー散逸との直接的な対応を持たない。
この結果から、二つの異なる問いを立てられる。一つは、微視的な粒子間に非相反な相互作用が存在するかという問いである。もう一つは、その相互作用が巨視的な密度場の更新へ、非相反な結合として残るかという問いである。前者を確認するには粒子間の相互作用や応答を調べる必要があり、後者を確認するには粗視化された運動方程式を導出し、その係数や時間発展を調べる必要がある。両者は同じ粒子系を対象としていても、異なる階層の性質を評価している。
さらに、粗視化によって非相反性が巨視的な記述から消える場合でも、その系のすべての性質が平衡系と一致するとは限らない。例えば、密度分布の時間発展が有効な平衡的記述で説明できても、個々の粒子が内部で消費しているエネルギーや、消去した自由度に関係する散逸が残っている可能性がある。巨視的な密度の観測だけで平衡的に見えることと、全体系の熱力学的な平衡が成立することは、異なる条件で判断される。
Dinelli らの結果は、微視的な規則の性質をそのまま集団全体へ投影することの限界を示している。局所的な相互作用が非相反であっても、巨視的に観測される運動の性質は、粒子の向きや相関をどのように消去するか、どの空間尺度で密度を定義するか、どの時間尺度まで観測するかによって定まる。非相反性が存在することと、その非相反性が巨視的な秩序の形成や運動として観測されることを分けて扱う必要がある。
3.4. 相反的な微視的作用から巨視的な非相反性が生じる場合
微視的な非相反性が巨視的な記述から消える場合とは逆に、直接の粒子間相互作用が相反的であっても、巨視的な有効結合に非相反性が現れる場合がある。Mason、Jack、Bruna は、能動粒子と受動粒子の混合系を厳密な流体力学的解析によって研究し、直接の粒子間相互作用が相反的であるにもかかわらず、巨視的な密度の時間発展には非相反な有効結合が生じ得ることを示した[11]。
能動粒子は、外部から得たエネルギーを運動へ変換することで、自ら移動する成分を持つ粒子である。一方、受動粒子は、自走する仕組みを持たず、周囲からの力や媒質の運動に応じて移動する。この二種類が混在する系では、粒子間の直接的な接触や排他的な作用が相反的であっても、各種類の運動性は異なる。能動粒子は自走によって位置を更新する一方、受動粒子は主に周囲からの作用によって位置を変えるため、同じ局所的な配置に対する時間発展が一致しない。
例えば、能動粒子が多い領域へ受動粒子が存在する場合を考える。能動粒子は自走しながら周囲の粒子と相互作用するため、その局所的な密度変化が受動粒子の分布へ影響する。一方、受動粒子の密度が増えると、能動粒子の移動が妨げられ、能動粒子の密度分布にも変化が生じる。この二方向の影響は、直接の粒子間力だけでなく、自走と拡散、粒子の配置相関を含む時間発展によって決まる。そのため、直接の相互作用が相反的でも、巨視的な密度場に現れる種類間の結合は対称になるとは限らない。
ここで、粒子間の直接的な力と、巨視的な密度場の結合を分ける必要がある。直接的な力では、粒子 \(A\) が粒子 \(B\) に及ぼす作用と、\(B\) が \(A\) に及ぼす作用を比較する。一方、密度場の結合では、\(A\) の密度勾配が \(B\) の流束へ及ぼす影響と、\(B\) の密度勾配が \(A\) の流束へ及ぼす影響を比較する。後者には、各粒子の運動性や拡散、粒子間相関の効果が組み込まれる。したがって、直接の力が対称であるという条件だけで、密度場の有効結合の対称性まで決めることはできない。
Mason らの解析は、微視的な粒子モデルから巨視的な運動方程式を導出することによって、この関係を具体化している。巨視的な方程式を任意に設定するのではなく、粒子レベルの運動と相互作用から集団の密度変化を求めることで、どのような有効結合が現れるかを調べている。さらに、導出された方程式を用いて、移動する界面などの動的なパターンを分析している。こうした結果は、粒子間の力の対称性と、集団全体で観測される時間発展の対称性が異なる理由を、具体的な運動機構へ結び付けるものである。
Dinelli らと Mason らの研究を比較すると、微視的な相互作用と巨視的な相互作用の対応が、一方向に固定された関係ではないことが分かる。Dinelli らは、微視的な非相反性が巨視的な記述から消える条件を示した。Mason らは、直接の相反的な粒子間相互作用から、巨視的な非相反な有効結合が生じる条件を示した。両者に共通するのは、どの変数を残し、どの自由度を消去し、どの時間尺度で集団を記述するかによって、相互作用の有効な性質が定まるという点である。
この対応を数学的に表すなら、微視的な状態 \(X_t\) から巨視的な状態 \(Y_t\) を取り出す写像を考えられる。
\[
Y_t=\Phi(X_t)
\]
ここで \(\Phi\) は粗視化の規則であり、例えば粒子の位置や向きから種類ごとの密度分布を求める操作を表す。微視的な時間発展が \(X_{t+1}=F(X_t)\) で与えられる場合、巨視的な時間発展を \(Y_{t+1}=\mathcal{M}(Y_t)\) という閉じた式で記述するには、粗視化後の状態 \(Y_t\) だけで次の状態を予測できる条件が必要になる。
\[
\Phi(F(X_t))
=
\mathcal{M}(\Phi(X_t))
\]
この式は、微視的な状態を一度更新してから粗視化した結果と、先に粗視化した状態を巨視的な規則で更新した結果が一致するという関係を表している。ただし、一般の多粒子系では、密度だけでは粒子の向きや相関の履歴を保持できない場合があるため、この関係が厳密に成立するとは限らない。実際の粗視化では、時間尺度の分離や相関の近似を用いて、巨視的な方程式を導出することがある。どの近似の下で巨視的な記述が成立するかを明示することで、その方程式が説明できる範囲も定まる。
また、巨視的な非相反性が観測された場合、その原因を特定するには、異なる候補を比較する必要がある。粒子間に直接の非相反な有効力が存在する場合もあれば、直接の力は相反的で、能動粒子と受動粒子の運動性の違いから非相反な結合が生じる場合もある。密度場の結合係数だけを測定すると、巨視的な非相反性の存在は確認できても、その起源がどの機構にあるかまでは確定しない場合がある。微視的な運動、相互作用、粗視化の条件を合わせて調べることで、巨視的な結合の成立原因を分析できる。
相反性を調べる階層と、それぞれの階層で必要な情報を整理すると、次のようになる。
| 比較する階層 | 相互作用の対象 | 確認する性質 | 必要な根拠 |
|---|---|---|---|
| 粒子対 | 二粒子の間に働く直接の力や、媒質を介した有効力である。 | 二方向の作用が等しい大きさで反対向きになるかを確認する。 | 粒子間の力と位置関係を測り、媒質や外部駆動の寄与を明示する。 |
| 多粒子集団 | 粒子の位置、速度、種類間の相互作用、粒子間相関である。 | 局所的な結合が集団の移動、凝集、再編成へどう現れるかを確認する。 | 粒子の密度と速度の時空間分布を測定し、相互作用と初期条件を比較する。 |
| 巨視的な場 | 種類ごとの密度場や流束の間に現れる有効結合である。 | 粗視化した方程式に対称な結合と非対称な結合のどちらが現れるかを確認する。 | 巨視的な運動方程式を導出し、変数の規格化、粗視化の条件、適用範囲を調べる。 |
| 熱力学的な系 | 粒子、媒質、エネルギー供給源を含む全体系である。 | エネルギーの供給と散逸、不可逆な流れ、全体系の収支を確認する。 | 駆動機構と物質交換を明示し、熱や仕事、エントロピー生成を定義して測定する。 |
例えば、ある粒子集団が一定方向へ移動している場合、その運動を生む原因として、粒子間の非相反な有効力、各粒子の自走、媒質を介した作用、巨視的な密度場の非相反な結合などが考えられる。実際にどの機構が働いているかは、粒子対の力を測定するだけで十分な場合もあれば、粒子の向きや速度、密度場の時間発展、外部駆動を含む情報が必要になる場合もある。移動する集団という共通の観測結果に対して、複数の階層の説明が存在する。
非相反性の研究から得られる一般的な結論は、粒子間の直接の作用と、巨視的な集団の時間発展を同じ規則で記述できるとは限らないということである。微視的な相互作用が非相反でも、粗視化によって巨視的な結合には非相反性が現れない場合がある。逆に、直接の粒子間力が相反的でも、運動性の違いや自由度の消去によって、巨視的な有効結合には非相反性が現れる場合がある。集団の運動を説明するには、どの階層の変数を対象にし、その変数の時間発展がどの物理的な機構から導かれるかを明示する必要がある。
この区別は、集団構造の形成と持続を分析するうえでも意味を持つ。例えば、微視的な相互作用の非相反性が巨視的な記述に残っているなら、その非相反性が移動するパターンの形成へどう寄与するかを調べられる。一方、巨視的な非相反性が現れない条件では、密度場の時間発展を別の有効な関係で説明できる場合がある。観測された集団の運動を、そのまま粒子間の非相反な力へ帰属させるのではなく、粒子、集団、密度場、熱力学的な系という異なる階層をつなぐことで、運動の成立機構を具体的に特定できる。
4. 持続的な集団運動を支える駆動と散逸
4.1. 非相反な有効力と保存則
二つの粒子が互いに力を及ぼし合うとき、その力の向きと大きさは、二粒子全体の運動を考えるうえで基本的な情報になる。例えば、孤立した二粒子が通常の直接的な内部力によって相互作用する場合、一方が他方から受ける力と、逆方向に及ぼされる力は、大きさが等しく向きが反対になる。この関係の下では、二粒子に働く内部力の合計はゼロであり、内部力だけによって二粒子全体の運動量が増減することはない。一方、粒子が非平衡な媒質の中に置かれている場合には、媒質を介する作用を粒子間の有効力へまとめることで、二方向の作用が対称でなくなる場合がある。
Ivlev らは、ニュートンの第三法則に従わない非相反な有効相互作用を持つ粒子系について、その統計力学的な性質を理論的に検討した[12]。ここで問題になるのは、粒子が周囲の環境と相互作用しているにもかかわらず、粒子間の運動だけを取り出して記述すると、通常の相反的な内部力とは異なる関係が現れることである。非相反な有効相互作用を持つ系では、粒子対の相対運動だけでなく、粒子対全体の移動も、相互作用の非対称性によって影響を受け得る。
例えば、粒子 \(A\) が粒子 \(B\) から受ける有効力を \(\mathbf F_{A\leftarrow B}\)、粒子 \(B\) が粒子 \(A\) から受ける有効力を \(\mathbf F_{B\leftarrow A}\) とする。通常の相反的な内部力では、次の関係が成立する。
\[
\mathbf F_{A\leftarrow B}
+
\mathbf F_{B\leftarrow A}
=
\mathbf 0
\]
一方、非相反な有効相互作用では、二つの力の和がゼロにならない場合がある。
\[
\mathbf F_{A\leftarrow B}
+
\mathbf F_{B\leftarrow A}
\ne
\mathbf 0
\]
この違いは、二粒子だけを取り出した運動方程式では、相互作用が粒子対全体の運動へ寄与し得ることを意味する。ただし、ここで計算しているのは、粒子の運動へ作用する有効力の和である。粒子を取り巻く媒質や外部駆動源が運動量を受け渡している場合には、その寄与を含めた収支を別に考える必要がある。粒子対の有効力の和がゼロでないという観測と、全体系の運動量保存則が成立するかという問題は、対象とする系の範囲が異なる。
具体的には、粒子 \(A\) が周囲の流体や化学物質の分布を変化させ、その変化した場に粒子 \(B\) が応答する場合を考えられる。\(A\) が作る場は \(B\) の位置や運動を変える。一方、\(B\) が作る場の強さや空間分布、あるいはその場に対する \(A\) の応答は、逆方向と等しいとは限らない。その結果、\(A\) が \(B\) へ及ぼす有効作用と、\(B\) が \(A\) へ及ぼす有効作用に差が生じる。作用の非対称性は、粒子が媒質へ与える影響と、媒質から粒子が受ける応答の両方を通じて成立する。
このような過程を粒子の位置と速度だけで記述すると、媒質の運動や濃度場の時間発展は、有効相互作用の係数へまとめられる。媒質の変化が粒子の運動よりも十分速い場合には、その時点の粒子配置から有効作用を近似的に求められることもある。一方、媒質の応答が遅い場合には、過去の粒子の運動によって作られた場が残り、現在の粒子運動へ影響する。この場合、有効作用には履歴への依存が生じる可能性もある。どの自由度を明示的に記録し、どの自由度を消去するかによって、粒子間の相互作用を表す方程式の性質が決まる。
運動量の収支を調べる場合には、粒子系と、その外側にある媒質・容器・駆動源を区別する必要がある。例えば、粒子が流体へ運動量を伝えれば、粒子の運動量の変化に対応する作用が流体や境界にも現れる。外部電場によって粒子が駆動される場合には、電場とその供給源が仕事を行う。化学反応によって濃度勾配が維持される場合には、反応物と生成物の化学的な状態が変化する。粒子だけを対象とした有効方程式で非相反性が現れることと、全体系の保存則やエネルギー収支を説明することは、異なる段階の分析になる。
また、非相反な有効力の存在だけでは、その力が長時間の集団運動を生むとは限らない。例えば、二粒子が同じ方向に作用を受けていても、速度の減衰が大きければ、移動速度は小さくなる場合がある。粒子間距離が変化して有効作用の範囲から外れれば、それまで働いていた作用が失われることもある。さらに、多数の粒子が存在する場合には、異なる相手から受ける作用が方向を持って合成されるため、局所的な非相反性が集団全体の移動へどの程度寄与するかは、粒子の配置や密度にも依存する。
Ivlev らの研究が扱う非相反な有効相互作用は、粒子間の作用を通常の相反的な内部力だけで表せない場合にも、統計力学的な記述を構成できることを示している。その物理的な意味を明確にするには、非相反な作用がどのような環境から生じ、粒子の運動と周囲の物質やエネルギーの流れがどのように結び付いているかを具体的に調べる必要がある。
4.2. 物質輸送が生む追跡運動
媒質を介した非相反な相互作用が実際の運動として現れる例として、異なる種類の油滴の追跡運動がある。Meredith らは、液体中に存在する油滴の間で、ミセルを介した非相反な油の交換が生じると、捕食者と被食者の追跡・逃避に似た運動が成立することを実験的に示した[13]。この系では、油滴が相手の位置を認識して進路を決めているわけではない。油滴と周囲の界面活性剤、油の輸送、濃度分布が相互に影響し、その結果として方向性のある運動が生じている。
ミセルは、界面活性剤分子が液体中で集合して形成する微小な構造である。界面活性剤は、水と油の境界に集まりやすい性質を持ち、ミセルは油成分の可溶化や輸送にも関与する。異なる種類の油滴を同じ媒質へ置いた場合、油の種類によってミセルへの取り込まれやすさや輸送の性質が異なるため、一方の油滴から他方への物質移動と、その逆方向の物質移動は対称になるとは限らない。油滴間の物質輸送は、油滴の位置だけでなく、媒質中の化学的な状態によって決まる。
例えば、油滴 \(A\) の周囲から油成分がミセルへ移り、その成分が油滴 \(B\) の周囲へ輸送される場合を考える。この輸送によって、\(A\) と \(B\) の周囲では、油を取り込んだミセルや他の化学成分の濃度分布が変化する。濃度が空間的に一様でなくなると、油滴表面や周囲の流体の状態にも偏りが生じる。油滴がこの偏りに応答して移動すれば、物質輸送の向きと油滴の移動方向が結び付く。
油滴が移動すると、油滴と周囲の濃度分布との位置関係が更新される。例えば、\(A\) が移動した先で再び濃度勾配を形成し、\(B\) がその勾配に応答する場合、\(B\) は \(A\) の移動方向へ追随するような運動を示し得る。一方、\(B\) が存在することによって \(A\) の周囲の濃度分布が変われば、\(A\) の移動も \(B\) の位置に影響される。この二方向の応答が非対称である場合、二つの油滴が同じ方向へ移動する追跡・逃避に似た関係が成立する。
ここで運動を支えるのは、油滴間へ数値的に与えた引力や斥力だけではない。油の化学的な性質、ミセルを介した物質輸送、周囲の濃度勾配、液滴と媒質の相互作用が、一連の運動機構を形成している。特に、油成分が混合・輸送される過程には自由エネルギーの変化が伴う。運動に利用される自由エネルギーがどこから供給され、どの過程で散逸するかを考えることで、追跡運動が成立する物理的な条件を説明できる。
この実験では、油の組み合わせや物質輸送の条件を変更することで、油滴の運動の性質を調べられる。例えば、一方の油滴の種類を変更すれば、ミセルを介した輸送の非対称性も変わり得る。その変化に応じて油滴の移動方向や運動速度が変化するなら、物質輸送と運動の対応を実験的に検討できる。また、油滴の位置と速度を時間に沿って記録すれば、単に二つの油滴が近くに存在することと、継続的な追跡関係が成立していることを区別できる。
この事例では、観測された追跡運動から具体的な物理機構へ説明を進められる。粒子モデルでも、一方が他方を引き寄せ、他方が逃げるように設定すれば、追跡に似た軌道が生じ得る。しかし、油滴の実験では、その軌道を生む有効作用が、ミセルや物質輸送を含む実在する媒質との関係から成立する。軌道の類似性は、異なる系に共通する運動の特徴を示す。一方、その運動を維持するために必要な物理的な条件は、各系の構成要素と媒質を調べることで特定される。
さらに、油滴の追跡運動が一定時間持続したとしても、その間に油滴の組成や周囲の化学的な状態が一定に保たれているとは限らない。物質輸送が続けば、油滴の成分や大きさが変化する場合があり、それに伴って運動を生む濃度勾配も変化し得る。運動が観測された時間と、その運動を可能にする物質輸送が継続できる時間を分けて調べることで、運動の持続条件をより具体的に評価できる。
Meredith らの研究は、追跡という集団的な運動が、物質輸送と自由エネルギーの変化に支えられて成立する具体例である。非相反な作用によって方向性のある運動が生じることに加えて、その非相反性を生み出す媒質と化学的な過程まで調べられる点に、物理実験としての特徴がある。
4.3. 化学反応が非相反性の分子的な起源になる
油滴の追跡運動では、ミセルを介した物質輸送が非相反な運動の成立に関係していた。同様に、化学反応を進める触媒の周囲でも、反応物や生成物の濃度が空間的に偏ることによって、粒子間に非相反な有効相互作用が生じる場合がある。Mandal、Sen、Astumian は、相互作用する触媒について、化学反応と拡散の性質から非相反な有効相互作用が生じ得ることを理論的に説明した[14]。
触媒は、化学反応の進行を助ける物質であり、反応前後で触媒そのものが必ず消費されるわけではない。例えば、触媒 \(A\) が周囲の基質 \(S\) を生成物 \(P\) へ変換する場合、\(A\) の近くでは \(S\) が消費され、\(P\) が生成される。その結果、触媒の近傍と離れた場所との間に、\(S\) と \(P\) の濃度差が生じ得る。周囲の化学物質は濃度差に応じて拡散するため、触媒が存在することによって、空間的な濃度勾配が形成される。
別の触媒 \(B\) が、その濃度勾配に応答して移動する場合を考える。\(B\) の移動方向や速度は、\(S\) と \(P\) への応答の性質によって決まる。例えば、\(B\) が \(P\) の多い方向へ移動しやすいなら、\(A\) が生成した \(P\) の濃度分布によって、\(B\) は \(A\) へ近づくような運動を示す可能性がある。一方、\(A\) が \(B\) の作る濃度分布へ同じように応答するとは限らない。触媒ごとの反応速度や、基質・生成物に対する応答が異なれば、二方向の移動を生む有効作用にも差が生じる。
この機構を考えるうえでは、化学反応と拡散を分けて捉える必要がある。化学反応は、基質を消費して生成物を作ることで、周囲の濃度分布を変化させる。拡散は、形成された濃度差を空間的に広げ、別の触媒の位置まで影響を伝える。さらに、触媒がその濃度勾配へ応答して移動すると、触媒の位置と反応が進む場所が更新される。反応が濃度勾配を作り、濃度勾配が移動を生み、移動が反応の空間配置を変えるという循環が成立する。
このとき、触媒 \(A\) が \(B\) へ及ぼす有効作用と、\(B\) が \(A\) へ及ぼす有効作用を比較すると、両者の非対称性を、反応速度や拡散に関係する物理量へ結び付けられる。非相反な相互作用係数を任意の数値として指定する場合には、その係数から運動を計算することが中心になる。一方、反応と拡散から有効相互作用を導く場合には、どの化学的な条件が相互作用の大きさや向きを決めるかを分析できる。Mandal らの研究の意義は、非相反性を分子的な反応機構から説明する点にある。
例えば、触媒が作る生成物の量を増加させると、周囲の濃度勾配が変化する可能性がある。その勾配に応答する別の触媒の移動も、それに応じて変化し得る。ただし、反応速度が大きくなれば必ず移動速度も大きくなるという単純な関係が成立するとは限らない。基質の供給が制限される場合や、拡散によって濃度差が短時間で緩和される場合には、反応速度の変化が移動へ及ぼす影響も異なる。非相反性の大きさや向きを特定するには、反応と拡散を組み合わせた具体的な方程式が必要になる。
また、化学反応が進行するには、基質が供給され、反応生成物が周囲へ移動するなどの条件が関係する。触媒が反応そのものによって消費されない場合でも、反応を継続するための化学的な条件は変化し得る。例えば、閉じた空間で基質が消費され続ければ、その濃度は時間とともに減少する場合がある。反応による濃度勾配が弱まれば、有効相互作用も変化し、集団の運動が持続する条件へ影響する。化学的な駆動を長時間維持するには、反応物の供給や生成物の輸送を含めた物質収支を考える必要がある。
この事例では、非相反な運動の原因が、触媒という構成要素の性質だけでなく、反応物と生成物を含む環境との関係にあることが分かる。触媒の配置が同じでも、基質濃度や拡散の条件が異なれば、形成される濃度勾配と有効相互作用は変化し得る。集団構造を形成する局所的な作用を理解するには、構成要素の種類、化学反応、媒質中の物質輸送を組み合わせて記述する必要がある。
Mandal らの研究は、非相反な有効相互作用が化学的な過程から導かれることを示す一方、その相互作用からどのような巨視的な集団構造が形成されるかについては、別の段階の分析が必要になる。触媒間の有効作用を導出することと、多数の触媒が安定した集団や機能的な反応系を形成することは、異なる問題である。分子的な反応機構から相互作用を求め、その相互作用が集団全体の時間発展へどう現れるかを調べることで、化学反応と自己組織化を接続できる。
4.4. 相反的な結合と非相反な運動が共存する集合体
物理的な駆動によって集団運動が成立する場合、集団の形態を保つ作用と、内部の構成を変化させる作用が異なる役割を持つことがある。Al Harraq らは、電場によって駆動される能動粒子と、自走しない受動粒子を組み合わせた系を実験的に研究し、非相反性、準安定性、集団の動的な再編成の関係を調べた[15]。この研究では、個々の粒子の運動だけでなく、粒子対の相互作用や、複数の粒子が集合した後の構造の持続も検討されている。
能動粒子は、外部からの駆動を受けて自ら移動する成分を持つ粒子である。これに対して受動粒子は、自走する機構を持たず、周囲の粒子や媒質からの作用によって移動する。二種類の粒子が混在すると、能動粒子の運動が受動粒子の位置を変え、その受動粒子の存在が能動粒子の移動にも影響する。粒子の種類によって運動性が異なるため、同じ集団内に存在していても、運動や配置の更新に果たす役割は一致しない。
この実験では、交流電場が粒子の運動と相互作用に関与する。交流電場とは、電場の向きや大きさが時間とともに変化する駆動である。電場によって粒子の分極や周囲の流体との相互作用が変化すると、粒子が受ける作用や移動の仕方も変化し得る。したがって、集団が動き続ける場合には、粒子間の相互作用に加えて、その運動を維持する外部駆動を考える必要がある。
能動粒子が直線的に移動する条件と、らせん状の軌道を描く条件とでは、受動粒子との集合の仕方に違いが報告されている。例えば、直線的な移動では、能動粒子が周囲の受動粒子との位置関係を一方向へ更新する傾向がある。一方、らせん状の運動では、能動粒子が周囲の粒子へ繰り返し接近するような軌道を取るため、集団内部の相互作用関係が時間とともに組み替わる可能性がある。このように、同じ種類の粒子であっても、運動軌道の性質が集団の形成と再編成へ影響する。
研究では、らせん状の運動を行う能動粒子を含む集団について、内部の構成を組み替えながら比較的長時間存続する準安定な状態が観測されている。準安定とは、観測する時間範囲では構造が存続する一方、条件の変化やゆらぎによって別の状態へ移行し得ることを意味する。例えば、集団が一定の形態を保っていても、内部の粒子が入れ替わり、近接関係が変化している場合がある。その場合、形態の持続と内部構造の固定は別の性質になる。
この違いを測定するには、集団全体の輪郭や寿命だけでなく、内部に含まれる粒子の種類、粒子間の距離、近接関係の変化を記録する必要がある。例えば、ある時刻に三つの受動粒子が一つの能動粒子の周囲へ集まっていたとする。しばらく後に、集団の大きさや輪郭がほぼ同じでも、周囲にいる受動粒子が別の個体へ入れ替わっている場合がある。外形だけを測れば安定しているように見えるが、粒子の識別情報を含めて測れば、内部で再編成が進んでいることが分かる。
また、集団の寿命が長いことと、外乱に対して安定であることも区別される。例えば、外部からの駆動条件を一定に保つと集団が長時間存続する場合でも、駆動を停止すると崩壊する可能性がある。反対に、短時間の外乱を与えても元の形態へ戻る場合には、その外乱に対する回復能力が認められる。形成後の寿命を測ることと、外乱に対する回復時間を測ることでは、評価している性質が異なる。
Al Harraq らの研究では、集団に含まれる能動粒子の割合を変更することによって、集団の安定性や再編成の性質を調整できることも報告されている。能動粒子の割合が変われば、集団全体へ寄与する自走の成分や、粒子間の相互作用の組み合わせも変化する。例えば、同じ数の粒子からなる集団でも、能動粒子が多い場合と少ない場合では、外部駆動が集団内部の運動へ与える影響が異なり得る。集団の構成比を操作することによって、形態の持続と内部の再編成に関係する条件を比較できる。
この研究から読み取れるのは、相反的な結合が集団の形態形成へ寄与することと、能動粒子の運動や非相反な相互作用が内部の再配置へ関与することを、別々の役割として検討できる点である。集団の形態が維持されているという観測から、内部の相互作用関係が固定されていると判断することはできない。また、内部の再編成が活発であることから、集団が必ず不安定であると結論することもできない。外部駆動、粒子間の結合、集団の構成、内部の更新を合わせて測ることで、動的な秩序がどのように成立しているかを詳しく分析できる。
粒子集団の形態的な安定性と、内部の構成要素の入れ替わりが両立することは、構造の持続を考えるうえで重要な性質である。ただし、粒子が入れ替わりながら集団が保たれることと、集団自身が新たな構成要素を生産し、維持機構を修復することは、異なる過程である。能動・受動粒子の集合体は、動的な再編成と形態の持続を実験的に調べる対象として有用であり、維持機構の内部的な再生産については別の評価が必要になる。
ここまでの物理系では、非相反な有効相互作用が成立する機構と、その運動を維持する物質やエネルギーの供給条件が異なっている。各研究の対応関係を整理すると、次のようになる。
| 対象 | 非相反性・運動の成立機構 | 駆動を支える条件 | 確認できる範囲 |
|---|---|---|---|
| 非相反な有効力の理論 | 媒質を介する作用を粒子間の有効相互作用として表すことで、二方向の作用が非対称になる場合がある。 | 非平衡な環境と、粒子・媒質間の相互作用が関係する。 | 有効相互作用の非相反性が、粒子対や多粒子系の運動へ及ぼす影響を理論的に分析できる。 |
| 異種油滴の追跡運動 | ミセルを介した油の交換が濃度分布を変え、その非対称な応答によって追跡に似た運動が生じる。 | 油の物質輸送、混合の自由エネルギー、界面と媒質の相互作用が関係する。 | 実在する液滴の追跡運動を、物質輸送と化学的な条件へ結び付けて検証できる。 |
| 相互作用する触媒 | 基質と生成物の濃度勾配、触媒ごとの反応・応答特性によって、非相反な有効相互作用が生じ得る。 | 化学反応の進行、基質の供給、生成物の輸送、拡散の条件が関係する。 | 非相反な有効相互作用を、分子的な反応と拡散の機構から理論的に導ける。 |
| 能動・受動コロイド | 異なる運動性を持つ粒子の相互作用によって、集合と内部の再編成が生じる。 | 交流電場による外部駆動と、粒子の分極や媒質との相互作用が関係する。 | 集団の形成、準安定性、構成比と動的再編成の関係を実験的に調べられる。 |
これらの研究では、似た追跡運動や集合体が観測されても、その背後にある物理的な機構は異なる。非相反な作用を理論上の有効力として与える場合、化学的な物質輸送から導く場合、外部電場によって粒子を駆動する場合では、力の発生源と環境の役割が異なる。各系について、どの物質が移動し、どのエネルギーが利用され、どの作用が集団の形成や維持へ寄与したかを調べることで、運動の外見から物理的な成立機構へ説明を進められる。
4.5. 非平衡統計力学は散逸をどのように定義するか
集団運動が長時間持続する場合、その状態が熱力学的な平衡にあるのか、非平衡な状態として維持されているのかを区別する必要がある。例えば、ある粒子集団の密度分布が長時間ほぼ一定に保たれていても、内部の粒子が移動し続け、外部からエネルギーを受け取っている場合がある。このとき、観測された密度分布が一定であることは、すべての運動や物質の流れが停止していることを意味しない。時間的な平均として変化が小さいことと、熱力学的な平衡が成立していることは、異なる性質である。
非平衡統計力学では、多数の要素が示す確率分布、流れ、ゆらぎ、散逸などを調べる。特に、定常状態と平衡状態を分けることが重要になる。定常状態とは、観測する確率分布や平均的な物理量が時間とともに変化しない状態である。一方、熱力学的な平衡状態では、適切に定義された時間反転の下での詳細釣り合いなど、追加の条件が成立する。非平衡定常状態では、確率分布が一定に保たれていても、状態間の遷移には向きのある確率流が残り得る。
例えば、ある粒子が三つの状態 \(A\)、\(B\)、\(C\) の間を移動する確率過程を考える。\(A\) から \(B\)、\(B\) から \(C\)、\(C\) から \(A\) という向きの遷移が、逆方向の遷移よりも頻繁に起こる場合、状態の確率分布が一定になっていても、状態空間には循環する確率流が存在する。各状態へ入る確率と出る確率が釣り合えば、状態の確率は一定に保たれる。しかし、循環の向きに偏りがあれば、時間を逆向きに観測した軌道と、順方向に観測した軌道の統計的な性質は異なる場合がある。この違いが、非平衡な不可逆性を考える手掛かりになる。
Seifert は、確率的な軌道に沿ったエントロピー生成を定式化し、積分型のゆらぎの定理を導いた[16]。この枠組みでは、系の確率的な運動則と周囲の熱的環境との関係が定義される。状態の確率がどのように変化するかに加えて、系が環境と交換する熱や、それに伴うエントロピーの変化を扱えるため、単に軌道の形を観察する場合よりも具体的に不可逆性を評価できる。
確率的な軌道を \(\omega\)、それに対応する時間反転した軌道を \(\widetilde{\omega}\) とする。適切に定義された順方向過程における軌道の確率を \(P_{\mathrm F}[\omega]\)、対応する逆向きの過程における軌道の確率を \(P_{\mathrm R}[\widetilde{\omega}]\) とすると、全エントロピー生成を軌道確率の比として表せる場合がある。
\[
\Delta s_{\mathrm{tot}}[\omega]
=
k_{\mathrm B}
\ln
\frac{P_{\mathrm F}[\omega]}
{P_{\mathrm R}[\widetilde{\omega}]}
\]
\(k_{\mathrm B}\) はボルツマン定数、\(\ln\) は自然対数を表す。分子は順方向の軌道が生じる確率、分母は対応する逆方向の軌道が生じる確率である。この式では、順方向と逆方向の軌道が統計的にどの程度異なるかが、エントロピー生成として表される。ただし、逆過程の定義や確率の取り方には、対象とする確率過程と時間反転の条件が必要になる。単に座標を逆順に並べた結果を代入すれば、任意の系で熱力学的なエントロピー生成が得られるという意味ではない。
この定義の下では、適切な条件を満たす確率過程について、次の積分型ゆらぎの関係が成立する。
\[
\left\langle
\exp\left(
-\frac{\Delta s_{\mathrm{tot}}}{k_{\mathrm B}}
\right)
\right\rangle
=
1
\]
山括弧 \(\langle\cdot\rangle\) は、多数の軌道についての統計的な平均を表す。指数関数の平均が 1 になるという関係から、平均的な全エントロピー生成が非負であることが導かれる。一方、個々の軌道に沿ったエントロピー生成は、ゆらぎによって負の値を取る場合もある。ここでも、ある一回の運動と、多数の軌道にわたる統計的な性質を区別する必要がある。
この理論を粒子集団の運動へ適用するには、粒子の移動を表す確率過程、その確率過程を成立させる熱浴や駆動源、状態の時間反転の定義が必要になる。例えば、粒子が熱的なゆらぎを受けながら流体中を移動する場合には、ゆらぎと散逸を含む Langevin 方程式を利用することがある。Langevin 方程式は、決定論的な力と確率的な力を組み合わせて粒子の運動を表す方程式である。熱浴との結合が適切に定義されれば、その運動と熱力学的な散逸を関連付けられる。
一方、粒子の位置と速度を数値的に更新するだけの決定論的なシミュレーションでは、速度を減衰させる係数が存在していても、その係数から熱浴との熱交換やエントロピー生成率が自動的に定まるわけではない。例えば、各時刻の速度を一定割合で小さくする規則は、数値モデルの運動を抑える作用として定義できる。しかし、その減少した運動エネルギーが実際の物質系でどの媒質へ伝わり、どのような熱へ変換されるかを求めるには、対応する物理的なモデルが必要になる。数値的な減衰と熱力学的な散逸を区別することは、シミュレーションの軌道を実在系の運動へ対応付ける際の基本的な条件である。
散逸をさらに細かく調べる方法として、Sekizawa、Ito、Oizumi は、過減衰の非線形 Langevin 系において、非保存力に起因する定常維持のエントロピー生成率（housekeeping entropy production rate）を、クープマンモード分解によって振動成分ごとに分解する研究を行った[17]。クープマンモード分解は、非線形な時間発展を、観測量の時間変化に基づく成分へ分ける方法である。非線形系であっても、観測量が時間とともにどのように変化するかを調べることで、特定の振動成分や減衰成分を識別できる場合がある。
この研究では、対象とする過減衰の非線形 Langevin 系について、定常維持のエントロピー生成率を振動モードごとに分解する関係が導かれている。適切な条件の下では、各振動成分が定常維持のエントロピー生成率に寄与する量は、その振動数の二乗と強度の積に比例する。例えば、同じ強度を持つ二つの振動成分でも、振動数が異なれば散逸への寄与が異なる場合がある。合計のエントロピー生成率だけを扱う場合と比べて、どの振動成分がどれだけ寄与するかを分析できる点が特徴である。
ここで注意すべきなのは、振動数と散逸の関係が、あらゆる運動に無条件で成立する一般式というわけではないことである。Langevin 系としての運動則、確率的なゆらぎ、熱力学的な散逸の定義、分解に用いる観測量などが、関係の成立条件になる。例えば、集団が周期的に回転しているという観測だけから、その回転の振動数を二乗して熱力学的な散逸を求めることはできない。その回転を支える力や熱浴との関係を含む、具体的な物理モデルが必要になる。
既稿「秩序はどのコストで維持されているのか」では、散逸構造、生命、振動、制御の関係を考察し、秩序の維持に伴う熱力学的な費用を論じている[18]。この考え方を実際の集団運動へ接続する場合、構造の更新量と熱力学的な散逸量を別々に定義する必要がある。例えば、集団内部の粒子間関係が大きく変化した場合、構造の更新量は大きくなる可能性がある。しかし、その更新がどれだけの熱力学的な散逸を伴ったかは、粒子の位置関係だけからは決まらない。運動を支える物理的な駆動や、媒質とのエネルギー交換を調べることで、構造の更新と散逸の対応を検証できる。
また、構造が長時間同じ形態を保つ場合でも、その維持に必要なエネルギーの供給が小さいとは限らない。例えば、外部電場で駆動された粒子集団が一定の輪郭を保っている場合、外形の変化が小さくても、内部では粒子が移動し、媒質との相互作用によってエネルギーが散逸している可能性がある。反対に、ある時点で形態が大きく変化した場合でも、その変化量だけから散逸の大きさを決めることはできない。構造変化を測る量と、エネルギーやエントロピーの収支を測る量は、それぞれ異なる物理的な定義を持つ。
非平衡な集団運動を説明する際には、少なくとも三つの情報を区別できる。第一は、粒子や集団がどのような軌道を描くかという運動の情報である。第二は、その運動を生み出す力、物質輸送、化学反応、外部駆動などの成立機構である。第三は、運動を維持する過程でどのようなエネルギー交換や不可逆な流れが生じるかという熱力学的な情報である。軌道の観測は運動の存在を示し、駆動機構の分析はその原因を具体化し、熱力学的な収支の評価は維持に伴う散逸を定量化する。
Ivlev らの非相反な有効相互作用、Meredith らの油滴の追跡運動、Mandal らの触媒反応、Al Harraq らの能動・受動コロイドの実験は、異なる媒質と駆動条件の下で、方向性のある集団運動が成立する仕組みを示している。一方、Seifert や Sekizawa らの研究は、定義された確率的な運動則の下で、不可逆性や散逸をどのように測定できるかを明らかにしている。これらを組み合わせることで、構造が形成されて動き続けるという観測から、何がその運動を生み出し、どのような条件で維持され、どの程度の熱力学的な費用が伴うのかという、より具体的な説明へ進められる。
持続的な集団運動の物理的な成立条件は、集団の形態や移動速度だけで決まるわけではない。非相反な相互作用が成立する媒質、運動を可能にする物質やエネルギーの供給、運動によって生じる散逸、形成された構造の安定性が関係する。これらを別々に定義して測定することで、数理モデル上の持続運動、実在する非平衡系の定常的な運動、維持機構を伴う生命的な自己維持を、それぞれ異なる条件に基づいて評価できる。
5. 形態の持続、内部の再編成、安定性を区別する
5.1. 動きが止まっていることと秩序が保たれること
ある粒子集団が一定の形を保っているとき、その内部で何が起きているかは、輪郭を観測するだけでは判断できない。例えば、粒子がほぼ同じ位置にとどまり、集団全体が静止している場合がある。一方、粒子同士の相対配置を保ったまま、集団全体が一定方向へ移動する場合もある。さらに、集団の輪郭と重心がほとんど変化していなくても、内部では粒子が循環し、隣接する相手が絶えず入れ替わっている場合がある。これらは外形の時間変化が小さいという点では似ているが、粒子の速度、相対運動、相互作用関係の更新という点では異なる状態である。
例えば、同じ速度で右方向へ移動する三つの粒子を考える。三粒子の位置は時間とともに変化するが、相互の距離が一定なら、三角形の形状は保たれる。この場合、実験室に固定された座標系では粒子の位置が更新され続ける一方、集団の重心を基準にした座標系では、各粒子の位置がほぼ一定になる。絶対的な位置と相対的な配置を区別することで、集団全体の移動と、内部構造の変形を分離できる。
粒子 \(i\) の位置を \(\mathbf{x}_i(t)\)、集団の重心を \(\mathbf{X}(t)\) とする。重心から見た相対位置を \(\mathbf{r}_i(t)\) と定義すれば、次の関係が得られる。
\[
\mathbf{r}_i(t)
=
\mathbf{x}_i(t)-\mathbf{X}(t)
\]
この式では、各粒子の位置から集団全体の重心位置を差し引いている。すべての粒子が同じ方向へ同じ距離だけ移動する場合、\(\mathbf{x}_i(t)\) と \(\mathbf{X}(t)\) は同じ量だけ変化するため、相対位置 \(\mathbf{r}_i(t)\) は保たれる。したがって、絶対座標が変化していても、集団内部の配置が変形したとは限らない。なお、集団全体が回転する場合には、重心を基準にした座標でも相対位置の向きが変化するため、回転を除いた形状の比較には、さらに共通の向きをそろえる操作が必要になる。
反対に、重心が静止していても内部では粒子が運動している場合がある。例えば、同じ質量の粒子が円周上を等間隔に並び、円の中心を回るように移動しているとする。各粒子の位置と速度は時間とともに変化するが、対称な配置が保たれれば、重心は円の中心にとどまる。この場合、重心速度だけを測定すると集団が静止しているように見える。しかし、個々の粒子の軌道を追跡すれば、内部の循環運動が継続していることが分かる。
さらに、同じ粒子が一定の順序で循環する場合と、粒子が互いにすれ違い、隣接する相手を入れ替えながら循環する場合も区別できる。前者では粒子間の距離や関係が比較的保たれる可能性がある。後者では、集団の輪郭が保たれていても内部の近接関係が頻繁に組み替わる。外形の持続を測る量と、内部構造の更新を測る量を別々に定義する必要があるのは、このためである。
既稿「秩序と無秩序のあいだには何があるのか」では、静的な配置だけでなく、時間的な応答や振動を含めて秩序を捉える問題を扱った[19]。例えば、粒子の配置が規則的であっても、外乱に対する応答が急速に増幅される場合には、その配置の動的な安定性を別に調べる必要がある。逆に、一見すると不規則な配置でも、外乱を受けた後に一定の統計的な性質が回復する場合がある。空間的な配置の規則性と、時間発展に現れる安定性は、それぞれ異なる観測によって評価される。
秩序を時間的な性質として調べる場合には、一定の時刻における配置だけでなく、観測量の時間相関も利用できる。例えば、粒子の運動方向が一定時間後にも似た向きを保っているか、集団の形状が過去の形状とどの程度似ているかを調べることが考えられる。ただし、観測する時間間隔によって評価結果は異なる。短い時間間隔ではほぼ静止しているように見える構造でも、長時間観測すると徐々に変形する場合がある。反対に、短時間では大きく変形していても、周期的に元の形へ戻る構造もある。
ここで、構造が一定であることと、構造を表す観測量が一定であることも区別される。例えば、集団の面積が一定でも、輪郭の細部が変形している場合がある。粒子間の平均距離が一定でも、どの粒子同士が近接しているかは変化し得る。測定量が一つの数値へ集約されるほど、異なる状態が同じ値へ対応する可能性が増える。したがって、秩序の持続を判断するときには、どの関係や性質が維持されているかを具体的に定める必要がある。
集団の形態が一定に保たれているという観測は、内部の運動が停止していることを意味しない。また、内部で運動が続いていることは、集団が必ず不安定であることを意味しない。形態を保ちながら移動する集団、内部で循環する集団、構成要素を交換する集団を区別することで、動的な過程によって維持される秩序を、静止した配置の持続とは別の現象として評価できる。
5.2. 存続時間と外乱への回復
集団構造が形成された後、その構造がどの程度の時間存続するかは、形成条件とは別に測定できる。例えば、同じ相互作用を持つ粒子系で 100 回の試行を行い、各試行で集団が形成された後、崩壊するまでの時間を記録する。ある試行では短時間で集団が分散する一方、別の試行では長時間まとまった状態が続く場合がある。平均寿命だけを計算すると、長く残った少数の試行によって結果が大きく影響されることもあるため、寿命の分布そのものを調べることが有効になる。
集団が形成されてから、あらかじめ定めた崩壊条件に初めて達するまでの時間を \(T\) とする。ある時間 \(t\) を超えて集団が存続する確率を、生存関数 \(S_T(t)\) として次のように定義できる。
\[
S_T(t)
=
\Pr(T>t)
\]
ここで \(\Pr\) は確率を表す。例えば \(S_T(100)=0.8\) なら、定めた条件で形成された集団のうち、形成後 100 単位の時間を超えて存続する割合が 80％ であることを意味する。時間の単位は対象のモデルや実験に依存する。数値シミュレーションであれば更新回数、物理実験であれば秒や分などを用いられる。異なる試行の寿命を比較するには、形成の開始時刻、崩壊の判定条件、時間単位をそろえる必要がある。
例えば、ある条件 \(A\) では集団が高い頻度で形成されるものの、形成後の大部分が短時間で崩壊するとする。一方、条件 \(B\) では集団が形成される頻度は低いが、一度形成された集団は長時間存続するとする。この二つの条件で、ある時刻に集団が観測される割合が似ていても、形成と持続の性質は異なる。形成頻度を調べることによって、集団が生じやすい条件を評価できる。生存関数を調べることによって、形成された集団が残りやすい条件を評価できる。両者を分けることで、集団の出現と消滅に関係する異なる機構を分析できる。
寿命の測定には、観測を終了した時点で集団が存続している場合の扱いも関係する。例えば、観測時間を 1,000 単位と定め、その時点でも集団が存在していた場合、その集団の寿命は 1,000 より長いことは分かるが、実際に崩壊する時刻までは観測されていない。このような記録は右打ち切りと呼ばれる。観測終了時まで残った集団を、すべて寿命 1,000 の集団として扱えば、寿命分布の推定に偏りが生じる。観測時間を超えた集団と、実際に崩壊した集団を区別することが、存続性の評価に必要になる。
しかし、長時間存続する集団が、外乱を受けても同じように存続できるとは限らない。例えば、外部からの駆動が一定に保たれている間は長時間存在する集合体でも、駆動を短時間停止すると分散する場合がある。また、粒子の一部を取り除くと崩壊する集団と、構成要素を減らしても元の形態へ近づく集団では、持続を支える機構が異なる可能性がある。寿命は実際に与えられた条件下での存続を表し、外乱に対する安定性は、条件が変更されたときの応答を表す。
外乱への応答を評価するには、まず回復の対象となる状態を定義する必要がある。例えば、集団の面積を \(Q(t)\) として測定し、外乱前の代表的な面積を \(Q_0\) とする。外乱を時刻 \(t_0\) に与えた場合、外乱後の面積の差は次のように表せる。
\[
D_Q(t)
=
|Q(t)-Q_0|
\]
\(D_Q(t)\) は、観測時点の面積が外乱前の代表値からどの程度離れているかを表す。例えば、外乱によって集団の面積が一時的に増加し、その後 \(D_Q(t)\) が減少してゼロに近づくなら、面積という指標については回復が進んでいると判断できる。ただし、面積が元に戻っても、集団の形状や内部の粒子間関係まで同じになったとは限らない。回復した性質を特定するには、面積以外の測定量との対応が必要になる。
回復の成立を定量的に判定する場合には、許容する差の大きさを決められる。例えば、外乱前の値からの差が \(\varepsilon\) 以下であることを回復の条件とする。
\[
D_Q(t)\le\varepsilon
\]
\(\varepsilon\) は、測定のばらつきや許容する変化量を考慮して設定する閾値である。外乱を加えた後、観測値が初めてこの範囲に戻るまでの時間を測れば、回復時間を評価できる。ただし、一時的に閾値の範囲へ入った直後に再び大きく離れる場合もあるため、一定時間にわたって範囲内にとどまることまで確認すれば、回復の持続性をより明確に評価できる。
また、集団が外乱前から周期的に振動している場合には、一定の基準値 \(Q_0\) だけで回復を判定すると誤った結論になる可能性がある。例えば、集団の面積が周期的に増減する状態では、外乱を与えなくても \(Q(t)\) は時間とともに変化している。この場合には、外乱を与えなかった対照試行の時間発展と比較する方法が考えられる。元の運動軌道へ近づいたか、振動の振幅や周期が回復したか、時間平均が元の範囲へ戻ったかによって、回復の意味は異なる。
構造の安定性を厳密に議論する場合には、外乱の種類と大きさも条件になる。例えば、粒子を一つ取り除く操作と、粒子の位置をわずかに移動させる操作では、構造へ加わる影響が異なる。小さな位置の摂動に対して安定でも、構成要素の除去には耐えられない場合がある。反対に、構成要素が入れ替わっても形態を維持できる集団でも、外部駆動の停止に対しては不安定な場合がある。安定性を一つの数値で評価する際には、少なくとも摂動の対象、摂動の大きさ、回復を判定する量、観測時間を明示する必要がある。
ここで、摂動後に元の状態へ戻ることと、元の状態とは異なるが同じ機能を果たす状態へ移行することも区別できる。例えば、集団の一部の粒子が失われた後、元とは異なる粒子配置を取りながら、同じ方向への移動を続ける場合がある。この場合、粒子配置という構造は復元していなくても、移動という機能は維持されている可能性がある。形態の回復、内部関係の回復、機能の維持を別々に評価すれば、何が外乱に対して保たれたのかを具体的に示せる。
集団が長時間残ること、外乱後に元の状態へ戻ること、元とは異なる状態でも機能を維持することは、いずれも構造の持続に関係するが、必要な測定と因果関係が異なる。寿命分布は集団がどの程度存続するかを示し、摂動応答は状態の安定性を示し、機能の測定は集団が実現している働きの継続を示す。これらを区別することで、長く存在する構造と、外乱に対して維持される構造を、異なる性質として評価できる。
5.3. 相互作用の異方性と集団構造
粒子間の相互作用は、二粒子の距離だけで決まるとは限らない。例えば、粒子の表面に特定の方向へ作用しやすい部分がある場合、相手がどの方向に位置しているかによって、引力や斥力の大きさが変化する。また、自走する粒子では、進行方向の前方と後方で、周囲の粒子に与える影響が異なる場合がある。このように、相互作用の性質が空間的な方向や粒子の向きへ依存することを異方性と呼ぶ。
距離だけに依存する等方的な相互作用では、粒子を中心として同じ距離にいる相手に対し、距離に関する条件は同一になる。一方、異方的な相互作用では、相手が同じ距離にいても、粒子の前方に存在する場合と側方に存在する場合とで、作用の大きさや方向が異なり得る。例えば、ある粒子が前方にいる相手を強く引き寄せ、後方にいる相手へは弱く作用する場合、粒子の向きによって形成される局所的な配置が異なる可能性がある。
この関係を単純化して表すため、粒子 \(i\) と粒子 \(j\) の距離を \(r_{ij}\)、粒子 \(i\) の向きを表す単位ベクトルを \(\mathbf n_i\)、粒子 \(i\) から粒子 \(j\) への方向を表す単位ベクトルを \(\widehat{\mathbf r}_{ij}\) とする。相互作用の大きさを表す関数を、次のように置ける。
\[
g_{ij}
=
g(r_{ij},
\mathbf n_i\cdot\widehat{\mathbf r}_{ij})
\]
ここで \(\mathbf n_i\cdot\widehat{\mathbf r}_{ij}\) は二つの単位ベクトルの内積であり、粒子の向きと相手が存在する方向の関係を表す。相手が粒子の正面にいる場合は \(1\)、直角方向にいる場合は \(0\)、真後ろにいる場合は \(-1\) になる。関数 \(g\) がこの値に依存すれば、同じ距離でも相手が存在する方向によって相互作用の大きさが異なる。この式は異方性の意味を説明するための一般的な表現であり、特定の研究の相互作用式をそのまま表したものではない。
異方性は、非相反性とは別の性質である。異方性は、相互作用が方向に依存することを意味する。一方、非相反性は、一方の粒子が他方へ及ぼす作用と、逆方向に及ぼされる作用が相反的な関係を満たすかという問題である。方向依存性を持つ相互作用でも、二粒子の間に働く力が互いに等しく反対向きであれば、相反的な関係を保つ場合がある。反対に、等方的な相互作用であっても、二方向の作用係数が異なれば非相反性が生じ得る。
Navas と Klapp は、相互作用の異方性を調整できるコロイド粒子の自己組織化モデルを研究し、非相反性が集合体の形成や動的な性質へ与える影響を分析した[20]。コロイド粒子は、液体などの媒質中に分散する微小な粒子であり、その形状や表面の性質によって、相互作用に方向依存性を持たせられる場合がある。異方性と非相反性を組み合わせると、単に粒子同士が接近するか離れるかという関係に加えて、どの向きで結合し、形成された集合体がどのように運動するかを調べられる。
例えば、粒子が特定の向きで接近した場合に集合しやすい系では、局所的な結合の方向が集団全体の形態へ影響する。二つの粒子が結合した後、その組が別の粒子を引き寄せる方向が制限されれば、粒子が無方向に凝集する場合とは異なる構造が形成され得る。さらに、粒子同士の作用が非相反であれば、形成された集合体の内部で、一方の粒子が他方の粒子を動かす作用と、その逆方向の作用が一致しない場合がある。その結果、集合体全体の運動や内部配置の変化にも影響する可能性がある。
このような系では、同じ粒子数、同じ密度、同じ相互作用の平均的な大きさを与えても、異方性の条件が異なれば形成される構造が変化し得る。例えば、相互作用がほぼ全方向に同じように働く条件と、特定の方向に集中する条件では、粒子が集合できる配置や、集合体が形成された後の運動の自由度が異なる。したがって、集団の形態を相互作用の大きさだけで説明するよりも、相互作用の方向依存性を含めて分析する方が、形成条件を具体的に記述できる。
また、異方性によって特定の構造が形成されたとしても、その構造が安定して存続するかは別の問題である。例えば、ある方向へ強く結合することによって細長い集合体が形成された場合、粒子の向きが少し変化すると、その結合条件が失われる可能性がある。一方、粒子の向きが変化しても別の結合関係が形成され、集合体全体の形態が維持される場合も考えられる。形成される構造と、その構造が摂動に対してどのように応答するかを区別することで、異方性と安定性の関係を分析できる。
非相反性の影響を特定する場合には、異方性を一定に保って比較する必要がある。例えば、非相反な作用を持つ条件と相反的な作用を持つ条件を比較しても、同時に相互作用の方向依存性が変化していれば、観測された構造の差を非相反性だけへ帰属させることは難しい。また、粒子密度や境界条件が異なれば、粒子同士が接近する頻度や向きの分布も変化する。相互作用の対称性、方向依存性、粒子の運動性を分けて制御することで、各条件が形成と持続へ及ぼす寄与を調べられる。
このように、非相反性と異方性は、粒子間の相互作用を異なる観点から記述する性質である。非相反性は二方向の応答の関係を定め、異方性は作用する方向への依存を定める。集団構造の形成と持続を説明するには、相互作用の大きさと符号に加えて、方向依存性とその時間的な変化を考慮する必要がある。集団の形態は、局所的な相互作用の組み合わせによって形成され、その構造が持続するかどうかは、形成後の運動と摂動への応答によって評価される。
5.4. 何が持続しているのかを明確にする
ある集団が長時間維持されているという記述には、複数の意味が含まれる。例えば、同じ粒子がまとまった状態で残っている場合と、粒子が入れ替わりながら同じ輪郭を保っている場合は、どちらも外見上は持続した集団として観測され得る。また、同じ粒子が集団に残っていても、内部の近接関係が大きく変化すれば、構造の関係性は更新されている。さらに、形態がほぼ同じであっても、物質輸送や触媒反応などの機能が停止している場合には、機能が維持されているとは言えない。何が持続しているかを明確にするには、集団の同一性を定義する基準が必要になる。
例えば、一定距離以内に存在する粒子を同じ集団とみなす方法を考える。この方法では、近接する粒子同士を連結して得られる集団を、空間的なまとまりとして定義できる。しかし、距離の閾値を変更すると、同じ粒子配置から得られる集団の数が変化する場合がある。例えば、粒子間距離が 1.5 の二粒子について、閾値を 1 とすれば別の集団に分類され、閾値を 2 とすれば同じ集団に分類される。集団の分類規則が変われば、その後に測定される集団の形成時刻や寿命も変わり得る。
また、集団を構成する粒子が時間とともに入れ替わる場合には、同じ集団が存続しているかを判断する基準も必要になる。例えば、時刻 \(t\) に粒子 \(A\)、\(B\)、\(C\) が集団を構成し、時刻 \(t+1\) に粒子 \(B\)、\(C\)、\(D\) が集団を構成しているとする。両時刻の集団は \(B\) と \(C\) を共有しているため、構成要素には連続性がある。一方、\(A\) が離れ、\(D\) が新たに加わっているため、所属する粒子の集合は完全には一致しない。構成要素の一致だけで集団の同一性を判定する場合、どの程度の入れ替わりまで同じ集団とみなすかを決める必要がある。
構成要素の重なりを測る一つの方法として、時刻 \(t\) の集団に所属する粒子の集合を \(C_t\)、次の時刻の集合を \(C_{t+1}\) とし、共通する粒子の割合を計算できる。例えば、二つの集合の共通部分と和集合の大きさを使えば、次のような一致度が定義できる。
\[
J(C_t,C_{t+1})
=
\frac{|C_t\cap C_{t+1}|}
{|C_t\cup C_{t+1}|}
\]
\(C_t\cap C_{t+1}\) は両時刻に共通して所属する粒子の集合、\(C_t\cup C_{t+1}\) はどちらかの時刻に所属する粒子をすべて含む集合である。縦線 \(|\cdot|\) は集合に含まれる粒子の数を表す。先ほどの \(A\)、\(B\)、\(C\) と \(B\)、\(C\)、\(D\) の例では、共通部分は \(B\) と \(C\) の二粒子、和集合は \(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\) の四粒子なので、一致度は \(2/4=0.5\) になる。この指標は、集団の構成要素がどの程度入れ替わったかを評価するために利用できる。
ただし、構成要素の一致度が低くなったことから、集団の形態や機能が失われたとは限らない。例えば、流体中の渦では、内部を通過する流体の一部が絶えず入れ替わっても、流れの模様が一定時間維持される場合がある。このとき、同じ流体の部分が渦の内部に存在し続けることと、渦という流れの構造が持続することは、異なる性質になる。同様に、粒子集団でも、構成粒子が入れ替わりながら同じ形態を保つ可能性がある。構成要素の一致度と形態の類似度を別々に測れば、物質的な連続性と構造的な連続性を区別できる。
内部の関係構造が持続しているかを調べる場合には、粒子をノード、近接関係や相互作用をエッジとして表す方法がある。例えば、ある時刻に \(A\) と \(B\)、\(B\) と \(C\) が近接していたとする。次の時刻に \(A\) と \(C\)、\(B\) と \(C\) が近接していれば、集団に含まれる粒子の集合は変わらなくても、近接関係の一部が更新されている。この場合、構成要素の一致度は \(1\) でも、関係構造の一致度は \(1\) にならない。粒子が同じであることと、粒子間の関係が同じであることを分ける必要がある。
さらに、粒子間の関係が同じであっても、相互作用の大きさや方向が変化している場合がある。例えば、ある二粒子が互いの作用範囲内に存在し続けていても、距離や向きが変化すれば、実際に働く力の方向や大きさが変化する可能性がある。近接関係の有無だけを記録する場合、この違いは測定に現れない。関係の存在、関係の重み、粒子の位置と速度を分けて記録することで、内部構造の更新をより具体的に評価できる。
機能の持続についても、対象とする機能を明示する必要がある。例えば、物質を一方から他方へ輸送する機能を持つ集団なら、単位時間当たりの輸送量を測ることができる。触媒反応を行う集団なら、基質が生成物へ変換される速度を測る方法がある。外部からの刺激に応答して運動する集団なら、刺激に対する方向や速度の応答を測定できる。これらの機能が保たれていても、内部の粒子配置や構成要素は変化している場合がある。機能の維持を評価するには、形態の持続とは独立した機能の測定量が必要になる。
構造の持続に関係する主な対象を整理すると、次のようになる。
| 持続の対象 | 持続していると判断する条件 | 主な測定方法 | 区別すべき性質 |
|---|---|---|---|
| 構成要素 | 同じ粒子や物質が集団に所属し続けている。 | 粒子の識別情報、所属集合、一致度を記録する。 | 構成要素が入れ替わっても、形態や機能が維持される場合がある。 |
| 集団の形態 | 輪郭、面積、形状などが定めた許容範囲に保たれている。 | 形状の類似度、面積、密度分布の時間変化を測定する。 | 外形が保たれていても、内部の粒子間関係は更新され得る。 |
| 関係構造 | 粒子間の近接関係や相互作用関係が維持されている。 | 近接グラフ、エッジ集合、関係の重みの変化を記録する。 | 関係が維持されても、集団全体が移動・回転する場合がある。 |
| 集団の運動 | 移動方向、速度、周期的な運動などが一定の性質を保つ。 | 重心速度、相対速度、速度相関、時間相関を測定する。 | 運動が継続していても、形態や構成要素は変化し得る。 |
| 構造の安定性 | 定めた外乱の後に、状態が元の状態や許容範囲へ戻る。 | 摂動後の状態差、回復時間、回復率を測定する。 | 外乱のない条件での長寿命と、外乱に対する回復能力は異なる。 |
| 集団の機能 | 物質輸送、触媒反応、刺激への応答などが継続する。 | 輸送量、反応速度、応答の精度や持続時間を測定する。 | 機能が維持されても、内部構造や構成要素が同一であるとは限らない。 |
この表で分けた対象は、互いに独立して測定できる一方、実際の系では相互に影響し合う。例えば、内部の粒子間関係が変化すれば、物質輸送の経路が更新される場合がある。構成要素が失われれば、集団の形態や機能が変化する場合もある。また、外部からの駆動が弱まれば、粒子の運動が変化し、形成されていた集団構造が崩壊する可能性がある。各性質を分けて測定することは、それらが無関係であるという意味ではなく、どの変化が別の変化へ結び付いたかを分析するための条件になる。
例えば、集団の外形が保たれている一方で、内部の粒子間関係が頻繁に更新されている場合、その集団の持続は固定された配置の保存としては説明できない。粒子の再配置が繰り返されても、集団を一定の形態へ保つ作用や駆動が継続していることになる。このような集団については、内部の更新が形態の維持に寄与しているのか、それとも形態を保つ作用の下で内部の再編成が許容されているのかを調べる必要がある。両者を区別するには、内部の関係を変更した場合に外形がどう変化するかを測定することが考えられる。
一方、内部の関係構造がほとんど更新されていなくても、外部駆動を停止すると集団が崩壊する場合がある。その集団では、内部の配置が一定に保たれていることだけでは、維持機構を説明できない。外部から供給されるエネルギーや媒質との相互作用が、形態を維持するために必要な条件となっている可能性がある。構造の更新量が小さいという測定結果から、維持に必要な物理的な費用が小さいと判断することもできない。
さらに、構成要素が入れ替わっても機能が保たれる集団については、その入れ替わりを可能にする仕組みを調べる必要がある。外部から同じ種類の粒子が供給され、集団に取り込まれるだけの場合もあれば、集団内部の化学反応によって必要な構成要素が生成される場合もある。前者では外部供給と取り込みが集団の維持へ寄与し、後者では内部の反応が構成要素の補充へ寄与する。いずれも構成要素の交換を伴うが、維持の原因となる機構は異なる。
集団が維持されているという観測を具体化するには、何を同じ集団として追跡するか、何が保たれていることを持続と呼ぶか、何を失った時点で崩壊と判定するかを定める必要がある。そのうえで、構成要素、形態、関係構造、運動、安定性、機能を別々に測定すれば、構造の持続を複数の性質へ分解できる。構造の存在が確認された段階から、その維持を支える相互作用や駆動を特定する段階へ進むためには、このような区別が不可欠になる。
形態が維持されること、構成要素が交換されること、内部の関係が再編成されること、外乱から回復することは、それぞれ異なる因果関係を持つ。ある集団が長時間存続したという結果から、これらの性質が同時に成立したと結論することはできない。何が持続したのかを測定量として明確にし、どの条件を変更するとその性質が失われるのかを調べることで、集団構造の持続を、観測された結果から成立機構についての検証可能な説明へ結び付けられる。
6. 構造の更新量と機能の評価量を分けて測定する
6.1. 構造を関係グラフとして表す
集団の形態や運動を調べるとき、観測する対象は粒子の位置や速度だけとは限らない。例えば、ある粒子がどの粒子と相互作用しているか、どの分子が別の分子の生成に関与しているか、どの細胞が隣接する細胞と物質を交換しているかという関係も、時間とともに変化する。こうした関係を記録すれば、集団の輪郭や平均的な密度からは読み取れない内部構造の変化を調べられる。ただし、粒子の近接関係と化学反応の関係は異なる物理的な意味を持つため、何を要素とし、何を関係として記録するかを最初に定義する必要がある。
例えば、三つの粒子 \(A\)、\(B\)、\(C\) が存在する場合を考える。時刻 \(t_0\) には \(A\) と \(B\)、\(B\) と \(C\) が近接しており、\(A\) と \(C\) は離れているとする。この配置では、\(A\) と \(B\)、\(B\) と \(C\) の間に関係が存在すると記録できる。その後、粒子が移動して \(A\) と \(C\) が接近し、\(B\) と \(C\) が離れたなら、粒子の数は三つのままでも関係の組み合わせは更新される。集団を構成する粒子の集合と、粒子間に成立している関係の集合を分ければ、構成要素が同じであっても内部構造が変化することを表現できる。
既稿「構造振動モデルを数理モデルとして定義する」では、構造を要素と関係のグラフとして表し、その更新を時間的な状態遷移として記述する枠組みを定めた[21]。時刻 \(t\) における構造を、次のように表せる。
\[
S_t=(V_t,E_t,W_t)
\]
\(V_t\) は構造を構成する要素の集合、\(E_t\) は要素間の関係の集合、\(W_t\) は関係に付けられた重みを表す。粒子集団なら、\(V_t\) は粒子の集合、\(E_t\) は一定距離以内にある粒子同士の関係、\(W_t\) はその関係の強さなどに対応する。化学反応の系なら、\(V_t\) を分子種や反応に関与する成分の集合とし、\(E_t\) を物質の変換や反応への寄与を表す関係として定義することもできる。
ここで、グラフのエッジが何を意味するかによって、同じ実在系から異なる構造が得られる。例えば、粒子間距離が一定の閾値より短いことをエッジの条件にすれば、空間的な近接関係を記録できる。一方、実際に力が働いていることをエッジの条件にするなら、相互作用係数や作用範囲も考慮する必要がある。粒子が近くに存在していても、対応する相互作用係数がゼロなら、その二粒子の間に直接の作用が生じないモデルもある。近接グラフと相互作用グラフは、定義した関係が異なるため、必ずしも同じエッジ集合にはならない。
有向グラフを用いれば、作用の方向も記録できる。例えば、粒子 \(A\) が粒子 \(B\) へ作用を及ぼす一方、粒子 \(B\) が \(A\) へ作用を及ぼさない場合、\(A\) から \(B\) への有向関係だけを記録する方法がある。粒子の種類によって作用範囲が異なる場合には、このような一方向の関係が生じ得る。また、両方向に作用が存在していても、その大きさや符号が異なる場合がある。その場合には、\(A\) から \(B\) への関係と、\(B\) から \(A\) への関係に別々の重みを付けることで、非相反な関係を表現できる。
ただし、関係の重みは、その関係が表す物理量によって意味が異なる。例えば、粒子間の作用係数を重みとする場合、正負の符号が引力と斥力に対応することがある。一方、物質輸送量を重みとする場合には、単位時間当たりの物質量などの単位を持つ。化学反応の速度定数を重みとする場合には、反応の形式によって単位も異なる。これらを同じ数値として並べても、その値の差が同じ物理的な意味を持つわけではない。グラフの重みを比較するには、測定する物理量、単位、符号の意味をそろえる必要がある。
また、相互作用規則として定義された関係と、実際の時刻に成立している関係を区別する必要がある。例えば、粒子の種類 \(A\) が種類 \(B\) へ引力を及ぼすという規則が固定されていても、実際の粒子間距離が作用範囲の外にあれば、その時点で力は働かない。粒子が移動して作用範囲へ入れば、規則を変更しなくても新たな作用関係が成立する。相互作用行列は種類間の規則を記録し、時刻ごとの関係グラフは具体的な粒子配置の下で成立した関係を記録する。両者を分離することで、固定された規則の下でも集団構造が更新されることを表せる。
さらに、グラフを使って異なる時刻の構造を比較する場合、ノードの同一性を保つことが必要になる。例えば、時刻 \(t_0\) の粒子 \(A\) と時刻 \(t_1\) の粒子 \(A\) が同じ個体であるなら、両時刻で同じ識別子を用いる。ノードの並び順だけが入れ替わった場合、それを構造の変化として数えてしまうと、実際の関係更新と記録方法による差を区別できなくなる。構成要素が増減する場合にも、どの要素が追加または消滅したかを識別できる規則が必要になる。
化学反応のように構成要素の交換を伴う系では、何をノードとして固定するかも重要になる。個々の分子をノードにすれば、分子の生成や分解に伴ってノード集合が変化する。一方、分子種をノードにすれば、同じ種類の分子が交換されてもノード集合は一定に保たれる場合がある。前者は個々の構成要素の更新を記録するのに適しており、後者は反応の種類や機能的な関係の変化を記録するのに適している。観測対象に応じてグラフを定義することで、何が維持され、何が更新されたかを具体的に記述できる。
関係グラフによる構造表現は、個々の要素と集団全体の関係を記録する方法である。ただし、グラフに含まれていない情報まで復元できるわけではない。例えば、二粒子が近接していることを表すエッジが存在しても、二粒子の正確な距離や向き、速度まで記録されているとは限らない。力が距離と方向に依存する系では、近接関係だけが同じでも、実際の運動は異なる場合がある。構造の記録と、運動を決める完全な状態を区別することで、グラフから何を説明できるかが明確になる。
6.2. 変化量と更新方向を別々に測る
ある時刻の構造と、その直前の構造を比較するとき、まず必要になるのは、二つの構造がどの程度異なるかを測る方法である。例えば、粒子間の関係が一本追加された場合と、一本削除された場合は、どちらも構造が更新されたことを表す。しかし、関係の数が増えたのか減ったのかという情報は、変化の大きさを測るだけでは得られない。構造の更新量と更新方向を区別することで、どの程度の変化が生じたかという問いと、その変化が構造にどのような方向の作用を与えたかという問いを別々に扱える。
既稿「構造振動モデルの定義を測定と検証まで含めて整理する」では、構造を比較可能な数値表現へ写す埋め込み写像を定義し、その距離によって構造振幅を測る方法を整理している[22]。構造 \(S_t\) を数値ベクトルへ変換する写像を \(\phi\) とすると、隣接する時刻の構造振幅は次のように表せる。
\[
A_t=
\left\|
\phi(S_t)-\phi(S_{t-1})
\right\|_2
\]
ここで \(\phi(S_t)\) は、時刻 \(t\) の構造を比較可能な数値列へ写した結果である。二つのベクトルの差を取り、その長さを求めることで、構造がどの程度更新されたかを測定する。\(\|\cdot\|_2\) はユークリッドノルムと呼ばれ、各成分の差を二乗して足し合わせ、その平方根を取る方法である。二つの構造が同じ数値表現を持つなら距離はゼロになり、異なる数値表現を持つなら距離は正の値になる。
例えば、三つの要素 \(A\)、\(B\)、\(C\) の間に成立する有向関係を考える。自己ループを除いた有向関係の候補は、\(A\) から \(B\)、\(A\) から \(C\)、\(B\) から \(A\)、\(B\) から \(C\)、\(C\) から \(A\)、\(C\) から \(B\) の六つである。この順序を固定し、関係が存在すれば \(1\)、存在しなければ \(0\) として数値列に並べる。時刻 \(t_0\) に \(A\) から \(B\)、\(B\) から \(C\) の関係が存在するなら、構造を次のように表せる。
\[
\phi(S_{t_0})=(1,0,0,1,0,0)
\]
その後、\(B\) から \(C\) の関係が消え、\(A\) から \(C\) の関係が追加されたとする。このとき、時刻 \(t_1\) の構造は次のようになる。
\[
\phi(S_{t_1})=(1,1,0,0,0,0)
\]
両時刻の構造を比較すると、\(A\) から \(B\) の関係は維持されている。一方、\(A\) から \(C\) の関係が追加され、\(B\) から \(C\) の関係が削除されている。六つの候補のうち、二つの成分が更新されたことになる。構造振幅を計算すると、次の値が得られる。
\[
\begin{aligned}
A_{t_1}
&=
\left\|
(1,1,0,0,0,0)
–
(1,0,0,1,0,0)
\right\|_2\\
&=
\sqrt{1^2+(-1)^2}\\
&=
\sqrt{2}
\end{aligned}
\]
この結果は、固定した六つの候補関係のうち二つが更新されたことを数値として表している。ただし、更新された二つの関係のうち、どちらが追加され、どちらが削除されたかという方向の情報は、構造振幅の値だけからは分からない。例えば、二本の関係を追加した場合と、二本を削除した場合でも、同じ二値表現と距離の定義を用いれば、更新された成分数が等しい限り構造振幅は同じになる。
そこで、構造の複雑さや規模を表す尺度 \(K\) を別に定義する。例えば、関係の数を尺度として採用するなら、次のように書ける。
\[
K(S_t)=|E_t|
\]
\(|E_t|\) は、時刻 \(t\) に存在するエッジの本数を表す。この定義では、エッジが追加されれば \(K\) が増加し、削除されれば減少する。ただし、エッジ数は構造の関係数を表す指標であり、あらゆる意味での複雑さを測る普遍的な尺度ではない。例えば、同じエッジ数を持つグラフでも、連結の仕方や循環の有無、情報伝達の経路は異なる場合がある。
複雑さの尺度 \(K\) の時間的な変化を、次のように定義する。
\[
\Delta K_t
=
K(S_t)-K(S_{t-1})
\]
\(\Delta K_t\) が正なら、選択した尺度の上で構造が増加方向へ更新されたことを表す。負なら減少方向、ゼロなら尺度の値が変化しなかったことを表す。先ほどの例では、時刻 \(t_0\) と \(t_1\) のどちらもエッジが二本であるため、次のようになる。
\[
\Delta K_{t_1}=2-2=0
\]
しかし、構造振幅は \(A_{t_1}=\sqrt{2}\) であり、実際に関係は更新されている。この例では、二本の関係を持つという規模は維持された一方、どの要素同士が結び付いているかは変化した。したがって、\(\Delta K_t=0\) という結果だけから、構造が変化しなかったと結論することはできない。構造振幅は更新の大きさを、\(\Delta K_t\) は選択した尺度の増減を、それぞれ表す。
さらに、時刻 \(t_2\) に元の関係構造へ戻った場合を考える。時刻 \(t_0\) と \(t_2\) の構造が同じなら、両時刻の構造間距離はゼロになる。しかし、その間には時刻 \(t_1\) への更新と、そこから元の構造へ戻る更新が発生している。始点と終点だけを比較すれば変化がゼロでも、途中の更新量を合計すれば、構造がどの程度組み替わったかを測定できる。
\[
L_{0:2}=A_{t_1}+A_{t_2}
\]
ここで \(L_{0:2}\) は、時刻 \(t_0\) から \(t_2\) までの隣接時点間の構造変化量を合計した値である。先ほどの例で元の構造へ戻れば、\(A_{t_2}=\sqrt{2}\) なので、\(L_{0:2}=2\sqrt{2}\) になる。始点と終点の距離がゼロでも、途中で構造が更新された事実は、この合計値へ現れる。構造の最終状態だけでなく、更新の履歴も測定対象になる。
このような比較では、埋め込み写像 \(\phi\) と距離の定義を時間を通じて固定する必要がある。例えば、ある時刻ではエッジの存在を \(0\) と \(1\) で記録し、別の時刻ではエッジの重みをそのまま記録すれば、二つの数値列の差は同じ意味を持たない。また、ノードの識別子や並び順が変われば、実際には同じ関係が存在していても、数値列の成分が入れ替わる可能性がある。ノード集合が増減する場合には、追加・消滅した要素をどのように対応付けるかも決める必要がある。
さらに、埋め込みによって情報を圧縮する場合には、異なるグラフが同じ数値表現へ写される可能性もある。例えば、エッジ数だけを一つの数値として記録すれば、異なる関係構造でもエッジ数が等しい限り同じ値になる。このような表現では、数値上の距離がゼロでも、元の関係構造が同一とは限らない。どの構造差を検出する必要があるかに応じて、埋め込みの情報量を選択することが必要になる。
構造振幅と更新方向を分けて測定すると、構造が大きく組み替わった場合と、関係の数が増減した場合を独立に評価できる。さらに、途中の更新履歴を記録すれば、同じ構造へ戻った場合にも、その間に生じた再編成を検出できる。構造の変化量、更新方向、更新履歴は、それぞれ異なる情報を持っており、どの情報を必要とするかは分析対象によって決まる。
6.3. 近接関係が同じでも集団は移動する
粒子集団について、構造振幅と実際の運動を比較すると、両者が異なる性質を表していることが具体的に分かる。例えば、三つの粒子が三角形を形成し、互いの距離をほぼ一定に保ちながら、集団全体として右方向へ移動する場合を考える。各粒子の絶対座標は時間とともに変化するが、粒子間距離はほとんど変化しない。一定距離以内の粒子同士をエッジで結ぶ近接グラフを用いれば、時刻が進んでもエッジ集合が変化しない場合がある。
このとき、グラフのノードとエッジの対応が固定され、重みも近接関係の有無だけを表すなら、構造振幅はゼロになる。
\[
A_t=0
\]
しかし、各粒子の位置は変化しており、集団の重心も移動している。粒子 \(i\) の位置を \(\mathbf{x}_i(t)\)、集団の粒子数を \(N\) とすると、重心は次のように表せる。
\[
\mathbf{X}(t)
=
\frac{1}{N}
\sum_{i=1}^{N}\mathbf{x}_i(t)
\]
すべての粒子が同じ変位 \(\mathbf{a}\) だけ移動した場合、次の時刻の重心は \(\mathbf{X}(t)+\mathbf{a}\) になる。粒子間の相対位置は変化しないため、近接関係は維持される一方、集団全体の位置は移動する。この場合、近接グラフから求めた構造振幅がゼロでも、重心速度はゼロではない。
反対に、集団の重心がほとんど移動していなくても、内部で粒子が近接する相手を入れ替える場合がある。例えば、四つの粒子が一定の領域内で移動し、集団全体の重心は原点付近に保たれているとする。時刻 \(t_0\) では \(A\) と \(B\)、\(C\) と \(D\) が近接していたが、時刻 \(t_1\) では \(A\) と \(C\)、\(B\) と \(D\) が近接している場合、近接グラフの関係は更新される。各粒子の移動が互いに打ち消し合えば、重心はほぼ同じ位置に保たれるが、内部の関係構造は大きく変化している。
さらに、近接関係が同じでも、粒子間に働く力が同じになるとは限らない。例えば、二粒子がともに作用半径の内側に存在する場合、距離が少し変化しても近接関係を表すエッジは維持される。しかし、作用が距離に依存するモデルなら、距離の変化によって力の大きさが変わる。また、力が距離ではなく方向に依存する場合、二粒子の位置関係が回転すると、同じエッジが存在していても力の向きが変化する。近接グラフのエッジが同じであることと、力学的な状態が同じであることは、異なる条件になる。
例えば、粒子 \(A\) と \(B\) の距離が作用半径 10 の内側にあり、時刻 \(t_0\) では \(A\) の右側に \(B\) が存在していたとする。その後、二粒子が相対的に回転して、時刻 \(t_1\) には \(A\) の上側に \(B\) が位置していたとする。両時刻とも \(A\) と \(B\) は近接しているため、近接グラフのエッジは維持される。一方、相手へ向かう単位ベクトルは右向きから上向きへ変化しているため、引力や斥力の向きも変化する。近接関係の有無だけを保存した構造では、この力の方向の違いを表現できない。
これを記録するには、近接グラフに加えて粒子の座標や速度を保持するか、エッジの重みとして相互作用に必要な情報を定義する方法がある。ただし、エッジへ何を記録するかによって構造の意味が変わる。例えば、近接関係の有無を記録したグラフでは、粒子間距離が変化してもエッジが存在する限り構造振幅はゼロになり得る。一方、粒子間距離を重みとして記録すれば、エッジの存在が変化していなくても、距離の変化が構造振幅へ反映される。どちらが適切かは、構造の何を測定したいかによって決まる。
このような例は、構造の定義によって、同じ物理的な時間発展から得られる変化量が異なることを示している。近接関係を構造として採用する場合、構造振幅は近接相手の入れ替わりを測る。一方、座標や距離を含める場合には、空間的な変形も測定へ反映される。集団全体の移動や回転を取り除いた相対配置を測れば、内部形状の変化へ着目できる。測定対象を固定することで、構造振幅が何を意味するかを具体的に説明できる。
粒子集団の運動と構造の更新を整理すると、次のようになる。
| 観測される状態 | 重心の運動 | 内部の関係構造 | 測定上の注意点 |
|---|---|---|---|
| 形態を保った平行移動 | 重心位置が時間とともに変化する。 | 近接関係が維持される場合がある。 | 近接グラフの構造振幅がゼロでも、集団全体は移動し得る。 |
| 形態を保った回転 | 重心位置はほぼ一定に保たれる場合がある。 | 粒子間距離や近接関係が維持される場合がある。 | 近接グラフだけでは、粒子の絶対位置と速度方向の周期的な変化を検出できない。 |
| 内部の粒子の再配置 | 重心位置がほとんど変化しない場合がある。 | 粒子間の近接相手が入れ替わる。 | 重心速度が小さくても、構造振幅が大きくなる場合がある。 |
| 距離だけが変化する配置 | 重心位置が維持される場合がある。 | エッジの有無は同じでも、距離や作用の大きさが変化する。 | 距離や相互作用の重みを記録するかによって、構造振幅の値が異なる。 |
| 構成粒子の交換 | 重心や輪郭がほぼ維持される場合がある。 | 粒子の追加・離脱に伴ってノード集合や関係が更新される。 | ノードの同一性と追加・消滅の扱いを定義する必要がある。 |
同じ集団について複数の観測量を記録すれば、構造が維持されているという記述を具体的に分解できる。重心速度は集団全体の移動を、相対位置は内部の形態を、近接グラフは要素間の関係を、それぞれ測定する。これらが一致した変化を示す場合もあれば、一部の量だけが変化する場合もある。構造振幅の意味は、測定対象として選んだ情報の範囲によって定まる。
6.4. 構造振幅が小さくても状態は収束したとは限らない
構造の更新量が時間とともに小さくなる場合、その構造が一つの状態へ落ち着いていくように見えることがある。例えば、粒子間の関係が毎回大きく組み替わっていた状態から、次第に少数の関係だけが更新される状態へ移行すれば、構造振幅は減少する可能性がある。しかし、隣接する時刻の差が小さくなることと、構造が特定の状態へ収束することは、数学的には異なる性質である。
この違いは、構造を一つの数値で表す単純な例から確認できる。時刻 \(t\) における状態を、次のように定義する。
\[
x_t=\log(t+1)
\]
\(\log\) は自然対数を表す。時刻 \(t\) が大きくなるほど、\(x_t\) はゆっくりと増加する。例えば、初期の時刻では比較的大きく値が変化するが、時間が経過するにつれて、隣り合う時点の差は小さくなる。その差は次のように書ける。
\[
\begin{aligned}
x_{t+1}-x_t
&=
\log(t+2)-\log(t+1)\\
&=
\log\!\left(\frac{t+2}{t+1}\right)
\end{aligned}
\]
時刻 \(t\) が大きくなると、分数 \((t+2)/(t+1)\) は \(1\) に近づくため、対数の値はゼロへ近づく。
\[
x_{t+1}-x_t\longrightarrow0
\]
しかし、元の数値列 \(x_t=\log(t+1)\) は、時間が進むにつれて増加を続ける。どれだけ大きな値を指定しても、十分に時間が経過すれば、その値を超えることができる。したがって、隣接時点の差がゼロへ近づいても、状態そのものが有限の値へ収束するとは限らない。この例は、局所的な変化の減衰と、時間発展全体の収束を区別するための数学的な反例になっている。
構造振動モデルでも、構造振幅 \(A_t\) がゼロへ近づくという条件と、構造 \(S_t\) がある構造 \(S_\ast\) へ近づくという条件は異なる。
\[
A_t\longrightarrow0
\]
この条件は、隣接する時刻の構造差が小さくなることを表す。一方、構造が特定の状態へ収束するという主張には、例えば次のような条件が必要になる。
\[
d(S_t,S_\ast)\longrightarrow0
\]
ここで \(S_\ast\) は、収束先として考える構造である。前者は隣接時点の差を測り、後者は各時点の状態が特定の構造へどの程度近づいているかを測る。この二つの距離は、比較する対象が異なる。構造振幅が減少していても、構造がゆっくりと一方向へ更新され続けていれば、固定した構造へ収束しない場合がある。
一方、構造振幅の合計が有限である場合には、より強い結論を得られることがある。例えば、構造を同じ有限次元の数値空間へ埋め込み、隣接時点間の距離を \(A_t\) として測定するとする。そのとき、次の級数が有限であれば、埋め込まれた状態列は収束する。
\[
\sum_{t=1}^{\infty}A_t<\infty
\]
これは、各時刻の変化量をすべて足し合わせても有限の大きさに収まるという条件である。例えば、最初の変化量が \(1\)、次が \(1/2\)、その次が \(1/4\) と減少していけば、変化量の合計は有限になる。この場合、後の時刻ほど状態間の累積差を小さくできるため、完備な数値空間では埋め込まれた状態列の収束が導かれる。ただし、得られた極限が元の構造集合の中で実現可能な構造に対応するかは、埋め込み先における構造集合の閉性などの条件にも関係する。
このように、隣接時点の変化が小さくなるという条件と、変化量の総和が有限になるという条件では、導かれる結論が異なる。構造振幅の減衰だけから収束を主張するよりも、距離の累積や状態空間の性質を合わせて検討することで、何が数学的に保証されるかを明確にできる。既稿では、構造振幅の減衰、状態の収束、有界性、安定性が別々の性質として整理されている[22]。
また、構造が有限個の離散状態だけを取り、異なる状態間の距離に正の下限が存在する場合には、連続的な状態空間とは異なる性質が得られる。例えば、ノード数とエッジ候補を固定し、各エッジの有無を \(0\) と \(1\) で記録する有限のグラフ集合を考える。異なるグラフ間の距離には正の最小値が存在するため、隣接時点間の距離がその値より小さくなれば、実際には同じグラフへとどまることになる。この場合、構造振幅がゼロへ収束するなら、十分後の時刻では構造が更新されなくなる。ただし、粒子の位置や速度を連続量として含む状態空間では、このような有限離散状態の結論をそのまま適用することはできない。
周期的な運動を行う系では、さらに別の区別が必要になる。例えば、構造が三つの状態 \(S_A\)、\(S_B\)、\(S_C\) を順番に取り、一定時間後に再び \(S_A\) へ戻る場合を考える。この系では、特定の一つの状態へ収束しているわけではないが、運動は規則的に繰り返される。周期が一定で、構造の変化が繰り返し生じるなら、構造振幅はゼロへ近づかず、一定の大きさの更新が継続する場合もある。
このとき、構造の時間発展は周期的であっても、その運動が外乱に対して安定であるかどうかは別の条件になる。例えば、初期状態をわずかに変更したとき、元の周期軌道へ近づく場合もあれば、別の運動へ移行する場合もある。周期運動の存在と、その周期運動に対する安定性を区別するには、外乱を与えた後の軌道を比較する必要がある。また、一定範囲内で不規則に変化し続ける系では、状態が有界であっても固定状態へ収束しない場合がある。
ここで、構造振動モデルの「振動」という語が、物理的な周期運動だけを意味していない点も重要になる。物理的な振動では、位置や速度、圧力などの物理量が時間的に変動し、その周期や振動数を測定できる。一方、構造振動モデルでは、要素間の関係構造が時間に沿って更新される過程を対象とし、その更新量や方向、安定性を調べる。更新が周期的である場合も、非周期的である場合もある。実際の物理的な振動と構造の更新量を対応付けるには、どの物理量を構造へ写し、どの時間間隔で測定するかを定義する必要がある。
構造振幅の減衰、状態の収束、周期性、有界性、安定性は、それぞれ異なる数学的な条件を持つ。構造が更新され続けること自体は、構造が不安定であることを意味しない。また、構造の更新が小さくなったことだけで、機能が維持されていると結論することもできない。構造の時間発展を正確に評価するには、観測された更新量と、確かめたい性質に対応する数学的な条件を分ける必要がある。
6.5. どの機能が維持されたかは別の測定が必要になる
構造が時間とともに更新されていることを測定できても、その更新が系にどのような機能的な意味を持つかは、構造振幅だけでは判断できない。例えば、化学反応を進める触媒の集団について、触媒同士の近接関係が組み替わったとする。この場合、近接グラフの構造振幅は大きくなる可能性がある。しかし、反応に参加する触媒の種類や濃度が保たれていれば、生成物が作られる速度は大きく変化しない場合もある。反対に、触媒の配置がほとんど変化していなくても、基質が不足すれば反応速度が低下する場合がある。
構造の更新と機能の維持を区別するため、時刻 \(t\) における機能の評価量を \(J_t\) とする。例えば、触媒反応を対象にする場合には、一定時間内に生成された生成物の量から反応速度を求められる。物質輸送を対象にする場合には、ある境界を通過する物質の流束を測定できる。生物の細胞を対象にする場合には、膜の維持に必要な構成分子の生成率や、損傷した構成要素の修復率などを測定できる。これらは異なる機能を表すため、共通の数値だけで比較できるとは限らない。
例えば、触媒反応による生成物の量を \(P(t)\) とし、その生成速度を機能の評価量として採用する場合、次のように定義できる。
\[
J_t
=
\frac{P(t+\Delta t)-P(t)}
{\Delta t}
\]
\(\Delta t\) は観測する時間間隔である。分子は、その間に増加した生成物の量を表す。分母の時間間隔で割ることで、単位時間当たりに生成された量を評価できる。この定義では、\(J_t\) は生成物の産出速度を表している。一方、構造振幅 \(A_t\) は、選択した構造表現の更新量を表している。両者は同じ系について測定される量であっても、異なる性質を評価している。
例えば、触媒の配置が大きく変化して \(A_t\) が増加しても、\(J_t\) がほぼ一定に保たれる場合がある。その場合、内部構造が更新されながらも、生成物の産出機能が維持されていることになる。ただし、同じ \(J_t\) が得られたという観測だけでは、構造の更新が産出機能の維持に必要だったかどうかまでは分からない。内部構造の更新がなくても同じ機能を維持できる可能性があるためである。構造更新の役割を特定するには、更新に関係する条件を変更し、機能がどのように変化するかを比較する必要がある。
反対に、構造振幅がほとんどゼロであっても、機能が低下する場合がある。例えば、触媒の位置や近接関係が維持されていても、触媒の活性が低下したり、基質の供給が不足したりすれば、生成物の産出速度は低下する可能性がある。この場合、近接グラフの構造が維持されているという観測は、反応機能の維持を保証するものではない。機能が成立する条件には、関係構造に加えて、構成要素の状態や環境からの供給が関係する。
生物の細胞についても、形態と機能の間に同じ区別が必要になる。例えば、細胞膜の輪郭が一定時間保たれていたとしても、その間に膜を通じた物質輸送が正常に働いていたか、損傷した分子が修復されていたか、代謝反応が継続していたかは、輪郭だけからは判断できない。一方、膜を構成する分子が入れ替わり、内部の反応経路が更新されていても、膜の物質選択性や必要物質の産出が維持されている場合がある。ここでは、構造が更新されながら機能が持続するという関係が具体的に成立する。
また、機能が一定の値を保つことと、その機能を維持する機構が自己再生産されていることも異なる。例えば、外部から基質が供給され続ける触媒反応系では、触媒が一定量の生成物を作り続ける場合がある。しかし、触媒自体が失われたときに、その触媒が系内部で補充されるかどうかは別の問題である。同じ反応速度が維持されていても、触媒の維持が外部からの供給に依存している場合と、内部の反応によって触媒が再生産されている場合では、維持機構が異なる。
したがって、構造の更新、機能の維持、維持機構の再生産を評価するには、それぞれの測定量を定義する必要がある。例えば、構造の変化量を \(A_t\)、機能の産出速度を \(J_t\)、維持に必要な構成要素の補充率を \(R_t\) とすれば、三つの量を時間に沿って独立に記録できる。この場合、\(A_t\) が大きくても \(J_t\) と \(R_t\) が維持される場合や、\(A_t\) が小さくても \(J_t\) が低下する場合などを区別できる。ただし、これらの量は異なる物理的な意味と単位を持つため、単純に加算して一つの安定性指標とすることには注意が必要になる。
さらに、観測された量の相関と、原因としての寄与を区別する必要がある。例えば、構造振幅 \(A_t\) が大きい時間帯に機能の評価量 \(J_t\) も大きいという関係が観測されたとする。この結果は、構造の更新と機能の変化が同じ時間帯に生じていることを示す。しかし、構造の更新が機能を増加させたとは限らない。外部からのエネルギー供給が増加したことによって、構造の更新と機能の産出が同時に増えた可能性もある。その原因を区別するには、構造の更新へ関係する条件と、エネルギー供給などの環境条件を分けて操作する必要がある。
構造振動モデルの測定量と、機能の評価量との関係を整理すると、次のようになる。
| 評価対象 | 代表的な測定量 | 直接確認できる性質 | 別途必要な検証 |
|---|---|---|---|
| 構造の更新量 | 構造振幅 \(A_t\) を測定する。 | 採用した構造表現の上で、隣接時点の関係がどの程度変化したかを確認できる。 | 更新が機能へ及ぼす因果効果は、独立した機能測定と介入を必要とする。 |
| 構造の更新方向 | 選択した尺度の変化 \(\Delta K_t\) を測定する。 | 尺度の増加と減少を区別できる。 | 尺度の増減が機能の改善や悪化を意味するかは、別の評価を必要とする。 |
| 構造の収束 | 基準構造との距離や、累積した構造変化量を測定する。 | 状態が特定の構造へ近づくかを評価できる。 | 収束が機能の維持や安定性を保証するかは、対象の力学と機能に依存する。 |
| 機能の維持 | 生成速度、輸送量、反応速度などの \(J_t\) を測定する。 | 定義した機能がどの程度継続しているかを確認できる。 | その機能を維持する原因の特定には、構造や環境への介入が必要になる。 |
| 構成要素の補充 | 生成率、修復率、補充率などの \(R_t\) を測定する。 | 構造の維持に必要な要素がどの程度補充されているかを評価できる。 | 補充を担う機構自体が再生産されるかは、反応経路や依存関係の分析を必要とする。 |
| 外乱への安定性 | 摂動後の状態差、回復時間、回復率を測定する。 | 定めた外乱に対する状態や機能の回復を確認できる。 | 別の外乱や環境条件でも同じ安定性が成立するかは、追加の比較を必要とする。 |
この表で区別した測定量は、それぞれ異なる問いに答えている。構造振幅は関係がどの程度組み替わったかを表し、更新方向は選択した尺度が増加したか減少したかを表す。機能の評価量は、その構造が何を実現しているかを表し、補充率は維持に必要な構成要素がどの程度更新されているかを表す。安定性の測定は、外乱を受けたときに状態や機能がどう応答するかを示す。これらを一つの数値へまとめる前に、それぞれの物理的な意味と測定条件を明示する必要がある。
例えば、ある集団が形態を保ちながら内部の粒子を交換し、一定の反応速度を維持している場合、近接グラフの構造振幅は大きくても、反応機能は持続している可能性がある。一方、外部からの基質供給が停止すると、内部の近接関係がほとんど変化しなくても、反応速度が低下する場合がある。この二つの条件を比較すれば、構造の更新量と機能の維持が必ずしも同じ方向に変化しないことを確認できる。さらに、構成要素の補充が停止した場合に機能がどの程度維持されるかを調べれば、外形や反応速度の持続と、維持機構の連続性を区別できる。
構造振動モデルは、関係構造の時間的な更新を表現し、その大きさや方向を測る枠組みを与える。そこから構造の収束や安定性を評価するには、状態空間と更新則に関する追加の条件が必要になる。また、構造の更新が特定の機能へ寄与したかを判断するには、機能を独立に測定し、条件を制御した比較によって因果関係を検証する必要がある。構造の記述と機能の説明を分離することで、形態の持続、内部の再編成、機能の維持をそれぞれ具体的な測定へ対応付けられる。
生命としての自己維持を考える場合、この区別はさらに具体的な意味を持つ。生命では、構成要素の交換が継続し、物質を変換する機能が保たれ、その機能を支える反応系や境界が更新される。構造振幅だけでは、こうした維持機構の再生産まで判断することはできない。構造の変化量、機能の産出、構成要素の補充、維持機構の連続性を分けて測定することで、構造が残っているという観測から、その構造がどのような仕組みで存続しているかという問題へ進められる。
7. 観測された集団構造の原因を介入によって特定する
7.1. 観測した差と介入によって生じた差
ある粒子集団について、相互作用の設定を変更した後に、集団の寿命が長くなったとする。変更前には平均して 100 単位の時間しか存続しなかった集団が、変更後には 200 単位の時間にわたって存続した場合、その設定変更が寿命の延長へ寄与した可能性がある。しかし、変更の前後で粒子数や初期配置、外部からの駆動、境界条件も変化していれば、寿命の差を相互作用の変更だけへ帰属させることは難しい。観測された二つの結果には、意図して変更した条件の効果と、それ以外の条件の差が含まれている可能性がある。
例えば、相互作用係数を変更した試行では粒子数が多く、変更しなかった試行では粒子数が少なかったとする。粒子数が増えれば、粒子同士が作用範囲内に入る組み合わせや、集団の内部で形成される関係も増える可能性がある。集団の寿命が長くなった原因は、相互作用係数の変更だけでなく、粒子数の違いにも求められるかもしれない。また、初期状態で粒子がすでに密集している場合と、広く分散している場合では、同じ相互作用を指定しても集団形成までの時間や、その後の状態が異なる場合がある。寿命の差を説明するには、相互作用と初期条件がそれぞれ結果へ及ぼす影響を分離する必要がある。
この問題を具体化するには、同じ初期条件と環境条件の下で、変更する相互作用だけが異なる二つの試行を比較する方法がある。例えば、粒子数、種類ごとの個体数、初期位置、初期速度、作用半径、減衰、境界条件を共通にし、一方の試行では相互作用係数を元の値に保ち、もう一方では指定した係数だけを変更する。両試行で集団の寿命を測定すれば、その条件において係数の変更が寿命へ及ぼした差を調べられる。
ただし、二つの試行で初期条件をそろえることは、介入後の粒子配置まで同じに保つことを意味しない。相互作用係数を変更すると、各粒子が受ける作用が変化し、それによって速度と位置が更新される。位置が変化すれば次の時刻に作用する相手も変わるため、時間が経過するにつれて二つの試行の状態は離れていく可能性がある。この違いは、相互作用の変更が状態へ及ぼした結果の一部である。介入後の粒子配置を人為的に一致させ続けると、相互作用の変更によって生じる自然な時間発展まで取り除いてしまうことになる。
構造振動モデルでは、このような状態、環境、観測、介入の関係を別々の変数として記録する。既稿「構造振動モデルの定義を測定と検証まで含めて整理する」では、環境 \(C_t\)、構造 \(S_t\)、観測結果 \(O_t\)、介入 \(U_t\) を区別し、観測写像と更新写像を次のように定義している[22]。
\[
O_t=G(S_t,C_t)
\]
\[
S_{t+1}=M(S_t,C_t,O_t,U_t)
\]
ここで \(G\) は、構造と環境から観測結果を得る写像である。\(M\) は、現在の構造、環境、観測結果、介入の条件から次の構造を定める更新写像である。\(U_t\) は、観測者や運用主体が行う操作を表す。これらを区別すると、構造が自然に更新されたことと、外部からの操作によって更新条件が変更されたことを分けて記述できる。
粒子集団へ適用する場合、例えば \(S_t\) を粒子間の近接関係や相互作用関係、\(C_t\) を外部駆動や境界条件、\(O_t\) を集団の重心速度や寿命などの観測結果として定義できる。相互作用係数を変更する操作は \(U_t\) に対応する。ただし、粒子の位置と速度だけではなく、研究者による設定変更を含む更新過程を表すためには、状態変数や規則の対応を明確にする必要がある。
また、更新写像の引数に観測結果 \(O_t\) が含まれていることは、すべての系が観測結果を解釈して動作することを意味しない。例えば、観測された温度に応じて外部制御装置が駆動を調節する系では、観測結果が更新過程へ直接関与する場合がある。一方、外部制御を持たない粒子モデルでは、各粒子は与えられた力学規則に従って運動する。この場合、観測結果を更新に使用しない写像として記述できる。研究者が粒子の運動を観測することと、粒子自身が観測結果に基づいて操作を選ぶことは、異なる過程である。
ここで、観測された差と介入によって生じた差を区別できる。例えば、ある条件の集団は長寿命で、別の条件の集団は短寿命であるという観測は、二つの条件と寿命の間に差が存在することを示す。一方、初期状態や環境条件をそろえ、相互作用係数だけを変更したときに寿命がどの程度変化するかを調べれば、その介入が結果へ及ぼす因果的な効果を評価できる。
同じ初期条件に対して、介入を行った場合の観測量を \(O_t^{(1)}\)、介入を行わなかった場合の観測量を \(O_t^{(0)}\) とすると、比較する差を次のように表せる。
\[
\Delta O_t
=
O_t^{(1)}-O_t^{(0)}
\]
\(\Delta O_t\) は、二つの条件で観測された量の差である。ただし、この差を介入の因果効果として解釈するには、介入以外の条件が適切に管理されていることが必要になる。また、実在する一つの系について、同じ時刻に介入した状態と介入しなかった状態を同時に観測することはできない。数値モデルでは同じ初期状態から二つの条件を別々に計算できるが、物理実験では対照群や反復実験によって比較することになる。
乱数を含むモデルでは、同じ初期条件と介入条件を指定しても、確率的な変動によって結果が異なる場合がある。例えば、同じ粒子数と密度から開始しても、熱的なゆらぎによって集団が形成される時刻や寿命にばらつきが生じることがある。この場合には、介入条件と対照条件について複数の試行を行い、形成頻度、寿命分布、重心速度などを比較する。平均値の差だけでなく、試行間のばらつきや推定の不確実性を調べることで、観測された差がどの程度再現されるかを評価できる。
構造の原因を特定するためには、まず何を介入によって変更したかを明確にし、その変更が時間発展のどの部分へ作用するかを記述する必要がある。さらに、どの観測量を結果として使用し、どの条件を比較対象として維持したかを明示することで、構造の存在と成立機構の説明を結び付けられる。
7.2. 非相反性の寄与を切り分ける対照条件
非相反な相互作用が集団移動へ寄与するかを調べる場合、どの成分を非相反性として定義するかが重要になる。例えば、二種類の粒子 \(A\) と \(B\) が存在し、\(A\) が \(B\) から受ける作用の係数を \(g_{AB}\)、\(B\) が \(A\) から受ける作用の係数を \(g_{BA}\) とする。この二つの係数が異なれば、種類間の相互作用規則は対称ではない。ただし、係数の差が集団全体の移動へどのように現れるかは、粒子間の距離、配置、作用半径、速度更新の条件にも依存する。
係数の対称な成分と反対称な成分を分けるため、次のように定義できる。
\[
g_{\mathrm{s}}
=
\frac{g_{AB}+g_{BA}}{2}
\]
\[
g_{\mathrm{a}}
=
\frac{g_{AB}-g_{BA}}{2}
\]
\(g_{\mathrm{s}}\) は、二方向の係数の平均に相当する対称成分である。\(g_{\mathrm{a}}\) は、二方向の係数差の半分に相当する反対称成分である。この定義によって、元の係数を次のように書き直せる。
\[
g_{AB}=g_{\mathrm{s}}+g_{\mathrm{a}}
\]
\[
g_{BA}=g_{\mathrm{s}}-g_{\mathrm{a}}
\]
例えば \(g_{AB}=-0.3\)、\(g_{BA}=0.1\) なら、\(g_{\mathrm{s}}=-0.1\)、\(g_{\mathrm{a}}=-0.2\) になる。この場合、二方向の平均的な係数は -0.1 であり、そこから一方向へ -0.2、逆方向へ +0.2 の差があることを意味する。
反対称成分 \(g_{\mathrm{a}}\) の寄与を調べる場合には、対称成分 \(g_{\mathrm{s}}\) を保持したまま、\(g_{\mathrm{a}}=0\) とした対照条件を作れる。この操作によって、二方向の係数はともに \(g_{\mathrm{s}}\) となる。例えば元の係数が -0.3 と 0.1 なら、対照条件では両方を -0.1 に設定する。こうすれば、係数の平均を維持したまま、種類間の係数差を除去できる。
この比較には、単に二方向の係数を同じ値へ置き換える場合とは異なる意味がある。例えば、元の \(g_{AB}=-0.3\) に合わせて \(g_{BA}\) も -0.3 に変更すると、非対称性が除去されると同時に、二方向の平均的な相互作用も変化する。集団の凝集や移動が変化したとしても、その原因が非対称成分の除去にあるのか、平均的な引力の変化にあるのかを区別しにくい。\(g_{\mathrm{s}}\) を保持して \(g_{\mathrm{a}}\) だけを変更すれば、少なくとも係数行列の分解において、変更した成分を明確にできる。
例えば、非相反な条件と対称化した条件で、集団の重心速度を測定することが考えられる。非相反な条件では集団が一定方向へ移動し、対称化すると移動速度が小さくなる場合、反対称成分が集団運動へ寄与した可能性がある。一方、対称化しても同じような移動が続く場合には、自己推進、外部駆動、境界条件など、別の機構が移動を支えている可能性が残る。係数の非対称性を変更した結果を、集団の形成、重心移動、内部の再編成、寿命のそれぞれについて独立に測定すれば、非相反性がどの性質へ寄与しているかを区別できる。
ただし、種類間の係数を対称化しただけでは、実際に働く作用の非相反性がすべて除去されたとは限らない。例えば、\(A\) が \(B\) から作用を受ける半径を \(R_A\)、\(B\) が \(A\) から作用を受ける半径を \(R_B\) とし、\(R_A>R_B\) であるとする。二粒子間の距離が \(R_B\) より大きく \(R_A\) より小さい場合、\(A\) は \(B\) を作用範囲内の相手として扱うが、\(B\) にとって \(A\) は作用範囲の外にいる。このとき \(g_{AB}=g_{BA}\) であっても、実際に働く作用は一方向に偏る。
したがって、係数行列の非対称性を検証する操作と、実際の相互作用の非相反性を取り除く操作は、必ずしも一致しない。相互作用の作用範囲、距離依存性、粒子の向きへの依存性が異なる場合には、それらの条件も含めて対照系を定義する必要がある。ただし、すべての条件を同時に変更すると、何が集団運動の差を生んだかを識別しにくくなる。そのため、係数の非対称成分を変更する比較と、作用範囲の非対称性を変更する比較を分けて設計する方法が考えられる。
さらに、相互作用係数の対称性と、巨視的な密度場の相反性も区別する必要がある。相互作用係数を対称化した場合でも、自走する粒子と受動粒子の運動性が異なれば、巨視的な有効結合には非相反性が現れる可能性がある。直接の粒子間相互作用を変更した結果と、粗視化した方程式の係数がどう変化したかを比較することで、微視的な対称性と巨視的な非相反性の関係を検証できる。
例えば、相互作用行列を対称化したにもかかわらず、巨視的には移動する密度波が残ったとする。その結果だけで、非相反性が運動へ寄与していないと結論することはできない。粒子の運動性や密度依存の応答を粗視化した結果として、別の非相反な有効結合が現れている可能性があるからである。粒子レベルで除去した成分と、巨視的な時間発展へ残る成分を分けて調べる必要がある。
また、集団移動の成立条件を検証する場合には、相互作用の非相反性を変更した後、集団そのものが形成されるかどうかも確認する必要がある。例えば、非相反性を除去すると集団が形成されなくなった場合、集団の重心速度を比較しても、移動の差と集団形成の差が混在する。対称化によって凝集が失われたのか、凝集は維持されたまま移動だけが失われたのかを区別できれば、非相反性が形成と移動のどちらへ寄与していたかを明確にできる。
このような比較では、少なくとも形成率、集団サイズ、重心速度、内部の相対運動、寿命を別々に記録する方法が考えられる。例えば、非相反性を除去しても集団サイズがほぼ一定で、重心速度だけが低下した場合、集団形成を維持する機構と、集団を移動させる機構を分離できる可能性がある。一方、集団サイズと重心速度が同時に変化した場合には、相互作用の変更が形成と運動の両方へ影響した可能性を考慮する必要がある。
非相反性の因果的な寄与を特定するには、相互作用のどの成分を変更し、どの成分を保持したかを明確にし、その操作によって形成・移動・持続の各測定量がどのように変化したかを比較する必要がある。非相反性を持つ集団が移動しているという観測から、その非相反性が移動に必要だったと判断するよりも、対照条件での時間発展を比較することで、成立機構を具体的に評価できる。
7.3. 駆動の停止と構造への外乱
集団構造の維持へ寄与する機構を調べる場合、相互作用係数の変更とは別に、外部駆動を変更する介入が考えられる。例えば、交流電場によって運動する能動粒子と受動粒子の集合体では、電場が粒子の運動と相互作用に関与する。このような系で電場を停止すれば、外部から供給される駆動が集団の運動へどの程度必要だったかを調べられる。ただし、電場が粒子の自走だけでなく、粒子間の結合や媒質との相互作用にも影響する場合には、電場停止によって複数の条件が同時に変化する点を考慮する必要がある。
例えば、電場が印加されている間、集団が一定の形態を保ちながら移動していたとする。電場を停止した後、集団の重心速度が減少すれば、外部駆動が運動の維持に寄与していたことを示す証拠になる。一方、電場停止後も集団の輪郭がしばらく残る場合には、集団の形態を保つ作用が、移動を生む作用とは異なる時間尺度で働いている可能性がある。形態の持続と運動の持続を別々に測定すれば、駆動を停止した後に何が失われ、何が残ったかを具体的に説明できる。
この比較では、電場停止後の重心速度だけでなく、粒子間距離、集団サイズ、内部の速度場、構造振幅も記録できる。例えば、電場停止直後には重心速度が急速に減少する一方、近接グラフがしばらく維持される場合がある。その場合、運動を生む駆動が失われても、集団の近接関係は一定時間残っていることになる。さらに時間が経過して集団が分散するなら、形態の崩壊が運動の停止より遅れて生じたことを確認できる。二つの変化が異なる時間尺度を持つことは、運動の維持と形態の維持に異なる過程が関与する可能性を示す。
ただし、電場停止後に集団が崩壊したという結果だけから、崩壊の原因を一つの機構へ特定することは難しい。例えば、電場が粒子の自走と粒子間の引力の両方を生み出していた場合、電場停止によって運動と凝集力が同時に失われる。その結果、集団が崩壊したとしても、自走の停止によるものか、粒子間結合の消失によるものかは区別しにくい。この場合には、運動性と粒子間作用を別々に調整できる条件や、電場に対する応答が異なる粒子を用いた比較が必要になる。
外部駆動の変更とは別に、集団の構成要素そのものへ外乱を加える方法もある。例えば、形成された集団から粒子の一部を取り除く場合を考える。粒子が除去されると、集団内の密度が低下し、粒子間の近接関係や相互作用が変化する。その結果、集団の輪郭が変形したり、内部の運動方向が乱れたりする可能性がある。外乱後に時間が経過して元の形態へ近づくなら、集団に形態の回復能力があることを示せる。
しかし、形態が回復したという観測だけでは、除去された構成要素がどのように補充されたかまでは分からない。例えば、残った粒子が再配置されることで、粒子数が減ったまま元に似た輪郭が形成される場合がある。一方、外部から別の粒子が流入し、元と同程度の粒子数が回復する場合もある。さらに、系内部の化学反応によって新しい構成要素が生成される場合には、内部的な補充機構が関与する。いずれも形態の回復として観測され得るが、構成要素の維持に関する因果関係は異なる。
この違いを測定するには、外乱前後の形態だけでなく、粒子数、粒子の識別情報、外部からの流入、内部での生成量などを記録する必要がある。例えば、粒子を 10 個除去した後に輪郭が回復したとしても、粒子数が 10 個少ないままであれば、形態の回復は残存粒子の再配置によって成立した可能性がある。一方、粒子数も元に戻った場合には、その増加が外部からの取り込みによるものか、系内部での生成によるものかを調べる必要がある。形態の回復と構成要素の補充を区別することで、構造の維持に関係する機構を具体化できる。
また、外乱の大きさによって集団の応答が変化する場合もある。例えば、集団から一つの粒子を除去した場合には元の形態へ戻るが、粒子の半数を除去した場合には崩壊することが考えられる。この場合、構造の回復能力は外乱の大きさに依存する。回復が成立したという結果を評価するには、何をどの程度変更し、どの観測量がどの範囲まで戻ったかを明示する必要がある。
構造の一部を変更する介入と、外部の駆動を変更する介入では、対象となる原因が異なる。前者は、構成要素や内部の関係が失われたときに、集団がどのように再編成されるかを調べる。後者は、運動や結合を支える外部条件が変更されたときに、集団がどのように応答するかを調べる。両方の介入を比較すれば、構造そのものの頑健性と、環境への依存を区別して分析できる。
介入の種類と、主に確認できる性質を整理すると、次のようになる。
| 介入対象 | 変更する条件 | 主な観測量 | 検証できる因果関係 |
|---|---|---|---|
| 相互作用の非対称成分 | 対称成分を保持し、種類間の係数差を変更する。 | 形成率、集団サイズ、重心速度、寿命を測定する。 | 係数の非対称性が形成や移動へ及ぼす寄与を調べられる。 |
| 作用半径 | 作用が成立する距離の範囲を変更する。 | 相互作用関係の数、密度分布、集団の運動を測定する。 | 局所的な作用の到達範囲が構造形成へ及ぼす影響を調べられる。 |
| 外部駆動 | 電場などの駆動の強さや印加条件を変更する。 | 重心速度、内部速度、集団サイズ、崩壊時間を測定する。 | 外部からの駆動が運動と形態の維持へ及ぼす寄与を調べられる。 |
| 集団の構成要素 | 粒子の一部を除去するか、位置を変更する。 | 構成粒子数、形態差、構造振幅、回復時間を測定する。 | 構成要素の欠損や再配置に対する回復能力を調べられる。 |
| 物質の供給 | 基質や維持に必要な物質の供給条件を変更する。 | 反応速度、生成物量、構成要素の補充率を測定する。 | 物質供給が機能や構成要素の維持へ及ぼす影響を調べられる。 |
表の各操作は、異なる成立条件へ作用する。例えば、非相反性を変更する比較は、相互作用の非対称成分が集団移動へ及ぼす影響を調べる。一方、外部駆動の停止は、エネルギー供給への依存を調べる。構成要素の除去は、欠損に対する回復能力を調べる。複数の操作を組み合わせる場合にも、何を変更し、何を保持したかを明示することで、それぞれの機構が担う役割を分けて評価できる。
さらに、時間的な変化を伴う介入では、操作を行う時刻も結果へ影響する。例えば、集団が形成される前に駆動を停止した場合と、集団が十分に形成された後に駆動を停止した場合では、観測している問題が異なる。前者は集団形成に駆動が必要かを調べ、後者は形成済みの構造が駆動停止後も存続するかを調べる。同じ操作であっても、介入時点によって検証される因果関係が異なるため、操作の時刻と構造の状態を対応付けて記録する必要がある。
また、介入を行わない対照条件でも、時間経過によって集団が変化する場合がある。そのため、介入後に構造が崩壊したという観測だけでなく、同じ時間範囲で介入しなかった集団がどう推移したかを比較することが有効になる。対照条件でも同程度の頻度で崩壊していれば、介入が崩壊を増加させたという説明は補強されにくい。一方、介入条件で崩壊頻度が増え、対照条件では集団が比較的長く存続するなら、介入が構造の持続へ影響した可能性をより具体的に評価できる。
このように、集団構造の原因を調べる介入は、相互作用、駆動、構成要素、物質供給という異なる対象へ設定できる。それぞれの操作を適切な観測量と対応付けることで、形成された集団がどの条件へ依存し、どの条件の変更によって何を失うのかを分析できる。
7.4. 機構の仮説を棄却できる条件
ある集団の移動が非相反な相互作用によって成立していると考える場合、その説明を検証可能な仮説へ具体化する必要がある。例えば、「指定した粒子モデルとパラメーター範囲では、非相反な結合が持続的な集団移動の成立に必要である」という仮説を立てられる。この仮説では、対象のモデル、変更する結合、測定する運動、適用する条件の範囲が明確になっている。必要条件として主張する以上、その条件を除去した場合の結果を調べることが重要になる。
例えば、相互作用の反対称成分をゼロにし、ほかの条件を保持した対照系でも、同程度の集団移動が繰り返し成立したとする。この場合、少なくともその比較条件の範囲では、反対称成分が集団移動に必要であるという主張は支持されない。ただし、係数の非対称成分を除去しても、作用半径の非対称性や自走に伴う巨視的な有効結合が残っている場合には、非相反性一般を取り除いた試験にはなっていない。そのため、棄却できるのは実際に操作した条件に対応する仮説である。
一方、反対称成分を除去すると集団移動が失われ、元の値へ戻すと再び移動が成立する場合、その成分が集団移動へ寄与しているという説明は補強される。さらに、複数の初期条件、粒子密度、観測時間について同じ関係が確認されれば、特定の一つの初期配置に依存した結果である可能性を減らせる。ただし、非相反性を除去する操作によって集団形成そのものが失われている場合には、形成機構への影響と、形成済み集団の移動機構への影響を区別する必要がある。
必要条件と十分条件も分けて扱う必要がある。例えば、非相反な結合を除去すると移動が失われた場合、その条件が指定したモデルで必要だった可能性を示す。一方、非相反な結合を導入したときに移動が成立した場合、その結合が移動を可能にする条件の一つであることを示す。ただし、別の密度や減衰条件では同じ結合を導入しても移動が成立しない場合がある。非相反性を持つことと、持続的な集団移動が成立することの間に、すべての条件で一方向の関係があると結論するには、より広い条件での検証が必要になる。
また、「集団の運動は外部駆動によって維持される」という仮説なら、駆動停止後の運動の減衰を測定できる。駆動を停止しても運動が継続する場合には、慣性による一時的な運動や、停止後にも残る化学的な駆動など、別の要因が関係している可能性がある。そのため、停止後の短い時間だけでなく、十分な観測時間を確保する必要がある。逆に、駆動停止によって運動が失われた場合には、停止が他の相互作用条件も変更していないかを確認することで、何が運動を支えていたかをより具体的に特定できる。
「構造が外乱に対して安定である」という仮説については、安定性の対象を定義する必要がある。例えば、集団の輪郭が外乱後に回復することを安定性とする場合には、外乱前後の形態差を測定できる。一方、内部の近接関係が回復することを安定性とするなら、関係グラフの差を測定する必要がある。機能が維持されることを安定性の対象にする場合には、物質輸送や反応速度などの機能の評価量が必要になる。形態が回復したという観測によって、すべての意味で構造が安定であることまで確認したことにはならない。
さらに、「構造が自己維持している」という仮説では、形態が持続することに加えて、維持に必要な構成要素や機構がどのように補充されているかを確かめる必要がある。例えば、集団から構成要素を除去した後、外部から新しい粒子が供給されて形態が回復した場合、その結果は外部供給による構造の回復を示す。一方、系内部の反応によって必要な構成要素が生成され、それらが維持機構の継続へ結び付く場合には、内部的な再生産の存在を検討できる。両者は同じような形態の回復を示していても、維持機構の成立条件が異なる。
自己維持の仮説を検証するには、例えば、構成要素の補充率、反応速度、境界の維持、必要な物質の供給と消費、維持機構の再生産を記録する方法が考えられる。これらの過程が互いにどのように依存しているかを調べれば、構造が外部の供給だけによって維持されているのか、内部の反応によって維持に必要な条件が再生産されているのかを区別できる。ただし、内部の化学反応が存在することだけで、すべての維持機構が内部で再生産されていると結論することはできない。反応がどの構成要素を生み、その構成要素がどの機構の維持へ寄与するかまで確認する必要がある。
一方、粒子の位置と速度だけを更新するモデルにおいて、物質の生成や維持機構の再生産が定義されていない場合、自己維持について直接検証できる範囲は限定される。そのモデルで形態が長時間持続し、外乱後に回復することは確認できるかもしれない。しかし、その結果は、モデルに含まれていない構成要素の生産や代謝機構が成立したことを示すものではない。観測された形態と、モデルが実際に持つ機能を対応付けることで、確認された結果の範囲を明確にできる。
仮説の検証では、期待した結果が得られなかった場合の解釈にも注意が必要になる。例えば、ある介入によって集団が崩壊しなかった場合、介入した機構が集団の維持へ一切寄与していないとは限らない。別の機構が同じ役割を補った可能性や、介入の大きさが結果へ影響するほど十分でなかった可能性もある。また、観測時間が短ければ、介入の影響が現れる前に実験が終了する場合もある。介入の成否を判断するには、仮説が予測する変化の大きさや時間尺度と、実際の測定条件を対応させる必要がある。
反対に、仮説と一致する結果が得られた場合でも、同じ結果を説明する別の機構が残ることがある。例えば、非相反性の除去によって集団移動が失われたとしても、その操作が同時に粒子の凝集や内部の運動性へ影響していれば、移動の消失には複数の経路が関係している可能性がある。異なる機構を区別するには、操作する条件を分け、各条件の変更がどの観測量へ影響するかを比較することが必要になる。
構造形成の原因を検証するときには、仮説、介入、観測、棄却条件を対応させることが重要になる。例えば、非相反性が移動へ必要かという仮説では、非相反な成分の変更と集団の重心速度を対応させる。外部駆動が運動へ必要かという仮説では、駆動の停止と運動の減衰を対応させる。形態の回復能力を調べる仮説では、構成要素の除去と回復時間を対応させる。自己維持を調べる仮説では、構成要素や維持機構の再生産を観測できる条件を定義する。
このように、構造が形成されたこと、長時間存続したこと、外乱から回復したこと、維持機構を再生産したことは、それぞれ異なる仮説として検証できる。単一の測定量だけで複雑な集団の性質を代表させるよりも、各仮説に対応する観測量と介入条件を明確にすることで、どの因果関係が実際に確認されたかを判断できる。
構造振動モデルでは、構造の状態、観測結果、環境、介入を別々の変数として扱うことによって、構造の更新とその原因を分けて記述できる。例えば、構造振幅が減少したという結果は、選択した構造表現の上で更新量が小さくなったことを示す。その減少が特定の介入によって生じたか、減少後の状態が安定であるか、機能が維持されたかについては、対応する観測と比較が必要になる。構造の変化量を測定することと、その変化を引き起こした機構を特定することは、異なる段階の分析である。
非相反相互作用、外部駆動、構成要素の補充、維持機構の再生産は、いずれも集団構造の形成や持続へ関係し得る。しかし、その役割は同じではない。相互作用は粒子間の運動を決め、外部駆動は運動を支えるエネルギーを供給し、構成要素の補充は構造を構成する物質の継続性に関係する。さらに、維持機構の再生産は、構造を支える過程がどのように継続されるかという問題になる。各機構を別々に変更して結果を比較することで、形成された構造のどの性質が、どの条件によって成立しているかを具体的に説明できる。
8. 生命の自己維持では、維持機構そのものが再生産される
8.1. 形態の持続から自己維持へ
水面に生じる渦は、流体が絶えず移動していても、一定の形態を保つ場合がある。渦の内部を構成していた水の一部が別の場所へ移動し、新しい水が流入しても、流速や圧力の分布が特定の条件を満たしていれば、同じような流れの構造が維持される。微粒子の集団でも、構成粒子が移動や再配置を続けながら、全体としてまとまった形態を保つ場合がある。これらの構造では、構成要素の位置が更新されることと、巨視的な形態が持続することが両立している。
生物の細胞にも、構成要素が更新されながら全体の構造が維持されるという性質がある。例えば、細胞膜を構成する脂質やタンパク質は、合成、分解、輸送、交換によって更新される。細胞内部でも、酵素や構造タンパク質などの分子が合成され、一定の役割を果たした後に分解される場合がある。細胞の輪郭が一定時間保たれていても、内部の分子が同じまま残っているわけではない。細胞の構造と機能は、分子の交換や再配置を含む継続的な過程によって維持される。
既稿「生きているとはどういうことか」では、生命を一定の材料が保存され続ける状態として捉えるよりも、構成要素を更新しながら自己を維持する過程として捉える立場を示した[23]。この立場では、個々の分子がどれだけ長く残るかよりも、その分子が担っていた役割がどのように維持されるかが問題になる。例えば、ある酵素が分解されたとしても、同じ反応を担う酵素が新たに合成されれば、反応を進める機能は継続できる。分子としての同一性が失われても、機能を担う構成が更新されることで、組織全体の連続性が保たれる。
ただし、構成要素が入れ替わりながら形態が保たれるという性質だけでは、生物の自己維持を十分に説明したことにはならない。例えば、外部から一定の流れで微粒子が供給され、古い粒子が流出する装置を考える。この装置では、集団の外形と粒子数を一定に保ちながら、構成粒子を交換し続けることができる。しかし、粒子の供給や流出を制御している仕組みが装置の外部に存在するなら、集団自身が維持機構を再生産しているとは限らない。構成要素の交換が継続することと、その交換を支える仕組みが内部で維持されることは、異なる条件である。
生物の細胞では、外部から取り込んだ物質を内部の反応によって変換し、その生成物を構造や機能の維持に利用する。例えば、細胞膜の維持には脂質や膜タンパク質が必要になる。これらの構成分子を合成するには、酵素やエネルギー、原料となる物質が必要である。また、それらの酵素が正常に働くためには、細胞内部の化学的な条件や、必要物質を取り込む境界の機能が関係する。膜の維持、物質の取り込み、代謝、分子の合成は、互いに独立した操作として並んでいるだけでなく、一方の機能が別の機能の成立条件を支える関係にある。
既稿「生命はどのように維持されるのか」では、生命の維持を、DNA に保存された情報、タンパク質の合成、代謝、分子機械、修復、複製などの具体的な仕組みへ分解している[24]。例えば、DNA に必要なタンパク質の情報が保存されていても、その情報を読み取り、対応するタンパク質を合成する仕組みが働かなければ、分子の補充は進まない。一方、タンパク質の合成を担う分子機械も、細胞内部の反応によって構成要素が維持されなければ、継続して機能することは難しい。情報の保存、情報の読み取り、物質の変換、構成要素の補充は、互いに成立条件を与え合っている。
この関係は、ある機能が停止したときに何が起こるかを考えると具体的になる。例えば、膜を構成する分子の合成が停止しても、すでに存在する膜は一定時間残る場合がある。しかし、膜の構成分子が分解や損傷によって失われ続ければ、補充が追い付かなくなる。境界の機能が低下すると、必要物質の取り込みや内部の濃度条件が影響を受け、それによって分子の合成や代謝にも支障が生じる可能性がある。一つの維持機構の停止が別の維持機構へ影響するのは、複数の過程が相互に依存しているためである。
一方、膜の一部が損傷しても、内部の反応によって必要な構成分子が供給され、膜の機能が回復する場合がある。このとき、形態が元へ戻ったという観測に加えて、損傷した部分の修復に必要な物質がどのように作られ、どのように使用されたかを調べられる。形態の回復は結果として観測され、その回復を生み出した反応や輸送の過程が、維持機構についての説明になる。
生命の自己維持では、構成要素の交換だけでなく、その交換を可能にする内部の機構が継続していることが問われる。細胞が外部から物質やエネルギーを取り込む点では、ほかの開放系と共通する。しかし、取り込んだ資源を利用して、境界、酵素、分子機械などの維持に必要な構成要素を補充する点に、より具体的な組織的な関係がある。構造の持続から自己維持へ進むには、形態が残っている時間だけでなく、維持を担う機構の産出と修復がどのように成立しているかを調べる必要がある。
8.2. 非平衡な散逸と自己維持する組織の違い
流体の渦、燃焼による炎、化学反応によって生じる模様などは、外部との物質やエネルギーの交換によって維持される場合がある。例えば、一定の燃料と酸素が供給される炎では、燃焼反応が継続し、熱の発生と周囲への輸送が起こる。反応が生み出す温度分布や流体の対流が一定の条件で維持されれば、炎は特定の形態を保つ。炎を構成する分子は反応によって絶えず変化しているが、反応と輸送の条件が継続することで、巨視的な構造が持続する。
このような系では、外部からの資源供給と、内部で生じる不可逆な過程が結び付いている。例えば、燃料が消費されて生成物が生じ、その過程で熱が発生する。熱は周囲へ輸送され、流体の密度や運動にも影響する。燃料の供給、反応、熱輸送、流体運動が結び付くことで、一定の形態が維持される条件が成立する。したがって、形態が一定に保たれていることは、内部の物理過程が停止していることを意味しない。
既稿「構造・時間・生命・意味・知能・自己・AI を生成連鎖として説明する」では、構造、時間、散逸、生命、意味、知能、自己を、それぞれ異なる成立条件として接続している[25]。また「知能はどこから来てどこへ行くのか」では、生命を自己維持型散逸構造として位置付け、予測や制御の機能との関係を考察している[26]。この立場を物理的な現象と対応付けるには、外部からの駆動によって秩序が維持されることと、その秩序を支える機構が系内部で再生産されることを区別する必要がある。
例えば、燃料が外部の装置から供給される炎では、その燃料供給が継続する間、燃焼と対流の構造が保たれる。しかし、炎が燃料供給装置を修復し、装置を構成する部品を合成し、燃料の取り込みを制御する仕組みまで維持しているとは限らない。炎の持続を説明するには、燃料の供給、燃焼反応、熱輸送などを明らかにすればよい。一方、生物の自己維持を説明する場合には、物質を取り込む境界や、物質を変換する反応系そのものが、どのように維持されるかという問題が加わる。
生物も外部の資源に依存する開放系であり、外部から独立して物質やエネルギーを生み出すわけではない。例えば、細胞がタンパク質を合成するには、原料となるアミノ酸や、合成反応を進めるためのエネルギーが必要になる。これらの資源が不足すれば、必要な分子を十分に合成できなくなる場合がある。自己維持の特徴は、外部への依存が消滅することではなく、外部から得た資源を利用する仕組みが内部に組織化され、その仕組みの維持にも生成物が利用されることである。
この関係を、物質の流れと維持機構の関係として整理できる。
\[
\text{資源の取り込み}
\longrightarrow
\text{物質とエネルギーの変換}
\longrightarrow
\text{構成要素の産出・修復}
\longrightarrow
\text{維持機構の継続}
\]
この連鎖では、外部から取り込んだ資源が内部の反応を通じて変換され、その生成物が境界や反応系の維持に使われる。例えば、取り込まれた原料から膜を構成する分子が合成され、その分子が膜へ組み込まれることで、物質の取り込みに必要な境界機能が維持される。また、代謝反応で得られた資源が酵素の補充に使われ、その酵素が代謝反応を継続するために働く。維持機構が生成物を作り、その生成物が維持機構の継続を支えるという関係が成立する。
ただし、この連鎖を一方向の工程として書いただけでは、内部の自己維持機構を十分に表したことにはならない。例えば、外部の工場が必要な分子を製造し、細胞に似た容器へ供給し続ける場合にも、容器の構成要素は補充される。この場合、構成要素の生成を担う機構は外部にある。内部での自己維持を調べるには、構成要素を産出する反応や、その反応を進める酵素、必要物質を取り込む境界が、どのように相互に維持されているかを特定する必要がある。
また、必要な物質を補充する過程では、生成と消失の量的な関係が重要になる。例えば、ある構成分子の細胞内の量を \(N(t)\)、その分子の内部での生成速度を \(P(t)\)、分解や消失の速度を \(D(t)\)、外部からの流入速度を \(J_{\mathrm{in}}(t)\)、外部への流出速度を \(J_{\mathrm{out}}(t)\) とする。このとき、構成分子の量の時間変化は、次のような収支で表せる。
\[
\frac{dN}{dt}
=
J_{\mathrm{in}}(t)
–
J_{\mathrm{out}}(t)
+
P(t)
–
D(t)
\]
左辺は構成分子の量が時間とともに増減する速度を表す。右辺の第一項と第二項は外部との交換、第三項と第四項は内部での生成と消失を表す。例えば、生成と流入の合計が、分解と流出の合計に等しければ、構成分子の総量は一定に保たれる。一方、生成が分解や流出に追い付かなければ、その分子の量は減少する。構造の形態が一定に保たれていても、構成要素の収支がどのような機構によって成立しているかは別に調べる必要がある。
さらに、構成分子の量が一定であることと、その分子を生成する仕組みが維持されていることも異なる。例えば、ある酵素が一定量存在していても、その酵素を合成する機構が停止していれば、酵素が分解されるにつれて量が減少する可能性がある。逆に、酵素の合成と分解が継続し、それらの速度が釣り合っていれば、酵素の総量は一定でも、分子そのものは交換され続ける。この場合、量の定常性を支えているのは、生成と消失の継続的な収支である。
この関係から、構造が定常的に維持されるという観測を、少なくとも二つの条件へ分けられる。一つは、構成要素の量や機能が一定の範囲に保たれることである。もう一つは、その維持に必要な生成・修復機構が継続して働くことである。後者をさらに詳しく調べれば、その機構自体を構成する要素がどのように補充されるかという問題へ進む。自己維持する組織の分析では、構成要素の収支に加えて、収支を成立させる機構の連続性が問われる。
熱力学的な散逸と自己維持の関係も、ここで整理できる。外部からの資源を利用して内部の構造や機能を維持する生物では、物質とエネルギーの変換が継続し、不可逆な過程が生じる。しかし、散逸が存在するという事実だけから、維持機構の再生産まで導くことはできない。散逸は、運動や反応がどのような熱力学的な条件で進むかに関係する。一方、自己維持は、その反応や輸送によって、どの構成要素や機構が継続的に補充されるかという組織的な関係を含む。
外部からの資源供給を受けながら、内部の機構が境界や反応系を維持する場合には、物理的な開放性と組織的な連続性が同時に成立する。これを確認するには、外部との物質・エネルギー交換を測定するとともに、内部の生成物がどの維持機構へ戻り、その機構の継続をどのように支えるかを明らかにする必要がある。非平衡な秩序の維持から生命の自己維持へ進む際には、物理的な駆動と散逸の説明に加えて、この内部的な依存関係が検証の対象になる。
8.3. 境界の形成と境界の自己産出
粒子が輪状に集まると、その輪郭によって内側と外側を幾何学的に区別できる。例えば、多数の微粒子が円周上に並べば、輪の内側には粒子の少ない領域が生じる場合がある。このような形態は、細胞膜に囲まれた細胞と外見上は似ている。しかし、輪状の粒子集団が形成されたことから、その輪郭が物質の通過を選択的に制御しているとは限らない。境界としての形態と、境界が実現する機能を区別する必要がある。
生物の細胞膜では、脂質分子が集まって膜を形成し、膜タンパク質などが物質の通過や信号の受容に関与する。例えば、ある物質は膜を通過しやすい一方、別の物質は特定の輸送体を介して移動する。膜を構成する分子の性質や、膜に組み込まれたタンパク質の働きによって、内外の物質交換に選択性が生じる。この機能によって、細胞内部のイオン濃度や化学的な環境を、外部とは異なる範囲に保つことができる。
境界の機能を評価する場合、単に輪郭が存在することよりも、物質がその境界を通じてどのように移動するかを測定する必要がある。例えば、ある物質を境界の外側へ加え、時間の経過とともに内側の濃度がどのように変化するかを調べる方法がある。物質ごとの流入速度や流出速度を比較すれば、境界がどの物質を通しやすく、どの物質の移動を制限しているかを評価できる。さらに、境界を構成する分子や輸送体を変更したときに物質の移動がどう変化するかを調べれば、境界機能を成立させる原因を特定する手掛かりになる。
ただし、物質の通過を制御する機能を持つ境界でも、その境界がどのように維持されるかは別の問題になる。例えば、外部から用意した膜を容器の周囲へ設置すれば、物質の通過に選択性を持つ境界を作れる場合がある。しかし、膜を構成する分子が損傷・分解されたとき、それらを補充する機構が容器の内部に存在するとは限らない。境界の存在、境界の機能、境界の維持機構は、それぞれ別の条件によって成立する。
細胞の場合、膜を構成する脂質やタンパク質の合成・輸送・更新は、内部の代謝や分子機械と結び付いている。例えば、膜の一部が損傷しても、必要な構成分子が供給されれば、膜の構造や機能を回復できる場合がある。その供給が内部の反応によって成立するなら、境界の維持には内部の生化学的な過程が関与している。さらに、膜が物質の取り込みを支え、その取り込まれた物質が膜の構成分子の合成へ利用される場合には、境界の機能と境界の維持が循環的に結び付く。
この関係を具体的に考えると、膜は内部と外部を分けるだけでなく、内部の反応に必要な環境を形成する役割を持つ。例えば、膜によって特定の物質の流入や流出が制限されれば、内部の濃度が外部と異なる状態に保たれる。その濃度条件が内部の化学反応へ影響し、反応によって生成された物質が膜の維持に使われる場合、膜の存在が内部の反応を支え、内部の反応が膜の維持を支える関係が成立する。
ただし、この循環が存在するという説明だけで、境界が完全に自己産出されていると判断できるとは限らない。例えば、膜の構成分子が外部から供給され、内部の機構がそれを配置するだけの場合には、構成分子の生成は外部に依存している。一方、外部から取り込んだ原料を内部で変換し、膜の構成分子を合成する場合には、内部の合成機構が境界の維持に関与する。何を外部から供給される原料とし、何を内部で生成される構成要素とするかを区別することで、境界の自己産出がどこまで成立しているかを調べられる。
また、境界を形成する粒子が集まる機構と、境界の機能を維持する機構は異なる場合がある。例えば、脂質分子が水中で自己集合して膜状の構造を作る場合、その形成には分子の物理化学的な性質が関与する。一方、形成された膜が特定の物質を選択的に通過させたり、損傷した部分を継続的に補修したりするには、膜の構成や周囲の条件に応じた追加の仕組みが関係する。自己集合によって境界が生じることと、境界が機能を持ち、その機能を維持することを分けて評価する必要がある。
境界については、少なくとも三つの異なる問いを立てられる。第一は、空間的な内側と外側を分ける形態が成立しているかという問いである。第二は、物質の流入・流出を制御する機能が成立しているかという問いである。第三は、境界を構成する分子や、その機能を担う機構が内部の過程によって補充・修復されているかという問いである。最初の問いは形態の観測で調べられ、二番目は物質輸送の測定を必要とし、三番目は境界を構成する分子の生成・修復経路を調べる必要がある。
これらを区別すると、輪状の粒子集団が形成されたという結果から、細胞膜に相当する機能まで推定することを避けられる。一方、輪状の構造がどの条件で形成され、どの条件で持続するかを調べることには、境界形成の物理的な仕組みを理解する意義がある。境界の形態、選択的な物質交換、構成要素の自己産出を別々に測定することで、非生物的な自己組織化と生命の自己維持との接続を、具体的な機構として検討できる。
8.4. 成長・分裂は情報の継承と同一ではない
集団構造が成長して二つに分かれる現象は、生命の増殖や細胞分裂を連想させる。例えば、一つの粒子集団が周囲から粒子を取り込み、一定の大きさに達した後、二つの集団へ分かれる場合を考える。このとき、成長と分裂という時間的な振る舞いが観測されている。ただし、集団がどのような規則で成長し、何が分裂を引き起こし、分裂後の集団へ何が引き継がれるかを区別することで、現象の成立機構をより具体的に説明できる。
Schmickl、Stefanec、Crailsheim は、単純な局所的な粒子運動則から、細胞に似た輪郭を持つ構造が自己組織化し、成長、分裂、存続、崩壊などの生命様の動態を示す数値モデルを研究した[27]。この研究では、個々の粒子に複雑な指令を与える代わりに、局所的な相互作用から集団の形態と時間発展が生じる。研究者らは、集団の大きさの分布や寿命、ノイズに対する応答などを測定し、形成された構造の生命様の性質を分析している。
例えば、粒子集団が周囲から粒子を取り込むことによって大きくなり、その後に二つの集団へ分かれた場合、集団の数が増加するという結果が得られる。ここで、分裂によって生じた二つの集団が、それぞれ元の集団と似た形態を持つ可能性がある。また、分裂後の集団が再び粒子を取り込み、同じような分裂を繰り返す場合には、成長と分裂の周期的な過程が成立していることになる。このような時間発展は、個々の粒子の運動則から集団レベルの生命様の振る舞いが現れ得ることを示している。
ただし、幾何学的な分裂と、継承可能な情報を伴う複製は異なる条件を持つ。例えば、集団が二つに分かれたとき、両方の集団が似た形態を持っていても、その形態がどのような情報によって形成されたかは別に調べる必要がある。すべての粒子が同じ運動則に従い、外部で固定された規則によって集団が形成される場合には、分裂後の集団が似た形態を取る理由を、共通の運動則と初期状態から説明できる場合がある。このとき、生成規則そのものが親集団から子集団へ複製されたとは限らない。
例えば、同じ相互作用係数を持つ粒子を用いた数値モデルで、複数の集団が形成される場合を考える。各集団が似た形を持つのは、すべての粒子が同じ規則へ従っているためかもしれない。その規則がシミュレーションの外部設定として固定されているなら、ある集団が分裂した際に、その集団固有の情報が子集団へ伝達されたという説明にはならない。共通の環境と規則の下で似た構造が再形成されることと、個体に固有の情報が複製されることは、異なる過程である。
生物の細胞分裂では、細胞が構成要素を増やして分裂することに加えて、DNA などに保持された情報の継承が関係する。例えば、細胞が分裂する際には、遺伝情報を複製し、分裂後の細胞へ分配する機構が働く。分裂後の細胞は、その情報を利用して必要な分子を合成し、代謝や維持機構を継続する。したがって、分裂という形態的な出来事に加え、構成要素を作るための情報と、その情報を利用する仕組みの継続性を検証できる。
継承可能な情報が存在する場合には、さらに変異と選択についての問題が生じる。例えば、ある集団が持つ情報に変化が生じ、その変化が分裂後の集団にも引き継がれるとする。変異によって集団の成長速度や存続率が異なれば、複数世代にわたって、異なる性質を持つ集団の割合が変化する可能性がある。この場合には、親と子の情報の対応、変異の発生、変異による形質の差、存続や増殖の差を測定することで、継承と選択の過程を検証できる。
一方、研究者が集団の形態を観測し、興味深い模様が得られた相互作用係数を選び、次の試行へ使用する操作は、系内部での情報継承や自然選択とは異なる。例えば、ある係数設定で長時間存続する集団が得られたため、研究者がその係数を次の試行へ採用したとする。この場合、係数の選択と継承は、研究者の操作によって行われている。集団自身が係数を保存し、分裂に伴って子集団へ伝達したわけではない。外部の選択によってモデルの設定が更新されることと、モデル内部で継承可能な変異が選択されることを区別する必要がある。
Schmickl らの研究では、単純な粒子運動則から形成された集団が、生命に似た成長・分裂・存続の振る舞いを示すことが確認されている。その結果は、集団レベルの生命様の動態を、局所的な粒子間相互作用から生成できることを示す。一方、遺伝情報の複製や、構成要素を生産する生化学的な機構が実在する細胞と同じように成立したことまで示すものではない。モデル内で実装された規則と、観測された集団の振る舞いを対応させることで、どの性質が直接確認されたかを明確にできる。
ここから、成長と分裂を複数の観点で測定できる。第一に、集団の大きさがどのように増加するかという成長の測定である。第二に、一つの集団が複数へ分かれる頻度や条件を調べる分裂の測定である。第三に、分裂後の集団が親集団の形態や構成をどの程度引き継いでいるかという対応関係の測定である。さらに、継承可能な情報がモデルに含まれているなら、その情報の複製と変異を独立に検証できる。
この区別によって、生命様の形態と動態が成立することから、情報の継承や進化に関する主張へ進むために必要な条件を明確にできる。局所的な相互作用から成長や分裂が生じたことは、自己組織化の具体的な成果である。継承と選択まで説明するには、集団の形態や数の変化に加えて、何が複製され、その複製物がどのように変異し、どの性質が次の世代へ伝わるかを示す必要がある。
8.5. 化学的な機能と空間的な組織が結び付く
粒子集団の形成を考える場合、粒子の位置や種類間の相互作用だけを扱うモデルでは、集団がどのような形態を作り、どのように移動するかを調べられる。一方、化学反応に参加する粒子では、各粒子がどの物質を消費し、どの物質を生成するかという機能的な役割も存在する。例えば、ある触媒が基質を生成物へ変換し、その生成物が別の触媒の基質になる場合、触媒の間には反応の順序に基づく関係が成立する。触媒同士が空間的に接近することと、触媒が化学反応の循環を構成することは、異なる関係である。
Ouazan-Reboul、Agudo-Canalejo、Golestanian は、原始的な代謝循環へ参加する触媒種について、化学反応から生じる非相反な相互作用が空間的な自己組織化へ結び付く仕組みを研究した[28]。この研究では、複数の触媒が循環的な反応経路を構成し、ある触媒の生成物が次の触媒の基質となる。触媒が作り出す化学物質の濃度場と、それに対する別の触媒の移動応答によって、触媒種間に有効相互作用が生じる。化学反応の結び付きが、粒子の空間配置を決める要因になる。
例えば、三種類の触媒 \(A\)、\(B\)、\(C\) が存在し、\(A\) が物質 \(X_1\) を \(X_2\) へ、\(B\) が \(X_2\) を \(X_3\) へ、\(C\) が \(X_3\) を \(X_1\) へ変換する循環を考える。この場合、各触媒の反応は独立に完結しているわけではなく、別の触媒の生成物を利用する関係になっている。反応の循環は、次のように表せる。
\[
X_1
\xrightarrow{\mathrm A}
X_2
\xrightarrow{\mathrm B}
X_3
\xrightarrow{\mathrm C}
X_1
\]
矢印の上の \(A\)、\(B\)、\(C\) は、それぞれの反応を触媒する成分を表す。この関係では、\(A\) が生成する \(X_2\) は \(B\) の反応に利用され、\(B\) が生成する \(X_3\) は \(C\) の反応に利用される。さらに、\(C\) が生成する \(X_1\) は \(A\) の反応に利用されるため、反応経路として循環が成立する。ただし、循環する反応経路が定義されたことだけで、各反応が実際に継続するとは限らない。触媒の活性、反応物の濃度、反応速度、化学的な駆動条件が関係する。
この触媒が空間に分散して存在する場合、各触媒の周囲では基質の消費と生成物の産出によって濃度勾配が生じる。例えば、\(A\) の周囲では \(X_1\) が消費され、\(X_2\) が生成されるため、\(A\) の近傍と離れた場所とで、これらの物質の濃度が異なる可能性がある。\(B\) が \(X_2\) の濃度勾配へ応答して移動する性質を持てば、\(A\) の存在が \(B\) の移動へ影響する。同様に、\(B\) が作る濃度分布は \(C\) の移動へ、\(C\) が作る濃度分布は \(A\) の移動へ影響し得る。
このような作用では、一方の触媒が作る濃度勾配に対する別の触媒の応答と、その逆方向の応答が一致するとは限らない。各触媒は異なる基質と生成物を扱い、それらの物質への移動応答も異なり得るためである。したがって、反応循環という化学的な関係から、触媒種間の非相反な有効相互作用が成立する可能性がある。触媒が化学反応を進めることが濃度勾配を作り、濃度勾配が触媒の移動を引き起こし、移動によって触媒の空間配置が更新される。この連鎖が、化学的な機能と空間的な組織を結び付ける。
Ouazan-Reboul らの研究では、反応循環を構成する触媒種の数や、触媒間に働く有効相互作用の性質によって、形成される集団構造と動的な状態が異なることが示されている。特に、循環を構成する種類数が偶数か奇数かという違いが、集団の不安定性や形成される構造へ影響する。これは、反応に参加する触媒の種類数という化学的なネットワークの性質が、空間的な密度分布や集団運動へ現れることを意味する。
例えば、偶数種類の触媒からなる循環では、特定の相互作用条件の下で、番号が偶数の触媒種と奇数の触媒種が別々の集団へ凝集する状態が成立し得る。これは、反応循環に沿って隣り合う種類間の作用を考えたとき、同じ偶奇に属する成分がまとまり、異なる偶奇に属する成分が分離することで、相互作用の条件に対応した配置が形成されるためである。偶数種類の循環では、触媒種を二つの組に分ける分類が閉じた循環と両立する場合がある。
一方、奇数種類の触媒からなる循環では、同じ偶奇による分類を循環全体へそのまま適用することができない。例えば、三種類の循環では \(A\) と \(B\)、\(B\) と \(C\)、\(C\) と \(A\) が順に関係するため、二つの組へ交互に分けようとすると、最後の関係で同じ組に属するべきかという条件が衝突する。特定の非相反な相互作用の下では、このような循環構造が振動的な不安定性や追跡する集団運動へ結び付く場合がある。研究では、奇数種類の循環について、複素固有値に対応する振動的な不安定性や、長時間持続する振動状態が分析されている。
ただし、偶数種類であれば必ず静的な集団が形成され、奇数種類であれば必ず振動するという普遍的な分類ではない。形成される構造は、触媒種間の相互作用の符号や大きさ、基質と生成物への応答、濃度条件などにも依存する。偶奇の違いは、研究で指定された反応循環と相互作用の条件の下で、どのような不安定性や集団構造が成立するかを分析するための要因である。
この研究が、単に粒子が凝集する模型と異なるのは、粒子の種類が化学反応における役割と対応していることである。例えば、ある触媒が別の触媒の基質を生成する関係は、反応循環の機能的なつながりを表す。その反応によって作られた濃度場が、触媒同士の空間的な相互作用を生み出すため、反応ネットワークと集団の配置が結び付く。粒子が集まった結果として化学的な機能が付与されたというよりも、化学的な機能を持つ粒子間の作用から集団構造が形成される関係を分析している。
例えば、反応循環に参加する触媒が互いに離れた場所に分散している場合、ある触媒が作る生成物が、次の触媒へ到達するまでに拡散する必要がある。触媒同士が接近すれば、生成物が次の反応へ利用される空間的な条件が変化する可能性がある。そのため、触媒の集合が反応物の受け渡しへ影響し、反応によって作られる濃度分布が触媒の集合へ影響するという相互依存が生じ得る。反応速度と触媒配置を同時に調べることで、機能と構造の対応を具体的に評価できる。
ただし、反応循環が成立することと、循環を構成する触媒そのものが再生産されることは異なる。例えば、\(A\)、\(B\)、\(C\) の触媒がそれぞれ基質を生成物へ変換していても、反応によって \(A\)、\(B\)、\(C\) 自身が新たに作られるとは限らない。触媒が一定量存在することを前提にした模型では、その触媒の補充機構を別に調べる必要がある。また、空間的に集まった触媒が機能的な反応を行っていても、その集団を外界から区切る境界が自己産出されているか、反応を維持する機構が内部で補充されるかについては、別の条件が必要になる。
Ouazan-Reboul らの研究は、化学反応の循環を持つ成分が、非相反な相互作用によって空間的に自己組織化し得ることを示している。この結果から、反応ネットワークの構造が粒子の空間的な配置へ影響し、形成された集団が化学的な機能を担う可能性を分析できる。一方、原始的な代謝循環の自己組織化と、生命の自己維持機構の再生産を同じ現象と判断するには、触媒自身の補充、境界の維持、反応条件の継続など、追加の機構を確認する必要がある。
このように、化学的な機能と空間的な組織が結び付くことは、自己組織化から自己維持へ進むための一つの具体的な接続点になる。触媒が持つ反応上の役割と、触媒間の非相反な相互作用によって形成される集団構造を対応付けることで、物理的な配置の形成だけでなく、その配置が実現する化学的な機能まで分析できる。さらに、形成された機能が、その機能を成立させる構成要素や機構の補充へ結び付くかを調べることで、自己維持の成立条件を検証できる。
8.6. 自己維持をどの条件で判定するか
自己組織化によって形成された集団が、生命としての自己維持に関係する性質をどこまで実現しているかを判断するには、複数の機能を分けて測定する必要がある。例えば、粒子が集まって輪状の構造を作った場合、その輪郭によって内側と外側を幾何学的に区別できる。しかし、その輪郭が物質の通過を制御しているか、構成要素が損傷したときに補充されるか、その補充機構が内部の反応によって維持されているかは、それぞれ別の観測を必要とする。
生物の細胞では、膜が物質の交換を制御し、酵素が物質を変換し、その反応で得られた生成物が膜や酵素の補充へ使われる。この関係では、構造の維持を支える過程が、構造自身の内部に組織化されている。例えば、膜が必要物質を取り込み、その物質を利用する代謝反応が進み、生成物が膜の構成分子の合成へ利用される場合、膜の機能と代謝の機能は互いに維持条件を与えている。
このような自己維持を評価する場合、外部から物質やエネルギーが供給されること自体を除外する必要はない。生物の自己維持は、外部との交換が続く開放系の内部で成立する。問題になるのは、外部から得られた資源がどのような内部過程を通じて利用され、その結果が何の維持へ戻るかである。例えば、外部から供給されたアミノ酸を内部の合成機構が利用して酵素を作り、その酵素が代謝反応を継続させるなら、外部からの原料供給と内部の維持機構が結び付いている。
ただし、構成要素が内部で生成される場合でも、その生成機構そのものが維持されているかを調べる必要がある。例えば、ある酵素が必要な構成分子を生成していても、その酵素が分解された後に補充されなければ、反応は継続しなくなる可能性がある。その酵素を合成する機構も別の構成要素へ依存しているため、自己維持の説明には、反応経路を一つずつ調べるだけでなく、維持に必要な機構間の依存関係を記述することが求められる。
例えば、三つの機構 \(A\)、\(B\)、\(C\) が存在し、\(A\) が \(B\) の構成要素を産出し、\(B\) が \(C\) の構成要素を産出し、\(C\) が \(A\) の維持に必要な物質を産出する場合を考える。このとき、維持の関係は次のような循環として表せる。
\[
A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow A
\]
この循環は、各機構が別の機構の維持へ寄与する関係を表している。ただし、循環がグラフとして存在するだけで、実際に自己維持が成立するとは限らない。例えば、\(A\) が必要とする物質の産出速度より消費速度が大きければ、\(A\) の機能が時間とともに低下する可能性がある。また、\(B\) や \(C\) が維持されるためのエネルギーが不足すれば、循環全体が継続できなくなる場合がある。維持機構間の関係と、その関係が実際に機能するための物質・エネルギー収支を合わせて検証する必要がある。
さらに、維持機構の循環が成立していても、その循環が外乱に対してどの程度持続できるかは別の性質になる。例えば、構成要素の一部が損傷したとき、内部の反応によって補充できれば、機能の回復が成立する可能性がある。一方、損傷が大きく、補充速度が消失速度を下回れば、維持機構の一部が失われることもある。自己維持の頑健性を評価するには、損傷や資源供給の変化を与え、その後の構成要素の量と機能の回復を測定する必要がある。
ここでは、形態の持続、機能の持続、構成要素の補充、維持機構の再生産を区別できる。例えば、構造の輪郭が保たれていることは、形態の持続を示す。物質の選択的な通過や触媒反応が継続していれば、特定の機能が持続していることを示す。必要な分子が合成され、失われた分子が補充されていれば、構成要素の更新が成立していることを示す。さらに、その合成や補充を担う機構が内部の反応によって維持されていれば、維持機構の再生産を検討できる。
これらの性質について、必要な観測と追加の説明を整理すると、次のようになる。
| 成立する性質 | 具体的な観測 | 追加して必要になる説明 |
|---|---|---|
| 集団の形成 | 粒子や分子が空間的に集まる。 | 局所的な作用と形成条件の関係を示す。 |
| 形態の持続 | 輪郭や密度分布が一定期間維持される。 | 持続時間と外乱への応答を示す。 |
| 機能的な境界 | 物質の通過が条件によって選択される。 | 選択性を生む物理・化学過程を示す。 |
| 構成要素の補充 | 必要な分子が生成され、失われた成分が補われる。 | 取り込み、反応、合成、修復の過程を示す。 |
| 維持機構の再生産 | 構成や境界を作る仕組み自体が継続的に維持される。 | 維持を可能にする反応や組織へ生成物が戻る関係を示す。 |
| 継承と進化 | 複製に伴って情報が継承され、変異と存続の差が現れる。 | 情報の伝達、変異、選択の過程を独立に検証する。 |
この分類では、各段階がすべての系で同じ順序に成立することを前提にしていない。例えば、ある化学系では、明確な膜状の境界が存在しなくても、触媒反応と空間的な自己組織化が結び付く場合がある。また、形態の持続が認められても、構成要素の内部的な補充が成立していない場合がある。何が観測され、何が成立機構として確認されたかを分けることで、対象の系について説明できる範囲を明確にできる。
例えば、単純な粒子運動則から成長・分裂する集団が得られた場合、そのモデルが直接示しているのは、指定された規則の下で生命様の形態と動態が成立したことである。分裂後の集団が親集団と似た形態を示す場合には、形態的な連続性を検討できる。一方、分裂に伴って継承可能な情報が複製され、その情報に変異が生じるかどうかは別の評価を必要とする。
また、化学反応の循環へ参加する触媒が空間的に集合する場合には、触媒の反応上の役割と、集団構造の形成を対応付けられる。触媒の生成物が別の触媒の基質となり、その化学的な関係から非相反な相互作用が生じる場合、反応機能と空間構造の形成に因果的な結び付きがある。ただし、触媒自身が内部で補充されるか、反応を維持する境界が形成されるか、反応系が外乱から回復するかは、追加の機構と測定を必要とする。
生物の自己維持を説明する場合には、構成要素の交換と、維持機構の連続性を対応付ける必要がある。例えば、細胞膜の構成分子が交換されても、膜の選択的な物質輸送機能が継続し、その膜を維持するための分子が内部の反応によって補充されている場合、形態と機能を支える機構の連続性を具体的に説明できる。さらに、その分子を合成する酵素や分子機械が補充される関係を調べれば、維持機構の再生産をより詳しく分析できる。
自己維持を検証する際には、構造の変化量だけを測定する方法では不十分になる。例えば、構造振動モデルで近接グラフの変化を測定すれば、構成要素の関係がどの程度更新されたかを確認できる。しかし、その更新が物質輸送や触媒反応を維持しているか、構成要素が内部で生成されているか、維持機構が再生産されているかは、対応する機能の測定を必要とする。構造の更新量、機能の産出、構成要素の補充、維持機構の連続性を別々に記録することで、構造的な秩序と機能的な自己維持の関係を検討できる。
また、ある機能が維持されているという結果だけでは、その機能を維持した原因まで確定しない。例えば、触媒反応が一定の速度で継続していても、その反応を担う触媒が外部から供給されている場合と、内部で補充されている場合では、維持機構が異なる。外部供給を変更したときの応答や、内部の合成機構を停止したときの変化を測定すれば、反応の持続が何へ依存しているかを調べられる。機能の持続と、その機能の成立原因を分けて検証することは、自己維持を科学的に説明するための条件になる。
さらに、内部で構成要素が補充されるという結果から、すべての必要な維持機構が再生産されていると結論することもできない。例えば、特定の分子は内部で生成されていても、その生成を担う触媒が外部から補充されている場合がある。この場合、構成要素の一部については内部生成が成立しているが、維持機構全体の継続には外部からの構成要素の供給が必要になる。何を系の内部と定義し、どの維持機構を評価対象とするかによって、自己維持について確認できる範囲が定まる。
自己組織化、構造の持続、機能の維持、維持機構の再生産は、互いに関係しながらも異なる成立条件を持つ。非相反な相互作用から集団運動が生じることは、局所的な作用が巨視的な秩序へ結び付く具体例である。化学反応の循環によって触媒が空間的に組織化されることは、機能的な役割と集団構造が結び付く例である。生物の自己維持では、さらに、その機能を支える構成要素や機構が内部の過程によって継続的に補充される。
これらの関係を区別することで、生命に似た形態や運動が生じたという観測から、どの機能が実際に成立しているかという検証へ進められる。構造が形成される原因、構造が持続する原因、構造の維持に必要な機構が再生産される原因をそれぞれ明らかにすることで、非平衡な集団構造と生命の自己維持を、具体的な物理的・化学的な過程に基づいて接続できる。
9. 形成・持続・自己維持をそれぞれの証拠で評価する
9.1. 説明した対象に対応する根拠を置く
集団構造が形成されたという結果には、異なる種類の科学的な証拠が存在する。例えば、数理モデルでは、相互作用や運動の規則を定義し、その規則から集団の振る舞いを導出できる。数値シミュレーションでは、指定した初期条件と相互作用の下で、実際にどのような構造が形成されるかを計算できる。物理実験では、具体的な物質や媒質を使用し、集団が形成される条件や運動の時間発展を測定できる。これらは互いに関係しているが、各方法が直接確認できる対象は異なる。
例えば、ある数理モデルについて、粒子間の相互作用を指定すると、集団の密度が高い領域と低い領域へ分かれることが導かれたとする。この結果は、モデルの仮定と運動方程式の下で相分離が成立することを示す。一方、その相互作用が実在する粒子の間でどのような物理的機構から生じるかは、モデルの方程式だけでは決まらない。実在する物質系へ対応付けるには、粒子の運動性、媒質との相互作用、エネルギー供給、観測時間などを含めて、理論が想定する条件が実現されているかを確認する必要がある。
Fily と Marchetti の研究は、自己推進する粒子が斥力によって相互作用する系において、向きをそろえる特別な作用がなくても相分離が生じ得ることを示した[3]。この結果から、集団形成の説明に必ずしも直接的な引力や粒子間の整列作用を必要としないことが分かる。粒子が混雑した領域で移動しにくくなると、その領域での滞在時間が増え、さらに粒子が蓄積する場合がある。自己推進、粒子間の排他的な作用、密度に依存した運動性という条件が、凝集の直接的な機構を構成している。
この研究から導かれるのは、指定された自己推進粒子系で相分離が成立するという結果である。粒子が集合するすべての現象について、混雑が唯一の原因であるという結論ではない。例えば、引力が支配的な系や、外部の流れによって粒子が集まる系では、形成を支える機構が異なる。自己組織化が観測されたという共通点だけで複数の系を同じ原因へ分類するよりも、各系について何が粒子の移動を変え、どの過程が密度の偏りを増幅したかを調べる必要がある。
微視的な相互作用と巨視的な秩序の対応についても、理論の成立条件を確認する必要がある。Dinelli らは、微視的に非相反な相互作用を持つ能動粒子の混合系を粗視化し、巨視的には平衡的な記述が成立する場合を示した[10]。一方、Mason、Jack、Bruna は、直接の粒子間相互作用が相反的である混合系でも、巨視的な有効結合に非相反性が現れる場合を示した[11]。これらの結果は、粒子間に設定された相互作用の対称性から、集団全体の有効結合の対称性を一意に決められるとは限らないことを示している。
ここで注意すべきなのは、両研究が同じ粒子系について正反対の結果を得たわけではないことである。対象のモデル、残す自由度、粗視化の方法、運動性の条件が異なれば、導出される巨視的な方程式も異なり得る。Dinelli らの研究で得られた有効な平衡記述は、その粗視化と運動則の条件に対応する。Mason らの研究で得られた非相反な有効結合も、能動粒子と受動粒子の混合系について導出されたものである。二つの結果を比較する際には、微視的な力、巨視的な密度場、消去された自由度がそれぞれ何を意味するかをそろえる必要がある。
物理実験では、さらに具体的な駆動機構を確認できる。Meredith らは、異なる種類の油滴の間で、ミセルを介した非相反な油の交換によって追跡・逃避に似た運動が生じることを示した[13]。この場合、追跡するような軌道を観測できることに加えて、その運動が油の輸送や濃度分布と結び付いていることが研究の対象になっている。油滴の運動を実在する物質輸送へ対応付けることで、軌道が成立する物理的な原因を説明できる。
Al Harraq らの研究では、交流電場によって駆動される能動粒子と受動粒子の集合体について、粒子の運動、集合、準安定性、内部の再編成が実験的に調べられている[15]。ここでは、集団の形態が長時間保たれている場合でも、内部の構成要素が組み替わることがある。また、外部の電場によって運動が駆動されるため、集団を維持する条件を、粒子間の関係だけでなく外部環境との関係から検討できる。
しかし、油滴の追跡運動と能動・受動コロイドの集合体が、同じ非相反な運動を示すという理由だけで、両者の物理的な駆動機構まで同じだとは言えない。油滴ではミセルを介した物質輸送が、コロイドでは交流電場による駆動と粒子間の作用が、それぞれ運動の成立に関与する。見た目の運動を比較する場合と、運動を支えるエネルギーや物質の収支を比較する場合では、必要な根拠が異なる。
さらに、生命の自己維持を説明する場合には、形成や運動の証拠に加えて、構成要素や維持機構が内部で再生産される過程を調べる必要がある。例えば、細胞の輪郭が長時間維持されるという観測は、形態の持続についての証拠になる。一方、その持続が膜の構成分子の合成、損傷の修復、物質輸送、代謝反応によって成立していることを示すには、それぞれの機能を測定する必要がある。構造の存続時間と、存続を可能にする機構の連続性は、別の対象である。
Schmickl らの研究では、単純な粒子運動則から生命様の成長や分裂を伴う集団構造が形成されることが示されている[27]。この成果は、局所的な運動から成長・分裂に似た集団的な動態が生じることを確認するものである。一方、Ouazan-Reboul らは、原始的な代謝循環に参加する触媒種の非相反な相互作用と、空間的な自己組織化との関係を研究した[28]。後者では、触媒の反応上の役割と空間的な集団形成が結び付いている。両研究は生命に関連する異なる性質を示しており、成長・分裂の動態と、化学反応を担う集団構造の成立という点で比較できる。
ただし、成長・分裂する構造が形成されたことから、遺伝情報の継承や進化まで成立したと結論することはできない。また、触媒の反応循環が存在することから、触媒自身や維持機構が内部で再生産されていると結論することもできない。各研究が直接確認した性質を整理することで、生命様の形態、化学的な機能、維持機構の再生産という異なる問題を分けて評価できる。
数理モデル、数値シミュレーション、物理実験、機能の測定は、単純な上下関係にあるわけではない。数学的な導出は、仮定からどのような帰結が得られるかを明確にする。数値シミュレーションは、指定した条件でどのような時間発展が実現されるかを調べる。物理実験は、実在する物質や環境の下でどの現象が生じるかを確認する。機能の測定は、形成された構造が何を実現し、その機能がどのように維持されるかを評価する。これらの証拠を対応付けることで、ある研究が何を説明し、どの条件まで検証したかを具体的に示せる。
9.2. 観測、数学的帰結、仮説を分ける
複数の研究を比較して共通する構造を見いだす場合、実際に確認された事実と、その事実から推論した結論を区別する必要がある。例えば、非相反な結合によって移動する密度パターンが形成されることは、特定の理論モデルと数値研究によって確認されている。しかし、非相反性がすべての自己組織化に必要であるという主張は、自己推進と斥力によって相分離が生じる系の存在と整合しない。また、非相反な集団運動が長時間持続することから、維持機構の内部的な再生産まで推論するには、物質やエネルギーの変換に関する追加の根拠が必要になる。
数学的な帰結として確認できることと、その帰結が物理実験で実現されることも分けられる。例えば、二成分の密度場を扱う方程式から、特定の結合係数の下で移動するパターンが生じることを示せたとする。この結果は、指定された方程式についての数学的または数値的な結論になる。一方、その結合係数が実在する物質系でどのような機構から生じるか、対象の系が方程式の仮定を満たすかについては、別の確認が必要になる。数理モデルが与える説明の範囲は、モデルへ含めた変数と仮定によって定まる。
観測についても、測定量と主張の関係を明確にする必要がある。例えば、集団の輪郭が一定時間保たれていたという観測は、形態の持続についての証拠になる。しかし、内部の粒子間関係が維持されていたか、外乱から回復できるか、外部からの駆動を停止しても存続するかについては、その輪郭だけからは判断できない。構造の持続という表現を使う場合にも、具体的に何が持続したかを定義することで、観測結果に対応した結論を得られる。
さらに、ある機構と観測結果の間に相関があることと、その機構が結果を成立させる原因であることも異なる。例えば、非相反な相互作用の強い条件で集団の寿命が長くなるという関係が観測された場合、非相反性が寿命の延長へ寄与した可能性がある。しかし、非相反性を強くする操作によって、平均的な引力や作用範囲も同時に変化していれば、寿命の差を非相反性だけへ帰属させることは難しい。係数の対称成分と反対称成分を分けて変更し、集団の形成率や寿命を比較することで、各成分の寄与を調べられる。
仮説の射程を明確にするには、必要条件と十分条件を区別することも重要になる。例えば、指定した粒子モデルにおいて非相反性を除去すると移動が失われた場合、その比較条件では非相反性が移動へ必要だった可能性を示す。一方、非相反性を導入すると移動が成立した場合、その条件が移動を成立させる一つの経路であることを示す。別の運動性や境界条件の下でも同じ結果になるかを確認することで、結論を適用できる範囲が定まる。
この区別は、生命の自己維持についても同じように適用できる。例えば、ある集団が外乱後に元の形態へ戻った場合、形態の回復能力が観測されたことになる。一方、除去された構成要素が内部の過程で生成されたかどうかを確認するには、構成要素の補充元や合成経路を測定する必要がある。さらに、構成要素を生成する機構自身が継続的に維持されるかを調べるには、機構間の依存関係と物質収支を確認する必要がある。形態、機能、維持機構という対象の違いに応じて、必要な証拠も異なる。
これらの関係を整理すると、次のようになる。
| 主張 | 根拠の種類 | 成立する範囲 | 確認を要する点 |
|---|---|---|---|
| 局所的な規則から集団構造が形成される | 数理モデル、数値解析、物理実験によって確認される。 | 各研究が定義した相互作用、初期条件、環境条件の下で成立する。 | 別の物質系や境界条件で同じ形成機構が働くかを調べる必要がある。 |
| 非相反な結合から動的な秩序が生じ得る | 非相反結合の理論、安定性解析、数値研究によって示される。 | 結合の符号、運動性、安定性、非線形性などの成立条件に対応する。 | 対象系で相互作用のどの成分が移動や振動に必要かを調べる必要がある。 |
| 巨視的な相反性は微視的な相反性と一致するとは限らない | 粗視化と流体力学的な方程式の導出によって示される。 | 導出に用いた運動則、残した自由度、粗視化の仮定の下で成立する。 | 別の変数や観測尺度でも同じ有効結合が現れるかを調べる必要がある。 |
| 運動は実在する駆動機構によって維持され得る | 液滴や能動コロイドなどの物理実験によって確認される。 | 使用した物質、媒質、電場、反応条件などに対応する。 | 駆動の変更が運動へ及ぼす効果と、エネルギー収支を対象ごとに評価する必要がある。 |
| 構造振幅から構造の更新量を測定できる | 構造表現、埋め込み写像、距離の定義によって成立する。 | 指定した要素、関係、重み、観測間隔、距離に対応する。 | 採用した表現が、検出したい構造変化を保持しているかを確認する必要がある。 |
| 構造の持続が生命的な自己維持を示す | 形態の持続時間だけでは、維持機構の再生産に関する根拠が不足する。 | 構成要素と維持機構の補充・再生産が確認された範囲で評価できる。 | 境界、構成要素、反応機構の産出と修復を測る必要がある。 |
| 分裂が継承と進化を示す | 形態の分裂だけでは、遺伝情報の継承や選択に関する根拠が不足する。 | 継承可能な情報、変異、増殖や存続の差が確認された場合に評価できる。 | 親子間の情報伝達、変異、形質と存続率の関係を測る必要がある。 |
この表では、同じ集団構造についての主張でも、必要な根拠が異なることを整理している。例えば、相互作用の方程式から集団運動が導かれた場合、数学的な運動則との対応は確認できる。一方、実在する系で同じ運動が成立するかは物理実験の対象になる。また、実験で運動が観測されても、集団の維持機構が内部で再生産されるかは別の問題になる。それぞれの主張を対応する測定量へ結び付けることで、証拠が支える結論の範囲を明確にできる。
ここで、研究群を横断して得られる一般的な関係と、個々の研究から直接導かれる結論も区別される。例えば、Fily と Marchetti の研究は、自己推進と斥力による相分離の成立を示している。非相反結合の研究は、結合の非対称性から動的な秩序が生じる条件を扱っている。両者を比較すると、集団形成と集団移動には異なる成立機構が存在するという一般的な関係を導ける。ただし、これは両研究が共通の実験条件で二つの機構を直接比較したという意味ではない。異なる研究結果を統合して得られた結論と、各研究が検証した条件を分けて記述する必要がある。
また、同じ研究結果から複数の解釈が可能な場合には、その違いを観測によって区別できるかが重要になる。例えば、ある粒子集団が長時間持続した場合、安定な粒子間結合によって形態が保たれた可能性もあれば、内部の粒子が交換されながら動的に維持された可能性もある。粒子の識別情報や内部の関係構造を記録すれば、この二つの説明を区別する情報が得られる。異なる仮説が同じ観測結果を予測する場合には、それらの仮説が異なる結果を予測する条件を選び、追加の測定や介入を行う必要がある。
このように、科学的な説明の確かさは、現象が複雑であるか、長時間持続するか、生命に似ているかという印象では決まらない。どの変数を測定し、どの条件を制御し、どの仮説を区別できたかによって、確認された因果関係が定まる。観測された現象、数理モデルが保証する帰結、研究結果から導く一般化、未検証の仮説を分けることで、形成・持続・自己維持という異なる問題を同じ水準の根拠で混同せずに扱える。
9.3. 形成、持続、自己維持の関係
集団構造の形成は、局所的な相互作用と初期条件から、観測可能な集団的な秩序が現れる過程である。例えば、自己推進する粒子が混雑した領域へ蓄積し、密度の高い集団を形成する場合、粒子の運動性と密度の関係が形成機構になる。また、非相反な結合を持つ二成分系で移動する密度パターンが形成される場合、種類間の応答の非対称性と時間発展が関係する。どちらも局所的な規則から上位の秩序が現れる現象だが、形成される状態と、その原因は異なる。
形成と持続を別々に評価するには、まず形成を判定する規則を定義し、その後に形成された構造の寿命を記録する必要がある。例えば、ある密度閾値を超える領域が出現した時点を形成とし、その領域が指定された条件を満たさなくなるまでの時間を寿命とする。この場合、形成率と形成後の寿命分布は独立した測定対象になる。集団が形成される頻度が高いことと、形成された集団が長時間存続することは、同じ性質ではない。
構造振動モデルは、このような集団の内部構造を、要素と関係の時間発展として記録する方法を与える。例えば、粒子をノード、近接関係をエッジとしたグラフを時刻ごとに作成すれば、集団内部でどの関係が追加され、どの関係が失われたかを記録できる。構造の更新量を構造振幅 \(A_t\) として測定すれば、集団の輪郭がほぼ一定でも、内部の関係がどの程度再編成されたかを調べられる。
ここで、構造の更新と機能の維持との関係を整理できる。例えば、時刻 \(t\) の構造を \(S_t\)、その構造から測定される更新量を \(A_t\)、機能の評価量を \(J_t\)、構成要素の補充率を \(R_t\) とする。このとき、\(A_t\) は構造の関係がどの程度変化したかを表し、\(J_t\) は物質輸送や反応速度などの機能がどの程度実現されたかを表す。\(R_t\) は、構成要素がどの程度補充されているかを表す。これらは異なる物理的な意味を持つため、同じ系について同時に測定できても、単純に一つの値へまとめることは適切とは限らない。
これらの関係を検証するには、構造を変更する介入と、環境を変更する介入を分けることが有効になる。例えば、粒子間の相互作用係数を変更すれば、集団形成や内部の再配置へ及ぼす影響を調べられる。外部駆動を停止すれば、運動や形態の維持がエネルギー供給へどの程度依存しているかを調べられる。構成要素を除去すれば、形態や機能の回復能力を調べられる。さらに、維持機構の一部を停止すれば、その機構が構成要素の補充や機能の継続へどのように寄与しているかを検証できる。
ここでは、介入によって生じる差も、対応する観測量ごとに解釈する必要がある。例えば、非相反性を除去した後に重心速度が低下した場合、その介入が集団の移動へ影響した可能性を示す。一方、形成された集団の寿命が同じままであれば、少なくともその条件では、移動と持続の機構が異なる役割を持っている可能性がある。また、維持機構を停止した後に構造の輪郭がしばらく残っていても、必要な構成要素の補充率が低下している場合には、形態の持続と維持機構の継続を区別できる。
形成、持続、自己維持の関係を、測定と検証の対象として整理すると、次のようになる。
| 評価段階 | 成立する現象 | 必要な観測 | 因果関係を調べる操作 |
|---|---|---|---|
| 構造の形成 | 局所的な相互作用から集団的な秩序が現れる。 | 形成頻度、密度分布、集団サイズを測定する。 | 相互作用係数、粒子密度、初期配置などを変更する。 |
| 構造の持続 | 形成された形態や関係構造が一定時間保たれる。 | 寿命分布、構造振幅、形態差を測定する。 | 駆動、相互作用、境界条件などを変更する。 |
| 構造の安定性 | 外乱の後に状態や機能が元の範囲へ戻る。 | 摂動後の状態差、回復率、回復時間を測定する。 | 構成要素の除去、位置の変更、駆動の一時的な変化を与える。 |
| 機能の維持 | 物質輸送、触媒反応などの機能が継続する。 | 輸送量、反応速度、産出量を測定する。 | 基質供給や反応条件、内部構造を変更する。 |
| 維持機構の再生産 | 構成要素や維持を担う機構が内部の過程によって補充される。 | 構成要素の生成率、修復率、機構間の依存関係を測定する。 | 構成要素の除去や合成機構の停止によって、補充と機能の変化を調べる。 |
この表の各段階は、一つの構造が順番に必ず到達する状態を表すものではない。例えば、外部から駆動される微粒子集団では、形態の持続や外乱への回復が成立する場合がある一方、構成要素を内部で生成する機構は存在しない場合がある。また、化学反応を伴う触媒集団では、反応機能と空間的な自己組織化が結び付いていても、触媒自身の再生産が成立しているとは限らない。各段階は、構造について何を説明できたかを区別するための評価対象である。
一方、構造の更新量だけから、物理的な駆動や熱力学的な散逸を直接求めることはできない。例えば、近接グラフの構造振幅がゼロであっても、粒子が外部からエネルギーを受け取り、集団全体として移動し続ける場合がある。その運動を維持するためにどの程度のエネルギーが供給され、どの程度の散逸が生じるかを評価するには、対応する運動方程式と熱力学的な収支が必要になる。構造の測定と、物理的な駆動の説明は、互いに補完する異なる記述である。
さらに、内部の関係構造が大きく更新されていることと、その更新が自己維持に寄与していることも区別される。例えば、触媒の空間配置が変化した場合、その変化が反応速度へどのように影響したかを調べる必要がある。また、反応速度が維持されている場合でも、触媒自身が補充されているかを確認する必要がある。構造の更新が維持機構の再生産へ関係するという主張には、構造、機能、構成要素の補充を対応付けた観測と介入が必要になる。
10. 結論
集団構造の形成を説明するには、観測された形態と、それを生み出した運動規則を区別する必要がある。例えば、多数の粒子が一か所に凝集していても、粒子間の引力によって接近した場合と、自己推進する粒子が混雑によって移動しにくくなり、密度の高い領域へ蓄積した場合では、形成機構が異なる。前者では粒子間距離に応じた力が接近を生み、後者では密度の上昇が移動速度を低下させ、その滞留が密度をさらに高める。似た密度分布が観測されたとしても、粒子の速度、相互作用、環境条件を測定すれば、異なる因果関係を区別できる。
さらに、非相反性がどの階層に存在するかによって、説明の対象が異なる。粒子対については、二方向の有効力が相反的な関係を満たすかを調べられる。一方、集団全体については、種類ごとの密度場や流束の間に現れる結合を調べる必要がある。微視的に非相反な相互作用が存在しても、粒子の向きや相関を粗視化した結果、巨視的には平衡系に対応する記述が成立する場合がある。逆に、直接の粒子間相互作用が相反的でも、能動粒子と受動粒子の運動性の違いなどによって、巨視的な有効結合に非相反性が現れる場合がある。粒子間の規則と集団の運動を結び付けるには、何を変数として残し、どの自由度を消去したかを明確にする必要がある。
実在する物質系では、運動を生み出す駆動機構も説明の対象になる。油滴の追跡運動では、ミセルを介した物質輸送が濃度勾配を形成し、その勾配への応答が油滴の移動へ結び付く。触媒の非相反な有効相互作用では、基質の消費と生成物の産出が周囲の濃度分布を変え、その変化が別の触媒の移動へ影響する。能動・受動コロイドの集合体では、外部電場による駆動が粒子の運動や集団の再編成へ関与する。これらの系で共通するのは、局所的な相互作用と集団運動が結び付いていることである。一方、運動を維持する物質やエネルギーの供給源は異なるため、その成立条件は媒質、反応、外部駆動を含めて検証される。
生命の自己維持では、構造の形成と持続に加えて、維持に必要な構成要素や機構がどのように補充されるかという問題が生じる。細胞では、外部から取り込んだ資源が代謝反応によって変換され、膜や酵素などの構成要素の合成と修復へ利用される。膜は必要物質の取り込みを支え、その取り込まれた物質を利用する反応が膜や反応系の維持へ寄与する。このように、維持機構が生成物を作り、その生成物が維持機構の継続を支える関係によって、個々の分子が交換されても構造と機能の連続性が保たれる。
成長や分裂に似た集団運動が観測された場合でも、分裂後の集団へ継承可能な情報が伝わるかどうかは、別の測定を必要とする。また、触媒の反応循環が空間的な自己組織化を生んだ場合でも、その反応を担う触媒自身が内部で再生産されているかどうかは、独立した問題になる。形態の分裂、反応機能の持続、構成要素の補充、維持機構の再生産、情報の継承は、それぞれ異なる因果関係として検証される。
形成、持続、維持機構の再生産は、単純な構造から複雑な構造へ進む一つの尺度を表すものではない。例えば、外部から駆動される粒子集団では、長時間の持続と外乱への回復が成立する場合がある一方、構成要素の内部的な再生産は存在しない場合がある。また、反応循環を持つ触媒集団では、化学的な機能と空間構造の形成が結び付いていても、維持機構自身の補充まで成立しているとは限らない。ある性質が確認されたことから別の性質を推定する際には、その間を結ぶ具体的な機構と観測が必要になる。
集団構造を理解するうえで区別すべきなのは、何が構造を形成するか、何がその構造を持続させるか、何が維持に必要な機構を再生産するかという三つの因果関係である。自己推進と混雑、非相反な結合、媒質を介した物質輸送、外部駆動、内部の代謝反応は、それぞれ異なる条件の下で、集団の形成や運動、機能の維持へ寄与する。観測された形態を、相互作用、時間発展、物質・エネルギー収支、構造の更新、機能の産出へ分解し、それぞれに対応する介入と測定を行うことで、非平衡な自己組織化と生命の自己維持を、具体的な成立機構に基づいて説明できる。
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