ある状態から別の状態への遷移が基本方程式によって許されていても、その遷移を実現する操作が存在するとは限らない。例えば、磁性体を構成する多数のスピンを考える。個々のスピンに独立した操作を加えられる場合と、磁性体全体に一様な外部磁場を加える場合では、実現できる状態変換が異なる。前者では特定の位置にあるスピンだけを回転させることができる一方、後者では同じ磁場がすべてのスピンに作用する。どちらも量子力学の法則に従う操作だが、利用できる制御変数が異なるため、到達可能な状態の集合も一致しない。
操作の種類に加えて、操作時間も到達可能性を制限する。空間的に離れた二つの領域に量子相関が存在していても、その相関を利用するには、離れた自由度に働きかける操作や、相関を利用可能な形に移す過程が必要になる。局所的な相互作用を持つ量子多体系では、情報や相関が伝わる速度にも制約がある。短時間で実現可能な状態変換と、系の大きさに応じて長い時間をかければ実現可能になる状態変換は、同じ操作集合を考えていても区別される。状態遷移の可能性を判断するには、基本方程式に加えて、制御できる自由度と操作時間を指定する必要がある。
この区別は、量子力学と熱力学第二法則の関係に現れる。量子力学では、閉じた系の時間発展はユニタリー演算子で記述され、数学的には逆向きの変換が存在する。一方、熱力学第二法則には、熱平衡状態から循環操作によって仕事を取り出せないというプランクの原理や、断熱過程におけるエントロピーの非減少性という形式がある。前者は仕事の抽出可能性を、後者は状態に割り当てられるエントロピーの大小関係を制限する。いずれも、どの状態を熱平衡とみなし、どの操作を熱力学的な操作として認めるかに依存するため、量子力学の可逆性との関係を考えるには、それぞれの成立条件を明確にする必要がある。
さらに、エントロピーという量自体にも、評価対象の違いがある。閉じた量子系がユニタリー発展するとき、系全体のフォン・ノイマンエントロピーは保存される。しかし、熱力学では、系のすべての量子状態を識別するのではなく、温度、エネルギー密度、磁化などのマクロな物理量によって状態を記述する。系全体の量子情報を表すエントロピーと、マクロな熱平衡状態に対応するエントロピーを同じものとして扱えば、どの量について増大則を主張しているのかが不明確になる。操作の制約と観測尺度の区別は、仕事の抽出不可能性とエントロピー増大則をそれぞれ定式化するために必要となる。
熱力学第二法則の成立範囲は、熱平衡状態の定義、許される操作、評価するエントロピー、操作時間の組み合わせによって定まる。これらの条件を量子力学の中で整合的に定義できれば、微視的なユニタリー発展の可逆性を維持したまま、巨視的な状態遷移について仕事の抽出やエントロピーの減少を制限する定理を導くことができる。そこで成立する不可逆性は、基本方程式が逆向きの時間発展を禁止するという意味ではなく、指定された状態と操作の範囲で、熱力学的に許される遷移が制限されるという意味を持つ。
1. 可逆な時間発展から不可逆な法則は導けるのか
閉じた量子系の状態を密度行列 \(\rho\) で表す。密度行列は、一つの状態ベクトルで表される純粋状態と、複数の状態を確率的に組み合わせた混合状態の両方を記述できる。系にユニタリー演算子 \(U\) が作用すると、密度行列は次のように変換される。
\rho’=U\rho U^{\dagger},\qquad U^{\dagger}U=UU^{\dagger}=I
\]
ここで \(\rho’\) は変換後の密度行列、\(U^{\dagger}\) は \(U\) の随伴演算子、\(I\) は恒等演算子である。ユニタリー演算子では随伴演算子が逆演算子に一致するため、変換後の状態に \(U^{\dagger}\) を作用させれば、元の状態を数学的に復元できる。実際に、変換後の密度行列を逆向きに変換すると、\(U^{\dagger}\rho’U=U^{\dagger}U\rho U^{\dagger}U=\rho\) となる。ユニタリー発展を中心とする量子論の構造は、既稿「多世界解釈とユニタリー発展の構造」でも整理している[1]。
この可逆性は、変換が数学的に逆演算子を持つことを保証する。しかし、逆演算子を実現するために必要な外部制御が利用できるかどうかは、別の条件によって決まる。量子力学で演算子 \(U^{\dagger}\) が定義できても、実際の操作装置が生成できるハミルトニアンに制限があれば、その演算子に対応する時間発展を実行できるとは限らない。例えば、ある相互作用を時間的に反転させなければ元の状態へ戻せない場合、外部からその相互作用の符号を変更できるかどうかが実現可能性を左右する。逆向きの時間発展が数式として存在することと、制御装置によって逆操作を構成できることは、異なる条件を満たす必要がある。
制御可能な演算子の違いは、二つのスピンだけを考えても確認できる。両方のスピンが上向きの状態を \(|\uparrow\uparrow\rangle\) とし、二つのスピンに同じ回転操作 \(u\) を施す場合を考える。このとき、全体の操作は \(U=u\otimes u\) と書ける。記号 \(\otimes\) は、二つのスピンに作用する演算子を組み合わせるテンソル積を表す。両方のスピンに同じ操作が作用するため、初期状態が \(|\uparrow\uparrow\rangle\) であれば、変換後も同じ一粒子状態を持つ二つのスピンの積状態になる。
一方、二番目のスピンだけを反転させる操作を許せば、次の状態変換を実現できる。
(I\otimes\sigma_x)|\uparrow\uparrow\rangle
=|\uparrow\downarrow\rangle
\]
ここで \(\sigma_x\) はスピンの上向きと下向きを入れ替えるパウリ演算子であり、\(I\) は一番目のスピンに何も変更を加えないことを表す。この変換はユニタリー操作として許されるが、同一の一粒子演算子を二つのスピンに作用させる \(u\otimes u\) という形式では実現できない。初期状態では両方のスピンが同じ状態であり、同じ演算子を作用させても両者の状態は一致するからである。操作対象を個別に指定できるか、全体へ一様に作用させるかという制御条件だけで、到達可能な状態は具体的に制限される。
この例ではスピンが二つしかないため、熱力学第二法則そのものを表しているわけではない。しかし、許される操作の集合が状態遷移を制限する仕組みは明確になる。多数の粒子からなる系でも、個々の粒子を独立に制御できる場合と、外部磁場や圧力など少数のマクロな変数によって操作する場合には、利用可能な変換が異なる。粒子数が増えるほど、任意の量子状態を指定して操作することと、限られた外部変数を通じて系に作用することの隔たりは、より多くの自由度に及ぶ。
状態遷移を制限する条件は、基本方程式、操作、時間という三つの水準で区別できる。
| 評価対象 | 定める内容 | 状態遷移への制約 |
|---|---|---|
| 基本方程式 | 量子状態がどのような時間発展に従うかを定める。 | 閉じた系の時間発展がユニタリー演算子によって表され、逆演算子を持つことが保証される。 |
| 許される操作 | 外部から制御できる変数と、その変数によって生成できるハミルトニアンを定める。 | 任意のユニタリー変換のうち、与えられた制御によって実現できる変換が選ばれる。 |
| 操作時間 | 操作を実行できる時間の長さと、系の大きさに対する時間尺度を定める。 | 局所的な相互作用のもとで、情報や相関を操作によって利用可能にできる空間的な範囲が制限される。 |
| 観測尺度 | 状態のどの物理量を比較し、どの状態をマクロに同等とみなすかを定める。 | ミクロな状態が異なっていても、指定したマクロな物理量について同じ状態として記述できる。 |
表の最初の三つは、どの状態変換を実現できるかに関係する。最後の観測尺度は、実現された状態変換の結果をどのような量で評価するかを定める。例えば、二つの量子状態が異なる密度行列で表されていても、測定するエネルギー密度や磁化が一致する場合には、マクロな観測結果だけから両者を区別することはできない。このとき、ミクロな状態の違いが操作後のマクロな応答に現れるかどうかは、許された操作の性質によって検討される。操作の制約と観測尺度の制約を組み合わせることで、熱力学的な状態遷移を量子力学の中で定義するための条件が整う。
既稿「時間はなぜ一方向に進むのか」は、量子観測の結果が環境との相互作用を通じて記録や履歴として残る過程に注目し、微視的な可逆性と巨視的な不可逆性の関係を論じた[2]。熱力学的な不可逆性には、記録形成とは別に、状態間の到達可能性を通じた定式化がある。Lieb と Yngvason は、断熱的な到達可能性に基づいて熱力学第二法則の数学的構造を検討した[3]。この枠組みでは、ある状態から別の状態へ断熱的な操作によって到達可能かどうかという関係を基礎に置き、その関係とエントロピーによる状態の順序付けを結び付ける。
到達可能性による考え方では、状態を特徴付ける物理量だけでなく、その状態へ移るために許される操作が法則の内容に含まれる。例えば、初期状態と最終状態のエネルギーを比較する場合、どのような外部操作でも認めるなら、取り出せる仕事の範囲は広くなる。操作を熱力学的な条件に限定すると、同じ初期状態についても仕事の抽出可能性に制約が生じる。エネルギー保存則が状態変化の収支を規定するのに対し、熱力学第二法則は、指定された条件のもとで実現可能な状態遷移をさらに制限する。
可逆なユニタリー発展から熱力学的な不可逆性を理解するためには、この二つの記述水準を対応させる必要がある。量子力学の基本方程式はミクロな状態変換を与え、熱力学はマクロな物理量によって区別される状態の間に、操作条件を伴った制約を与える。熱平衡とみなす状態、外部から実行できる操作、その結果を比較する物理量を整合的に定義すれば、微視的な可逆性を維持したまま、仕事の抽出不可能性やエントロピーの非減少性を論じられる。両者の関係を決めるのは、可逆な時間発展を不可逆な方程式に置き換える操作ではなく、量子力学が記述する状態変換のうち、熱力学の対象となる範囲を特定することである。
2. 純粋量子状態から仕事を取り出せてしまう問題
熱平衡状態から仕事を取り出せるかどうかを考えるには、量子状態の受動性という性質が必要になる。受動状態とは、系のハミルトニアンを操作の前後で同じ値に戻す循環操作を行っても、平均エネルギーを減少させられない状態である。Pusz と Woronowicz は、受動性と熱平衡を結び付ける一般的な理論を示した[4]。Lenard も有限量子系における受動性とギブス状態の関係を明らかにしている[5]。受動性は、状態が時間的に変化しないという性質ではなく、循環的な操作によって仕事を抽出できるかどうかを判定する性質である。
系のエネルギーを表すハミルトニアンを \(H\)、初期状態を \(\rho\)、循環操作によるユニタリー演算子を \(U\) とする。外部へ取り出された仕事を、操作前後の系の平均エネルギーの差として定義すると、次のようになる。
W_{\mathrm{ext}}(U)
=\operatorname{Tr}(H\rho)
-\operatorname{Tr}(HU\rho U^{\dagger})
\]
ここで \(\operatorname{Tr}\) は行列の対角成分の和を取る演算であり、\(\operatorname{Tr}(H\rho)\) は操作前の平均エネルギー、\(\operatorname{Tr}(HU\rho U^{\dagger})\) は操作後の平均エネルギーを表す。両者の差が正であれば、系のエネルギーが減少した分だけ外部へ仕事を取り出したことになる。受動状態では、対象とするすべての循環的なユニタリー操作について \(W_{\mathrm{ext}}(U)\leq 0\) が成立する。つまり、どの操作を選んでも正の仕事を取り出せないという条件である。
この条件が何を意味するかは、二つのエネルギー準位を持つ量子系で確認できる。エネルギーの低い基底状態を \(|0\rangle\)、高い励起状態を \(|1\rangle\) とし、それぞれのエネルギーを \(E_0\)、\(E_1\) とする。\(E_1>E_0\) であり、初期状態が励起状態 \(|1\rangle\) である場合を考える。この状態に、基底状態と励起状態を入れ替えるユニタリー操作を作用させると、操作後の状態は \(|0\rangle\) になる。操作前後でハミルトニアンが同じなら、取り出される仕事は次のように表される。
W_{\mathrm{ext}}=E_1-E_0>0
\]
励起状態から基底状態へ移ることによって、両者のエネルギー差が仕事として取り出される。この純粋状態は受動的ではない。一方、初期状態が基底状態であれば、任意のユニタリー操作によって平均エネルギーを基底エネルギーより低くすることはできないため、基底状態は受動的である。純粋状態であるという性質だけでは、仕事を取り出せるかどうかは決まらない。初期状態がどのエネルギー準位に分布しているかが必要になる。
一般の有限量子系でも、基底状態より高い平均エネルギーを持つ純粋状態については、任意のユニタリー操作を許せば、状態ベクトルを基底状態へ移す演算子を数学的に構成できる。その場合、初期状態の平均エネルギーを \(E_{\psi}\)、基底エネルギーを \(E_0\) として、\(E_{\psi}-E_0\) に相当する仕事を取り出せる。この議論では、系全体の量子状態を把握し、その状態に対応するユニタリー演算子を実現できることを前提としている。粒子数が多数の場合、その演算子が少数の外部制御変数によって生成できるか、有限の操作時間内に実行できるかは、別途検討する必要がある。
これに対して、正の温度に対応するギブス状態では、エネルギーの高い準位ほど占有確率が小さくなる。ギブス状態を \(\rho_{\beta}\) とすると、その分布は次のように書ける。
\rho_{\beta}
=\frac{e^{-\beta H}}{Z},
\qquad
Z=\operatorname{Tr}(e^{-\beta H}),
\qquad
\beta\geq 0
\]
\(\beta\) は逆温度、\(Z\) は占有確率の総和を 1 に規格化する分配関数である。温度が正であれば \(\beta>0\) となり、エネルギーの高い準位ほど指数関数的に占有確率が小さくなる。ギブス状態では、エネルギー準位間の占有確率をユニタリー操作によって並べ替えても、平均エネルギーをそれ以上減少させられない。このため、ギブス状態は受動的である。純粋な励起状態とギブス状態では、同じハミルトニアンを持つ系であっても、占有確率の分布が異なるため、仕事の抽出可能性に差が生じる。
ところが、巨視的な熱平衡を判定するときには、系全体のエネルギー固有状態の占有確率を一つずつ調べるわけではない。多数の粒子からなる系では、エネルギー密度、磁化、粒子数密度など、マクロな観測量が平衡状態に対応する値を示すかどうかによって熱平衡を判断する。Goldstein らは、巨視的な量子系において、一つの波動関数で記述される純粋状態でも、マクロな観測量が熱平衡に対応する値を示し得ることを論じた[6]。全系の量子状態が純粋であることと、巨視的な測定結果が熱平衡に一致することは両立する。
例えば、あるエネルギー範囲に属する多数の量子状態のうち、エネルギー密度や磁化が熱平衡の値に集中している純粋状態を考える。この状態をマクロな測定によって調べれば、熱平衡に対応する結果が得られる。しかし、系全体の波動関数を区別できるような精密な操作まで許した場合には、純粋状態を基底状態へ移すユニタリー演算子を構成できる。有限温度の熱平衡に対応する初期状態のエネルギーが基底エネルギーより高ければ、その差を仕事として取り出せる。熱平衡をマクロな観測量で判定する一方、仕事の抽出には任意のミクロな状態変換を認めているため、二つの判定に用いる操作と情報の範囲が一致していない。
純粋量子状態と熱力学エントロピーの関係にも、同じ種類の区別が現れる。純粋量子状態を \(\rho=|\psi\rangle\langle\psi|\) とすると、全系のフォン・ノイマンエントロピーは次のようになる。
S_{\mathrm{vN}}(\rho)
=-\operatorname{Tr}(\rho\log\rho)
=0
\]
\(|\psi\rangle\) は状態ベクトルであり、\(|\psi\rangle\langle\psi|\) はその状態に対応する密度行列を表す。純粋状態の密度行列は固有値が 1 と 0 からなり、\(0\log 0\) を極限値の 0 として扱うため、フォン・ノイマンエントロピーはゼロになる。これは、全系の量子状態が一つの純粋状態として記述されることに対応している。
一方、熱力学的なエントロピーは、マクロな物理量によって区別される熱平衡状態の性質を表す。多数のミクロな状態が同じマクロな平衡状態に対応する場合、その熱力学エントロピーは正の値を持ち得る。純粋状態のフォン・ノイマンエントロピーがゼロであることは、その状態がマクロな熱平衡を表すことと矛盾しない。両者は状態を記述する情報の範囲が異なるからである。
これらの区別をまとめると、熱平衡、受動性、エントロピーは、それぞれ異なる判定条件を持つ。
| 評価対象 | 判定に用いる情報 | 判定から導かれる性質 |
|---|---|---|
| マクロな熱平衡 | エネルギー密度や磁化などのマクロな観測量を、熱平衡に対応する値と比較する。 | 指定されたマクロな物理量が平衡値を示す。任意のユニタリー操作に対する受動性までは保証されない。 |
| 受動性 | 初期状態のエネルギー分布と、許される循環的なユニタリー操作による平均エネルギーの変化を調べる。 | 対象とするすべての循環操作について、正の仕事を取り出せない。 |
| 純粋状態のフォン・ノイマンエントロピー | 系全体の密度行列の固有値からエントロピーを計算する。 | 純粋状態ではゼロになる。マクロな熱平衡の熱力学エントロピーを直接表す量ではない。 |
| 熱力学エントロピー | 熱平衡を記述するマクロな物理量と、それに対応する状態の性質を用いる。 | 純粋量子状態がマクロな熱平衡を表す場合にも、正のエントロピーを割り当て得る。 |
表に示したように、マクロな熱平衡という判定は、任意のユニタリー操作による仕事の抽出不可能性を自動的には保証しない。また、純粋状態のフォン・ノイマンエントロピーがゼロであることから、熱力学エントロピーもゼロであるとは結論できない。状態の同じ性質を異なる方法で測定しているのではなく、それぞれが別の条件を評価しているためである。量子力学の中で熱力学第二法則を導くには、これらの判定を同一の操作条件と観測尺度のもとで整合させる必要がある。
閉じた量子系がマクロな熱平衡に近い観測値を示す仕組みについては、固有状態熱化仮説に関する研究が進められてきた。Deutsch は、孤立量子系のエネルギー固有状態と統計力学的な振る舞いの関係を考察した[7]。Srednicki は、量子カオスを示す系で、個々のエネルギー固有状態における観測量が熱的な値を示す性質を検討した[8]。Rigol らは、孤立量子多体系の時間発展を具体的な模型で解析し、非平衡状態から熱平衡に対応する観測値が現れる仕組みを調べた[9]。これらの研究は、全系がユニタリー発展によって純粋性を維持しながら、マクロな観測量について熱化が成立する理由を理解する基礎となっている。
ただし、観測量が熱的な値を示すという性質と、任意の循環操作によって仕事を取り出せないという性質は、要求する条件が異なる。固有状態熱化仮説は、特定の観測量がエネルギー固有状態においてどのような値を取るかに関係する。一方、受動性は、初期状態にユニタリー操作を施した後の平均エネルギーまで比較する。熱化についての知見だけでは、操作後のエネルギーが常に初期値以上になることを保証できない。
多数の粒子からなる系では、この違いが熱力学第二法則の定式化に直接関わる。有限温度に対応するマクロな熱平衡を表す純粋状態は、全系の波動関数を指定した任意のユニタリー操作のもとでは、基底状態への変換によって仕事を取り出し得る。その変換には、ミクロな状態を区別する精密な制御が必要となる。外部から操作できる変数をマクロな物理量に限定すれば、そのような任意の状態変換を実行可能な操作として認める必要はなくなる。熱平衡を判定する物理量と、仕事を抽出するための操作を整合的に定義することによって、純粋量子状態を含む熱平衡から巨視的な仕事を取り出せない条件を明らかにできる。
3. 熱平衡とマクロ操作を量子力学の中で定義する
Chiba、Yoneta、Hamazaki、Shimizu は、閉じた量子多体系について、熱平衡状態と断熱操作をマクロな物理量に基づいて定義し、熱力学第二法則の二つの形式を証明した[10]。その理論では、熱平衡を判定する観測量の集合と、外部から操作できる制御変数の集合を明確に区別している。熱平衡を判定するときには、対象となるすべての相加物理量を考慮する。一方、操作には、系の大きさに依存しない有限個の制御変数を用いる。この組み合わせによって、マクロには熱平衡を表す純粋量子状態にも、仕事の抽出不可能性とエントロピーの非減少性を適用できる条件が得られる。
3.1 熱平衡を判定する相加物理量
磁性体の全磁化は、各位置のスピンが持つ磁化を足し合わせた物理量である。同様に、多数の粒子からなる系の全エネルギーも、局所的なエネルギーの寄与を足し合わせて表せる。このように、局所的な観測量の和として構成される物理量を相加物理量と呼ぶ。熱力学で扱うエネルギーや磁化は、典型的な相加物理量である。
空間の次元を \(d\)、系の一辺の長さを \(L\) とし、粒子が格子上に配置されている場合を考える。格子点の総数を \(N=L^d\) とする。各位置 \(\boldsymbol{r}\) の近傍に作用する局所観測量を \(a_{\boldsymbol{r}}\) とすると、相加物理量 \(A_L\) は次の形で表せる。
A_L=\sum_{\boldsymbol{r}\in\Lambda_L}a_{\boldsymbol{r}}
\]
\(\Lambda_L\) は系全体の格子点の集合であり、\(a_{\boldsymbol{r}}\) は位置 \(\boldsymbol{r}\) の近傍にある有限個の自由度へ作用する観測量である。例えば、各格子点のスピンの \(z\) 方向の成分を足し合わせれば、全磁化が得られる。さらに、隣接するスピン同士の相関を表す局所観測量を足し合わせたものも、相加物理量になる。相加物理量には、一つの粒子だけを調べる観測量とは異なり、系全体にわたる局所的な寄与の総和という構造がある。
粒子数が増えると、全磁化や全エネルギーのような相加物理量は一般に系の大きさに応じて増大する。そのため、マクロな状態の比較では、相加物理量を粒子数 \(N\) で割った密度を用いる。状態を密度行列 \(\rho_L\) で表すと、相加物理量の密度の期待値は次のようになる。
a_L(\rho_L)
=\operatorname{Tr}\left(\rho_L\frac{A_L}{N}\right)
\]
ここで \(a_L(\rho_L)\) は、状態 \(\rho_L\) における相加物理量 \(A_L\) の密度の期待値である。全磁化を用いる場合、この値は一つの格子点当たりの平均磁化に対応する。系を大きくした極限でも、この密度は有限の値として比較できる。異なる粒子数を持つ系について熱平衡を考えるとき、全磁化そのものではなく磁化密度を比較する理由はここにある。
従来の巨視的熱平衡の定義では、あらかじめ選んだ有限個のマクロ観測量が平衡値を示すことを条件にする場合がある。この考え方は MATE と呼ばれ、Goldstein らは巨視的熱平衡と微視的熱平衡の関係を整理している[11]。しかし、有限個の観測量だけを調べた場合、その観測量について平衡値を示す状態であっても、別の相加物理量では平衡から外れている可能性が残る。
例えば、全エネルギーと全磁化が熱平衡状態と一致していても、近接するスピン間の相関を足し合わせた量が平衡値からずれている場合が考えられる。全エネルギーと全磁化だけを測定すれば、二つの状態を区別できない。しかし、スピン間の相関を表す相加物理量を追加すれば、その違いを検出できる。有限個の観測量による一致は、それ以外の観測量についての一致を保証しないため、熱平衡の判定に用いる物理量の選び方が状態の分類に影響する。
Chiba らは、この問題に対して、すべての相加物理量の密度の期待値が、熱平衡に対応するギブス状態と一致することを要求した。この条件で定義される熱平衡を iMATE と呼ぶ。これは infinite-observable macroscopic thermal equilibrium の略称であり、無限個の相加観測量によって特徴付けられるマクロ熱平衡を意味する。
ギブス状態を \(\rho_L^{\mathrm{can}}\) と表すと、空間的に一様な場合の iMATE の条件は、任意の相加物理量 \(A_L\) について、熱力学極限で次の等式が成立することとして表せる。
\lim_{L\to\infty}
\operatorname{Tr}\left(\rho_L\frac{A_L}{N}\right)
=
\lim_{L\to\infty}
\operatorname{Tr}\left(\rho_L^{\mathrm{can}}\frac{A_L}{N}\right)
\]
左辺は判定対象の量子状態における相加物理量の密度、右辺は対応するギブス状態における同じ量の密度である。熱力学極限は、格子の線形サイズ \(L\) を無限大へ近づける極限を表す。この等式を、有限個の観測量についてだけでなく、対象となるすべての相加物理量について要求する。局所観測量が作用する範囲は任意の有限の大きさまで考慮するが、その範囲は系全体の大きさ \(L\) に依存せず固定される。
この定義は、二つの状態の密度行列が完全に一致することを要求しているわけではない。ミクロな波動関数が異なっていても、すべての相加物理量の密度が熱力学極限で一致すれば、マクロには同等な状態として扱われる。そのため、iMATE には混合状態だけでなく純粋量子状態も含まれ得る。全系の量子状態を一意に識別することと、熱力学的に意味を持つ物理量について同等であることが区別されている。
また、実際の巨視的な系では、系全体が空間的に一様であるとは限らない。ある領域と別の領域で局所的な状態が異なる場合、系全体で平均した相加物理量だけでは、その違いが相殺されることがある。研究の一般的な定義では、系全体だけでなく、系の大きさに比例するマクロな部分領域についても相加物理量を比較する。これにより、空間的な非一様性を持つ状態も、対応するマクロな観測量によって特徴付けられる。
iMATE の「無限個」は、無限個の測定装置を同時に使用するという意味ではない。熱平衡を定義する際に、比較対象となる相加物理量を有限個の固定されたリストへ限定しないという数学的な条件である。状態が熱平衡を表すことを厳密に判定するための条件と、実験で個々の観測量を測定する手順は区別される。
3.2 マクロ操作は有限個の制御変数で行う
熱平衡の判定にすべての相加物理量を用いる一方、外部から系を操作するときには、制御できる変数の個数を制限する。磁性体を例にすると、外部磁場を変化させることで多数のスピンにまとめて作用できる。磁場の大きさを一つの制御変数として指定すれば、粒子数が増えても、外部から独立に指定する変数の個数は増えない。このような操作は、各粒子に別々の制御信号を与える場合とは異なる。
量子力学では、外部制御による操作を、時間とともに変化するハミルトニアンで記述する。Chiba らは、マクロ操作を次の形式のハミルトニアンによって生成されるユニタリー発展として定義した。
H_L(t)=H_L-\sum_{\mu=1}^{m}f^{\mu}(t)B_L^{\mu}
\]
\(H_L\) は操作の基準となる系のハミルトニアン、\(B_L^{\mu}\) は外部場が結合する相加物理量、\(f^{\mu}(t)\) は時刻 \(t\) における外部制御変数である。添字 \(\mu\) は制御変数を識別するための番号であり、\(m\) は独立した制御変数の個数を表す。添字 \(L\) は系の線形サイズを示す。総和の各項は、外部場が対応する相加物理量に作用することを表している。
例えば、磁場によってスピン系を操作する場合、\(B_L^1\) を全磁化、\(f^1(t)\) を時間的に変化する磁場の大きさとして考えられる。磁場が変化すると、ハミルトニアンに含まれる磁化との結合項も変化する。その結果、量子状態は時間依存ハミルトニアンに従ってユニタリー発展する。外部から指定するのは磁場の時間変化であり、各スピンの波動関数を個別に指定して変換する操作ではない。
マクロ操作の定義では、制御変数の個数 \(m\) を系の大きさ \(L\) に依存しない有限値に固定する。また、制御関数の大きさにも系のサイズに依存しない上界を設ける。操作が作用する領域は系全体に限られず、マクロな部分領域でもよい。ただし、個々の格子点ごとに独立した制御変数を割り当て、その個数を粒子数とともに増やす操作は、この定義に含まれない。
この違いは、全磁化を変化させる操作と、特定のスピンだけを選択して反転させる操作を比較すると理解できる。全磁化に結合する磁場では、指定された領域の多数のスピンに共通の制御が作用する。一方、各格子点のスピンに独立した磁場を与える場合には、格子点ごとに制御変数を用意する必要がある。後者では粒子数に応じて操作の自由度が増加するため、前者より広い状態変換を実行できる可能性がある。どちらも量子力学に従う操作だが、熱力学的な操作として許される範囲は異なる。
熱平衡の判定とマクロ操作の定義を比較すると、次の関係になる。
| 評価対象 | 対象とする物理量 | 条件と役割 |
|---|---|---|
| iMATE による熱平衡 | 対象となるすべての相加物理量を考慮する。 | 熱力学極限で、それぞれの密度の期待値が対応するギブス状態と一致することを要求する。 |
| マクロ操作 | 有限個の相加物理量に外部制御変数を結合させる。 | 制御変数の個数と大きさを系のサイズに依存せず制限し、時間依存ハミルトニアンによるユニタリー発展を生成する。 |
| 操作時間 | マクロ操作を継続する時間を指定する。 | 第二法則の証明では、操作時間が系の大きさに依存しない条件を用いる。 |
| マクロな応答 | 操作後の相加物理量の密度を比較する。 | 初期状態がマクロに同等であれば、指定された短時間のマクロ操作後も同等性が保存される。 |
熱平衡の判定に用いる相加物理量は無限個である一方、操作の生成に使用する相加物理量は有限個である。この非対称性には理由がある。熱平衡の判定では、特定の観測量だけが平衡値を示す状態を、真の熱平衡状態と取り違えることを防ぐ必要がある。一方、操作の側では、多数の粒子を個別に制御するような任意のユニタリー変換を除外し、熱力学で想定する外部操作に対応する範囲を定める必要がある。状態の判定条件を広く取り、操作の自由度を制限することで、両者が整合する。
この条件の妥当性は、制約を外した場合の反例からも確認できる。研究では、熱平衡を有限個の相加物理量だけで判定した場合に、熱平衡として分類された状態からマクロ操作によって巨視的な仕事を取り出せる例が構成されている。二次元の XY 模型において、磁化成分と相互作用エネルギーという三つの相加物理量だけを用いると、対応するギブス状態とそれらの値が一致していても、プランクの原理に反する状態を排除できない。観測量の集合を限定したため、仕事の抽出可能性に関わる状態の違いが平衡判定に反映されなかったのである。
また、iMATE を熱平衡として採用していても、各局所自由度を独立に制御できる操作まで許すと、系の大きさに依存しない操作時間で巨視的な仕事を取り出せる反例が存在する。ここでは熱平衡の定義は維持されているが、操作の自由度を拡張したことによって、マクロ操作に対して成立する仕事の抽出不可能性が失われる。熱平衡の定義を十分に限定することと、許される操作を適切に限定することは、それぞれ独立に必要な条件である。
さらに、操作時間を系の大きさに依存しない範囲へ制限すると、マクロに同等な二つの初期状態は、同じマクロ操作を受けた後もマクロに同等であることが証明される。この結果には、局所的な相互作用による情報伝播の速度を制限するリーブ・ロビンソン限界が用いられる。有限時間の発展では、相加物理量に対応する観測量の広がりが制御されるため、初期状態のマクロな同等性を操作後の物理量の期待値へ引き継げる。ミクロな波動関数が異なっていても、マクロ操作に対する応答が一致するという性質は、熱力学で平衡状態の応答を少数のマクロな変数によって記述できることと対応している。
熱平衡を判定する観測量、操作に用いる制御変数、操作時間の三つを定義することで、量子力学の中に熱力学的な操作の範囲が定まる。純粋量子状態を含む iMATE についても、任意のユニタリー変換では仕事を抽出できる可能性が残る一方、指定されたマクロ操作では巨視的な仕事の抽出が制限される。熱力学第二法則を量子力学から導くための基礎は、状態の熱平衡性と操作の実行可能性を、このように共通のマクロな物理量を通じて結び付けることにある。
4. マクロ操作では熱平衡から巨視的な仕事を取り出せない
熱力学第二法則には、熱平衡状態にある系を外部から循環的に操作しても、正味の仕事を取り出せないというプランクの原理がある。循環操作とは、外部磁場や圧力などの制御変数を時間的に変化させた後、初期値に戻す操作である。操作の途中では系と外部の間で仕事のやり取りが生じるが、最終的には外部制御の条件が元に戻る。そのため、操作前後の系の平均エネルギーを比較することで、正味の仕事を取り出せたかどうかを判定できる。
量子力学からプランクの原理を導く研究は、今回の成果以前から行われてきた。Tasaki は、量子力学の枠組みで熱力学第二法則を定理として導く方法を検討した[12]。Ikeda らは、孤立量子系におけるユニタリー発展と外部操作のもとで、熱力学第二法則に対応する制約を考察した[13]。Tasaki の別の研究では、熱力学系と操作装置を組み合わせた設定から第二法則を導いている[14]。さらに、Hokkyo と Ueda は、量子状態から抽出可能な仕事の上界を導き、固有状態熱化仮説に基づく仕事抽出の制約を示した[15]。これらの研究では、初期状態の性質や操作方法に条件を設けることで、量子力学と熱力学第二法則の関係が調べられてきた。
Chiba らの研究では、熱平衡を表す純粋量子状態まで対象に含めるため、iMATE とマクロ操作という二つの定義を組み合わせている[10]。iMATE は、すべての相加物理量の密度が熱平衡に対応する値を示す状態である。一方、マクロ操作は、有限個の外部制御変数を相加物理量に結合させて生成するユニタリー発展である。この二つを同時に用いることで、マクロには熱平衡を表す純粋状態から、指定された操作によってどれだけの仕事を取り出せるかを評価できる。
まず、循環操作と仕事の関係を数式で確認する。系の線形サイズを \(L\)、空間次元を \(d\) とし、格子点の総数を \(N=L^d\) とする。操作前のハミルトニアンを \(H_L\)、初期状態を \(\rho_L\) とする。外部制御によってハミルトニアンを時間的に変化させた後、初期の \(H_L\) に戻す。この操作全体を表すユニタリー演算子を \(U_L\) とすると、操作後の状態は次のように書ける。
\rho_L’=U_L\rho_LU_L^{\dagger}
\]
ここで \(U_L^{\dagger}\) は \(U_L\) の随伴演算子であり、\(\rho_L’\) は循環操作後の密度行列である。ハミルトニアンは操作前後で同じ \(H_L\) に戻るが、量子状態まで初期状態へ戻るとは限らない。外部制御が時間的に変化する間に量子状態が発展するため、一般には \(\rho_L’\) と \(\rho_L\) は異なる。この状態の違いによって、操作前後の平均エネルギーにも差が生じ得る。
循環操作によって外部へ取り出された仕事を \(W_{\mathrm{ext},L}\) とすると、閉じた系について、操作前後の平均エネルギーの差から次のように定義できる。
W_{\mathrm{ext},L}
=
\operatorname{Tr}(\rho_LH_L)
–
\operatorname{Tr}(\rho_L’H_L)
\]
\(\operatorname{Tr}(\rho_LH_L)\) は操作前の平均エネルギー、\(\operatorname{Tr}(\rho_L’H_L)\) は操作後の平均エネルギーである。前者が後者より大きければ \(W_{\mathrm{ext},L}>0\) となり、系のエネルギーが減少した分だけ外部へ仕事を取り出したことになる。反対に、操作後のエネルギーが増加すれば、外部から系へ正味の仕事を加えたことになる。閉じた系の断熱操作では熱の流入や流出を考えないため、このエネルギー差が仕事の収支に対応する。
ここで、取り出される仕事の総量と、系の大きさに対する仕事の割合を区別する必要がある。熱力学では、多数の粒子からなる系を大きくしたとき、系の大きさに比例する量を巨視的な量として扱う。例えば、格子点の総数が \(N\) の系から \(W_{\mathrm{ext},L}=wN\) という仕事を取り出せる場合、\(w>0\) が系の大きさに依存しなければ、格子点一つ当たりの抽出仕事は \(w\) であり、熱力学極限でも有限の正の値として残る。一方、仕事の総量が正であっても、その増加が粒子数より遅ければ、格子点当たりの抽出仕事はゼロへ近づく。
この違いは、仕事を系の大きさで割ることで明確になる。
w_{\mathrm{ext},L}
=
\frac{W_{\mathrm{ext},L}}{N}
=
\frac{\operatorname{Tr}(\rho_LH_L)}{N}
–
\frac{\operatorname{Tr}(\rho_L’H_L)}{N}
\]
\(w_{\mathrm{ext},L}\) は格子点一つ当たりの抽出仕事である。全仕事 \(W_{\mathrm{ext},L}\) が粒子数 \(N\) に比例して増大するとき、この値は熱力学極限でも正の値を保つ。反対に、\(W_{\mathrm{ext},L}\) が \(N\) より低い次数でしか増大しない場合、この値はゼロへ近づく。Chiba らのプランクの原理は、熱力学極限で正の抽出仕事密度を得ることができないという形で証明されている。
初期状態 \(\rho_L\) が非負の逆温度 \(\beta\) に対応する iMATE を表し、操作が指定されたマクロ操作の条件を満たすとする。このとき、循環操作の前後で、次の不等式が成立する。
\lim_{L\to\infty}
\frac{\operatorname{Tr}(\rho_L’H_L)}{N}
\geq
\lim_{L\to\infty}
\frac{\operatorname{Tr}(\rho_LH_L)}{N}
\]
左辺は操作後のエネルギー密度、右辺は操作前のエネルギー密度である。ここで \(\beta\) は逆温度であり、\(\beta>0\) は正の絶対温度に対応する。逆温度が非負という条件は、ギブス状態のエネルギー分布が通常の受動性を満たす範囲に対応する。この不等式は、熱力学極限で操作後のエネルギー密度が操作前より低くならないことを表している。仕事の定義と組み合わせると、次の関係が得られる。
\lim_{L\to\infty}w_{\mathrm{ext},L}\leq 0
\]
つまり、指定された循環的なマクロ操作によって、熱平衡から正の仕事密度を取り出すことはできない。例えば、\(N\) 個の格子点を持つ系から \(0.1N\) という正の仕事を取り出せるなら、格子点当たりの抽出仕事は \(0.1\) のまま残るため、この定理と矛盾する。一方、有限系で仕事を少量取り出すことや、系の大きさより遅く増える仕事を取り出すことまで、同じ不等式によって一律に禁止されるわけではない。定理が制限するのは、系の大きさに比例する巨視的な仕事の抽出である。
では、全系の波動関数が純粋であり、任意のユニタリー操作によって仕事を取り出せる場合があるにもかかわらず、なぜマクロ操作では仕事の抽出が制限されるのだろうか。鍵となるのは、iMATE と対応するギブス状態が、すべての相加物理量についてマクロに同等であるという性質である。ギブス状態は通常の受動性を満たすため、循環的なユニタリー操作によって平均エネルギーを減少させられない。初期状態がギブス状態そのものでなくても、マクロ操作後のエネルギー密度がギブス状態から出発した場合と一致するなら、ギブス状態の受動性を利用して仕事の抽出を制限できる。
この論理には、初期状態のマクロな同等性が操作後にも保存されるという条件が必要になる。iMATE は、初期状態における相加物理量の期待値がギブス状態と一致することを保証する。しかし、任意のユニタリー操作を施した後についてまで、同じ一致を保証する定義ではない。操作が系のすべての自由度を任意に制御できる場合には、初期状態のミクロな違いを利用し、操作後のエネルギーを大きく減少させる可能性がある。
Chiba らは、操作を有限個の相加物理量から生成されるマクロ操作に限定し、さらに操作時間を制限することで、初期状態のマクロな同等性が操作後にも保存されることを示した。ここでは、局所的な相互作用のもとで情報が伝播する速度を制限するリーブ・ロビンソン限界が役割を果たす。局所的な観測量を有限時間だけ時間発展させても、その影響が系全体の任意に離れた場所へ無制限に広がるわけではない。そのため、相加物理量の時間発展後の期待値を比較するとき、初期状態のマクロな同等性を利用できる。
この結果を概念的に整理すると、次の関係になる。iMATE を表す初期状態と対応するギブス状態は、相加物理量の密度について同じ期待値を持つ。指定された有限時間のマクロ操作では、その同等性が操作後にも保たれる。特に、操作前後のハミルトニアンに対応するエネルギー密度についても一致する。ギブス状態から出発した場合は受動性によって平均エネルギーが減少しないため、iMATE から出発した場合にも、熱力学極限で巨視的なエネルギー減少が生じない。マクロな同等性の保存とギブス状態の受動性を組み合わせることで、純粋量子状態を含む熱平衡からの仕事の抽出不可能性が導かれる。
ただし、この議論には操作時間についての明確な条件がある。操作時間を \(t^{*}\) とすると、定理が対象とするのは、次の関係を満たす操作である。
t^{*}=O(L^0)=O(1)
\]
この記号は、系の線形サイズ \(L\) を大きくしても、操作時間の上界が系の大きさに依存しないことを意味する。\(O(1)\) は時間がゼロへ近づくという意味ではなく、系を大きくしても操作時間が一定の範囲に収まるという意味である。例えば、各辺の長さを二倍、三倍に増やしても、同じ時間内に操作を完了する場合が対象となる。反対に、\(t^{*}\) が \(L\) に比例して増大するような操作は、この条件から外れる。
操作時間が重要になるのは、局所的な相互作用を持つ量子多体系では、離れた領域の情報や相関を利用できる範囲が時間と関係しているためである。有限時間のマクロ操作では、初期状態のミクロな構造を系全体にわたって任意に利用する操作が制限される。操作時間を系の大きさとともに延ばすと、遠距離の相関を利用可能な形へ移す余地が生じる。そのため、同じ種類のマクロ操作であっても、操作時間が系の大きさに依存する場合まで、初期状態のマクロな同等性が保存されるとは限らない。
プランクの原理について、初期状態、操作、時間、結論の対応を整理すると次のようになる。
| 条件 | 定理が対象とする範囲 | 制約の意味 |
|---|---|---|
| 初期状態 | 非負の逆温度に対応する iMATE を表す量子状態であり、純粋量子状態も含む。 | すべての相加物理量について、対応する熱平衡状態とのマクロな同等性が成立する。 |
| 操作の種類 | 有限個の制御変数を用い、時間依存の相加的なハミルトニアンによって生成されるマクロ操作を対象とする。 | 任意のミクロなユニタリー操作とは区別され、操作可能な自由度が制限される。 |
| 循環条件 | 外部制御変数を初期値に戻し、操作前後でハミルトニアンが一致する。 | 初期状態と最終状態の平均エネルギー差を、正味の抽出仕事として評価できる。 |
| 操作時間 | 操作時間の上界が系の大きさに依存しない \(t^{*}=O(1)\) の範囲である。 | マクロな同等性を操作後まで保存するための時間尺度が指定される。 |
| 熱力学極限 | 系の線形サイズ \(L\) を無限大へ近づけ、格子点当たりのエネルギーを比較する。 | 有限系の微小な仕事ではなく、系の大きさに比例する仕事の抽出可能性を判定する。 |
| 定理の結論 | 操作後のエネルギー密度が操作前より小さくならない。 | 指定された循環的なマクロ操作によって、熱平衡から巨視的な仕事を取り出せない。 |
表に示した条件のうち、初期状態と操作の定義は、それぞれ異なる役割を持つ。iMATE は熱平衡として認める状態の範囲を定め、マクロ操作は外部から実現できる状態変換の範囲を定める。操作時間の条件は、その状態変換によってマクロな同等性がどこまで保存されるかに関係する。これらを組み合わせることで、純粋量子状態のように任意のユニタリー操作に対しては受動的でない状態にも、熱力学的な仕事の抽出不可能性を適用できる。
この結果が意味するのは、純粋量子状態が任意のユニタリー操作に対して受動的になるということではない。初期状態が純粋であっても、その波動関数を利用して基底状態へ変換するような操作は、量子力学の数学的な枠組みでは構成できる。一方、熱力学に対応するマクロ操作では、有限個の制御変数と操作時間の制限によって利用可能な変換が限定される。その範囲では、初期状態のミクロな違いが巨視的な仕事の抽出につながらないことが証明される。
従来の受動性は、指定された状態に対して任意の循環的なユニタリー操作を考え、平均エネルギーを減少させられるかどうかを問う。これに対して Chiba らの定理は、熱平衡を表す状態の集合を iMATE によって定義し、操作をマクロな物理量に対応する範囲へ制限することで、熱力学極限での仕事抽出の不可能性を導いている。状態と操作の双方をマクロな量によって定義したため、純粋状態の受動性と熱力学的な仕事の抽出不可能性を区別できるようになった。
可逆なユニタリー発展によって記述される量子系でも、熱平衡状態とマクロ操作の条件を明確にすれば、巨視的な仕事の抽出に制約が成立する。プランクの原理は、基本方程式によって逆向きの状態変換が禁止されることを意味するのではなく、指定された熱平衡状態から許された循環操作によって到達できる最終状態のエネルギーが制限されることを意味する。ここでは、ミクロな時間発展の可逆性を保ったまま、熱力学的な仕事の抽出不可能性が厳密な定理として導かれている。
5. 全系のエントロピーが保存されても熱力学第二法則は成立する
熱力学第二法則には、熱平衡状態から循環操作によって巨視的な仕事を取り出せないというプランクの原理と、断熱操作に伴ってエントロピーが減少しないというエントロピー増大則がある。前者は操作前後のエネルギーを比較し、後者は状態に割り当てられるエントロピーを比較する。量子力学では、仕事の抽出不可能性が成立することから、任意のエントロピーについて非減少性が導かれるわけではない。そのため、エントロピー増大則を証明するには、熱力学的なエントロピーに対応する量を明確に定義する必要がある。
閉じた量子系の時間発展を考えると、この問題が具体的になる。密度行列 \(\rho\) で表される量子状態にユニタリー演算子 \(U\) が作用すると、状態は \(U\rho U^{\dagger}\) へ移る。ユニタリー変換は密度行列の固有値を保存するため、固有値から計算されるフォン・ノイマンエントロピーも保存される。
S_{\mathrm{vN}}(U\rho U^{\dagger})
=
S_{\mathrm{vN}}(\rho)
\]
フォン・ノイマンエントロピーは、密度行列を \(\rho\) として \(S_{\mathrm{vN}}(\rho)=-\operatorname{Tr}(\rho\log\rho)\) で定義される。純粋量子状態では密度行列の固有値が 1 と 0 からなるため、この値はゼロである。ユニタリー発展の途中で系の内部に複雑な量子相関が形成されても、全系が純粋状態である限り、全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロのまま保存される。これは、全系の量子状態を完全に指定した場合の情報的な性質である。
一方、熱力学では、系全体の波動関数を指定して状態を区別するわけではない。温度、エネルギー密度、磁化などのマクロな物理量によって熱平衡を記述し、それに対応する熱力学エントロピーを割り当てる。例えば、有限温度の熱平衡を表す純粋量子状態は、全系のフォン・ノイマンエントロピーがゼロであっても、正の熱力学エントロピー密度を持ち得る。全系の量子情報に対するエントロピーと、マクロな熱平衡状態に対するエントロピーでは、評価対象が異なる。
孤立量子系の熱力学的な振る舞いを記述するため、フォン・ノイマンエントロピーとは異なるエントロピーの定義も研究されてきた。Meier らは、孤立量子系の観測結果に対応する確率分布を用い、観測に基づくエントロピーと第二法則の関係を検討した[16]。また、Santos らは、ハミルトニアンのパラメーターを急激に変更した後の孤立量子系について、エネルギー固有状態の占有確率から定義される対角エントロピーを調べた[17]。どちらも全系のフォン・ノイマンエントロピーとは異なる情報を取り出すための定義だが、評価する確率分布や状態の記述方法は異なる。
Chiba らは、マクロな物理量によって熱平衡を定義する iMATE と整合するように、量子マクロエントロピー密度を導入した[10]。この量は、全系の密度行列に直接フォン・ノイマンエントロピーを適用するのではなく、局所領域の量子状態を空間的に平均した密度行列から構成される。熱平衡を表す純粋量子状態についても熱力学エントロピー密度と一致することが、この定義の中心的な性質である。
5.1 局所状態を空間平均してエントロピー密度を求める
多数の粒子からなる量子系では、全系の状態が純粋であっても、その一部分だけを取り出した状態は一般に混合状態になる。これは、取り出した部分と残りの系との間に量子相関が存在し得るためである。局所領域の状態を記述するときには、領域の外側にある自由度を計算から除き、その領域だけの縮約密度行列を求める。
例えば、二つの量子ビットが次のベル状態にある場合を考える。
|\Phi^{+}\rangle
=
\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}
\]
\(|0\rangle\) と \(|1\rangle\) は量子ビットの基底状態であり、\(|00\rangle\) は両方の量子ビットが \(|0\rangle\) にある状態を表す。このベル状態は一つの状態ベクトルで記述できる純粋状態であるため、二つの量子ビットを合わせた全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロになる。
ところが、一方の量子ビットだけを取り出し、もう一方の量子ビットを部分トレースによって除くと、縮約密度行列は次のようになる。
\rho_{\mathrm{local}}
=
\frac{1}{2}|0\rangle\langle 0|
+
\frac{1}{2}|1\rangle\langle 1|
=
\frac{I}{2}
\]
ここで \(I\) は一量子ビットの恒等演算子である。この縮約密度行列は、二つの基底状態がそれぞれ確率 \(1/2\) で現れる混合状態を表す。そのフォン・ノイマンエントロピーは次のように計算される。
S_{\mathrm{vN}}(\rho_{\mathrm{local}})
=
-\frac{1}{2}\log\frac{1}{2}
-\frac{1}{2}\log\frac{1}{2}
=
\log 2
\]
全系のエントロピーがゼロであっても、部分系のエントロピーは正になり得る。この例では、一方の量子ビットを単独で記述したときの混合性が、二つの量子ビット間のエンタングルメントに由来している。ただし、部分系のエンタングルメントエントロピーが正であることだけでは、その値が熱力学エントロピーに対応するとは限らない。熱力学的なエントロピー密度を定義するには、局所領域の選び方と、その大きさに対する極限を考える必要がある。
そこで、空間次元を \(d\)、系の線形サイズを \(L\) とし、その内部に一辺の長さが \(\ell\) の局所領域を取る。局所領域に含まれる格子点の数は \(\ell^d\) である。系全体の密度行列を \(\rho_L\) とし、位置 \(\boldsymbol{x}\) にある局所領域へ縮約した密度行列を \(\rho_{L|\ell,\boldsymbol{x}}\) と表す。
一つの位置だけに注目すると、そこで得られる局所状態は、局所的な相関や空間的な偏りの影響を受ける。例えば、隣接するスピンの配列が場所によって異なる場合、同じ大きさの領域を取り出しても、得られる縮約密度行列は位置に依存する。この違いを空間的に平均するため、各位置の局所縮約密度行列を、共通の局所領域上の密度行列として対応付けたうえで平均する。
周期的な境界条件を持つ格子では、この空間平均を概念的に次のように表せる。
\rho_{L|\ell}^{\mathrm{ave}}
=
\frac{1}{L^d}
\sum_{\boldsymbol{x}\in\Lambda_L}
\rho_{L|\ell,\boldsymbol{x}}
\]
\(\Lambda_L\) は系全体の格子点の集合であり、\(\rho_{L|\ell}^{\mathrm{ave}}\) は一辺の長さが \(\ell\) の局所領域について、すべての位置の縮約密度行列を平均したものである。この平均によって、特定の位置に依存する局所状態の違いが、一つの密度行列に集約される。個々の局所状態のフォン・ノイマンエントロピーを平均する操作とは異なり、密度行列そのものを平均してからエントロピーを計算する。
この順序には意味がある。フォン・ノイマンエントロピーは密度行列に対して線形な関数ではなく、複数の密度行列を混合した場合のエントロピーは、それぞれのエントロピーの平均と一般には一致しない。例えば、位置によって異なる純粋状態が現れる場合、各位置のフォン・ノイマンエントロピーがゼロでも、それらを平均した密度行列は混合状態となり、正のエントロピーを持つことがある。
具体的には、一次元のスピン列に \(|0101\cdots\rangle\) という交互配列が存在する場合を考える。系全体は積状態であり、個々のスピンを取り出しても純粋状態になる。しかし、一つのスピンを取り出す位置をすべて平均すると、\(|0\rangle\) と \(|1\rangle\) が等しい割合で現れるため、平均密度行列は \(I/2\) になり、そのエントロピーは \(\log 2\) となる。
一方、一度に取り出す領域を \(\ell\) 個の連続したスピンへ広げると、局所状態は交互配列の始点に応じた二種類の純粋状態だけから構成される。これらを空間平均した密度行列のエントロピーは \(\log 2\) にとどまり、領域内のスピン数 \(\ell\) には比例して増加しない。そのため、エントロピーを領域の大きさで割ると、次のようになる。
\lim_{\ell\to\infty}
\frac{\log 2}{\ell}
=
0
\]
この例では、一量子ビットの空間平均から正のエントロピーが得られても、領域を大きくしたときのエントロピー密度はゼロになる。空間平均だけで熱力学エントロピーを定義するのではなく、局所領域の大きさを増やした極限まで考える必要がある理由が分かる。局所的な配列の違いが生む有限の混合エントロピーと、領域の体積に比例する熱力学的なエントロピーを区別するためである。
Chiba らの量子マクロエントロピー密度は、この局所領域の空間平均と、領域の大きさに対する極限を組み合わせて定義される。空間的に一様なマクロ状態の場合、まず系全体の大きさ \(L\) を無限大に近づけ、次に局所領域の大きさ \(\ell\) を増やす。
s^{\mathrm{mac}}
=
\lim_{\ell\to\infty}
\lim_{L\to\infty}
\frac{
S_{\mathrm{vN}}(\rho_{L|\ell}^{\mathrm{ave}})
}{
\ell^d
}
\]
\(s^{\mathrm{mac}}\) は量子マクロエントロピー密度、\(S_{\mathrm{vN}}(\rho_{L|\ell}^{\mathrm{ave}})\) は空間平均された局所密度行列のフォン・ノイマンエントロピー、\(\ell^d\) は局所領域に含まれる格子点数である。分母で領域の体積に相当する量を割ることによって、局所領域一格子点当たりのエントロピーを評価する。なお、ここでは空間的に一様なマクロ状態に対応する形式を示しており、一般の非一様な状態ではマクロな部分領域ごとの構成が必要になる。
極限の順序も定義の一部である。最初に \(L\) を無限大へ近づけることで、局所領域の大きさを固定したまま、十分に大きな系の中で空間平均を評価する。その後に \(\ell\) を増やすことで、局所領域を広げたときのエントロピー密度を求める。最初から局所領域を系全体と同じ大きさにしてしまうと、純粋状態の全系エントロピーがゼロであるという性質をそのまま測ることになる。全系の純粋性とマクロな熱力学エントロピーを区別するには、この二つの極限を適切な順序で取る必要がある。
この定義について、Chiba らは iMATE を表すすべての量子状態で、量子マクロエントロピー密度が熱力学エントロピー密度 \(s^{\mathrm{TD}}\) と一致することを証明した[10]。空間的に一様な場合には、次の関係になる。
s^{\mathrm{mac}}(\rho)
=
s^{\mathrm{TD}}
\]
右辺の \(s^{\mathrm{TD}}\) は、対応する熱平衡状態に対して熱力学が割り当てるエントロピー密度である。この等式が成立するのは、初期状態が iMATE の条件を満たす場合であり、任意の量子状態に対して熱力学エントロピーとの一致を保証するものではない。しかし、iMATE に含まれる状態が純粋であっても成立するため、全系のフォン・ノイマンエントロピーがゼロという性質と、正の熱力学エントロピー密度を持つという性質が両立する。
また、空間平均を行わない単一の部分系のエンタングルメントエントロピー密度は、量子マクロエントロピー密度とは定義が異なる。特定の位置の縮約密度行列から得られるエントロピーは、その部分系と外部との量子相関を反映する。一方、量子マクロエントロピー密度は、局所状態の空間平均と熱力学極限を通じて定義される。両者が一致する場合もあるが、局所的な非一様性や相関構造によって異なる値になる場合もある。
原著論文では、この定義の振る舞いを数値解析でも調べている。対象となったのは一次元横磁場イジング模型であり、局所領域の大きさを増やしたとき、空間平均された局所密度行列から得られるエントロピー密度が、厳密な熱力学エントロピー密度に近づく様子を確認している。計算には、有限温度に対応する純粋状態をサンプリングする METTS（Minimally Entangled Typical Thermal States）という手法が用いられた。この手法の基本的な考え方は、White による先行研究に基づいている[18]。
数値解析では、全系の線形サイズを \(L=512\)、模型のパラメーターを \(J=g=1\)、逆温度を \(\beta=1\) とし、\(10^5\) 個の METTS サンプルを用いて比較している。ここで \(J\) はスピン間相互作用、\(g\) は横磁場の大きさを表す。有限個のサンプルから求めたエントロピー密度には統計的なばらつきがあるため、そのばらつきも評価されている。局所領域を大きくすると空間平均に基づくエントロピー密度が熱力学エントロピー密度に近づくという結果は、定義の具体的な振る舞いを示すものである。任意の系に対する一致そのものは、数値解析とは別に数学的に証明されている。
量子スピン系でマクロな観測量を厳密に扱う際には、異なる観測量が一般に可換ではないという問題も生じる。例えば、同じスピンの異なる方向の磁化成分は、量子力学では同時に確定した値を持つとは限らない。Ogata は、量子スピン系における非可換なマクロ観測量を、可換な行列によって近似するための数学的な結果を示した[19]。このような研究は、マクロな量を量子力学の中で扱う際の数学的な基礎となる。
量子マクロエントロピー密度によって、iMATE を表す純粋量子状態にも熱力学的なエントロピー密度を対応させられる。これにより、熱平衡状態が持つエントロピーを、全系のフォン・ノイマンエントロピーとは区別して評価できる。さらに、この量を操作前後で比較すれば、量子力学のユニタリー発展による全系エントロピーの保存と矛盾することなく、熱力学第二法則のエントロピー増大則を定式化できる。
5.2 マクロ操作と緩和を経たエントロピーの非減少性
熱力学的な断熱操作では、外部磁場や体積などの制御変数を変化させ、系をある状態から別の状態へ移す。制御変数を最初と最後で同じ値に戻す循環操作では、仕事の抽出不可能性がプランクの原理として現れる。一方、一般の断熱操作では、制御変数を初期値とは異なる値へ変更してもよい。この場合、外部から仕事を加えたり、条件によって仕事を取り出したりすることが可能である。エネルギーそのものを比較するだけでは、一般の断熱操作に対する状態遷移の制約を表せないため、エントロピーの大小関係を用いる。
Chiba らは、iMATE を表す初期状態にマクロ操作を施し、その後、外部制御変数を一定値に固定した状況で系が緩和する過程を考えた。マクロ操作の間は時間依存ハミルトニアンによって状態が発展し、操作終了後は一定のハミルトニアンのもとでユニタリー発展が続く。操作中に外部との仕事のやり取りが生じても、対象となる量子系の時間発展はユニタリーであり、全系のフォン・ノイマンエントロピーは保存される。
ここでいう緩和とは、全系の密度行列が時間とともに混合状態へ変化することではない。ユニタリー発展のもとでは、純粋状態は純粋状態のまま保たれる。一方、マクロな観測量については、時間発展によって非平衡な値から一定の値に近づいたり、長時間の観測で安定した値を示したりする場合がある。量子系のミクロな状態が時間発展を続けていても、マクロな測定結果について緩和が成立し得る。
この区別は、熱平衡への到達を考える際にも必要になる。マクロな観測量が長時間にわたって一定の値を示したとしても、その値がギブス状態の値と一致するとは限らない。系に保存量が存在する場合や、特定の非平衡状態が長く維持される場合には、緩和後のマクロ状態が通常の熱平衡と異なることがある。そのため、緩和が起こることと、熱平衡へ熱化することは区別される。
原著論文では、緩和後の最終状態が熱平衡を表す場合だけでなく、マクロに同等な状態が共通の最終マクロ状態へ緩和するという条件を用いた、より一般的な形式も扱っている[10]。マクロな同等性と緩和後の状態の関係を仮定することで、最終状態が iMATE であることを直接要求せずに、量子マクロエントロピー密度の非減少性を示せる。
操作前の状態を \(\rho_L^{\mathrm{i}}\)、マクロ操作後の状態を \(\rho_L^{\mathrm{op}}\)、緩和後の最終状態を \(\rho_L^{\mathrm{f}}\) とする。初期状態は iMATE を表し、マクロ操作の時間は系の大きさに依存しない範囲に制限される。操作終了後にはハミルトニアンを固定し、指定された緩和条件のもとで最終的なマクロ状態を評価する。このとき、初期状態の量子マクロエントロピー密度と、最終状態側のエントロピー密度の下極限について、次の不等式が成立する。
\lim_{\ell\to\infty}s_{\ell,\mathrm{i}}^{\mathrm{mac}}
\leq
\liminf_{\ell\to\infty}s_{\ell,\mathrm{f}}^{\mathrm{mac}}
\]
\(s_{\ell,\mathrm{i}}^{\mathrm{mac}}\) と \(s_{\ell,\mathrm{f}}^{\mathrm{mac}}\) は、それぞれ初期状態とマクロ操作・緩和後の最終状態について、全系の熱力学極限を取った後に局所領域の大きさ \(\ell\) で評価するエントロピー密度である。\(\liminf\) は下極限を表し、最終状態側に通常の極限が存在することまでは要求しない。この不等式は、最終状態側の下極限が初期状態のエントロピー密度以上になることを示す。両側の通常の極限が存在する場合には、最終状態のエントロピー密度が初期状態より小さくならないという簡潔な形になる。初期状態が iMATE であるため、そのエントロピー密度は初期の熱力学エントロピー密度と一致する。最終状態も熱平衡を表す場合には、最終状態側も熱力学エントロピー密度と一致する。
したがって、初期状態と最終状態がそれぞれ熱平衡を表す通常の熱力学的な断熱操作では、次の関係が得られる。
s_{\mathrm{f}}^{\mathrm{TD}}
\geq
s_{\mathrm{i}}^{\mathrm{TD}}
\]
\(s_{\mathrm{i}}^{\mathrm{TD}}\) と \(s_{\mathrm{f}}^{\mathrm{TD}}\) は、それぞれ初期状態と最終状態の熱力学エントロピー密度である。量子マクロエントロピー密度が iMATE で熱力学エントロピー密度に一致することと、マクロ操作と緩和を通じて量子マクロエントロピー密度が減少しないことを組み合わせることで、熱力学的なエントロピー増大則が導かれる。
この証明では、二つの性質が結び付いている。第一に、iMATE を表す初期状態と対応する熱平衡状態は、すべての相加物理量についてマクロに同等である。第二に、指定された有限時間のマクロ操作と緩和条件のもとでは、この同等性を利用して、最終的なマクロ状態のエントロピーを評価できる。初期状態のミクロな波動関数が異なっていても、熱力学的に意味を持つ物理量について同等であり、その状態にマクロ操作を施した後の緩和にも必要な条件が成立するため、エントロピー密度の非減少性を導ける。
エントロピーの非減少性を考える際には、どの段階の状態を比較するかにも注意が必要である。定理の対象は、初期の iMATE からマクロ操作を行い、その後の緩和過程を経て得られる最終状態までの過程である。操作中の任意の時刻や、緩和が完了する前の状態について、量子マクロエントロピー密度が常に単調増加することを主張するものではない。
例えば、マクロ操作によって一時的に空間的な非一様性や局所相関が形成される場合、操作直後の量子状態は初期の熱平衡状態とは異なる性質を示す。その後、固定されたハミルトニアンのもとで緩和が進み、マクロな物理量が安定した値を示すようになる。エントロピー増大則の定理は、こうした過程について、必要な緩和条件が成立した場合の始状態と終状態の比較を保証する。局所的な状態量が途中で増減する可能性と、最終的なエントロピー密度の非減少性は両立する。
また、緩和に関する条件が必要になることは、量子力学の基本方程式だけで任意の時間発展に対するエントロピー増大が保証されるわけではないことを意味する。閉じた有限量子系では、ユニタリー発展に伴う再帰や振動が生じ得る。マクロな観測量がどのような意味で緩和するか、長時間にわたってどの状態を最終状態として評価するかは、系の性質と緩和条件に依存する。原著論文の定理は、こうした条件を明示したうえで成立する。
仕事の抽出不可能性とエントロピー増大則について、量子力学的な定式化を比較すると次のようになる。
| 比較項目 | プランクの原理 | エントロピー増大則 |
|---|---|---|
| 評価する物理量 | 循環操作前後の平均エネルギー密度を比較する。 | 初期状態と最終状態の量子マクロエントロピー密度を比較する。 |
| 初期状態 | 非負の逆温度に対応する iMATE を表す量子状態を対象とする。 | iMATE を表す量子状態を対象とする。 |
| 操作の条件 | 有限時間のマクロ操作を行い、外部制御変数を初期値へ戻す。 | 有限時間のマクロ操作を行い、操作終了後に制御変数を一定値に固定する。 |
| 緩和過程 | 循環操作の前後のエネルギー比較で成立し、追加の緩和過程を必要としない。 | 操作後の緩和に関する条件を用い、最終状態のエントロピー密度を評価する。 |
| 定理の結論 | 熱力学極限で、巨視的な正の仕事を取り出せない。 | 量子マクロエントロピー密度が初期状態から最終状態へ減少しない。 |
| 純粋量子状態への適用 | 初期状態が iMATE を表し、操作条件を満たせば適用される。 | 初期状態が iMATE を表し、操作と緩和の条件を満たせば適用される。 |
プランクの原理では、外部制御変数を初期値へ戻す循環条件が必要になる。その条件のもとで操作前後のハミルトニアンが一致するため、平均エネルギーの差を仕事として比較できる。一方、エントロピー増大則では、外部制御変数が初期値と異なる値で終わる一般の断熱操作も対象となる。その場合には、初期と最終のエネルギーを単純に比較する代わりに、熱力学的な状態の順序を表すエントロピー密度を比較する。
二つの定理は、熱力学第二法則の異なる側面を表している。仕事の抽出不可能性から、量子マクロエントロピー密度の非減少性が自動的に導かれるわけではない。また、エントロピー密度の非減少性を述べるには、熱力学エントロピーと整合する量の定義が必要になる。Chiba らは、iMATE とマクロ操作を共通の基礎に置きながら、仕事の抽出に対する制約とエントロピー密度に対する制約をそれぞれ独立に証明した。
この結果によって、全系のフォン・ノイマンエントロピーが保存されることと、熱力学エントロピー密度が減少しないことの関係が明確になる。ユニタリー発展は全系の密度行列の固有値を保存するため、純粋状態は純粋状態のまま発展する。しかし、熱力学的なエントロピー密度は、局所状態の空間平均と熱力学極限を通じて定義される量であり、全系の純粋性とは異なる性質を記述する。両者が異なる物理量であるため、一方が保存されながら、もう一方について非減少性が成立することに矛盾はない。
量子力学の可逆性と熱力学第二法則の整合性は、エントロピーの定義を変えるだけで成立するわけではない。初期状態が iMATE を表し、操作が有限個の相加物理量を用いるマクロ操作であり、操作時間が系の大きさに依存せず、さらに緩和について所定の条件が成立することが必要になる。これらの条件のもとで、全系の量子情報を保存するユニタリー発展から、マクロなエントロピー密度の非減少性を導ける。熱力学第二法則が制限しているのは、全系の量子情報そのものの変化ではなく、熱力学的に定義された状態と操作を通じて実現されるマクロな状態遷移である。
6. 操作時間を延ばすとエントロピー減少の反例が現れる
マクロ操作によって熱力学第二法則を導く際には、操作にかけられる時間が系の大きさに依存しないという条件がある。この条件は、操作時間を短く設定するための便宜的な仮定ではなく、マクロな状態遷移の到達可能性に関わっている。局所的な相互作用を持つ量子多体系では、離れた領域へ情報や相関の影響が伝わる速度に制限がある。操作時間が有限であれば、ある領域の情報を系全体の任意の場所へ移動させることはできない。一方、系の大きさに応じて操作時間を延ばせば、短時間では利用できなかった遠距離の相関を、局所的な操作の積み重ねによって利用可能な形へ変換できる場合がある。
マクロな状態遷移に必要な時間が物理的な制約を受けることは、量子多体系の速度限界に関する研究でも扱われている。Hamazaki は、マクロな物理量の変化速度に対する制約を検討し、系の状態を巨視的に変化させる過程にも速度限界が存在することを示した[20]。状態遷移が量子力学の基本方程式によって許されていても、その遷移を実現するために必要な時間が、操作の種類や系の構造によって制限されるということである。
Chiba らは、短時間のマクロ操作に対して成立する第二法則を、長時間操作へそのまま拡張できるかを調べるため、量子マクロエントロピー密度が減少する反例を構成した[10]。この反例は、熱平衡を表す純粋量子状態から出発し、系の大きさに応じて長い時間をかけてマクロ操作を行うことで、エントロピー密度が小さい状態へ到達するというものである。初期状態は iMATE の条件を満たしており、熱平衡の定義を変更することによって反例を作っているわけではない。短時間の定理と異なるのは、操作時間についての条件である。
反例の仕組みを理解するには、量子相関がどの位置に存在するかに注目する必要がある。二つの量子ビットがベル対を形成している場合、二つを合わせた状態は純粋状態であるが、一方だけを取り出した縮約密度行列は最大混合状態になる。ベル対を構成する二つの量子ビットが遠く離れていれば、小さな局所領域には片方の量子ビットしか含まれないため、その領域から得られる密度行列は混合状態となる。
この性質を利用し、一次元のスピン鎖で、遠く離れたスピン同士をベル対として結び付ける。各スピンは一つのベル対に属しているが、対を構成する相手のスピンは系の大きさに応じて遠方に配置される。局所領域の大きさを固定し、系全体の大きさを増やすと、局所領域の内部にベル対の両端が同時に含まれることはなくなる。その結果、局所領域の縮約密度行列は最大混合状態となり、無限温度のギブス状態と一致する。
一つのスピンの縮約密度行列が \(I/2\) であることは、すでにベル対の例で確認した。さらに、局所領域に含まれる \(\ell\) 個のスピンが、それぞれ領域の外側にある別のスピンとベル対を形成していれば、その局所領域の縮約密度行列は次のようになる。
\rho_{\ell}
=
\frac{I}{2^{\ell}}
\]
ここで \(I\) は \(\ell\) 個のスピンが張るヒルベルト空間上の恒等演算子であり、\(2^{\ell}\) はその空間の次元である。局所領域に含まれる \(\ell\) 個のスピンについて、すべての基底状態が等しい確率で現れる最大混合状態を表している。この密度行列のフォン・ノイマンエントロピーは次のように計算できる。
S_{\mathrm{vN}}(\rho_{\ell})
=
-\operatorname{Tr}
\left(
\frac{I}{2^{\ell}}
\log\frac{I}{2^{\ell}}
\right)
=
\ell\log 2
\]
局所領域のエントロピーは、含まれるスピン数 \(\ell\) に比例して増加する。この値を局所領域の大きさで割ると、スピン一つ当たりのエントロピー密度は \(\log 2\) となる。遠距離にあるスピン同士のベル対から構成された初期状態は、全系としては純粋状態であっても、任意の固定された有限領域では無限温度の熱平衡状態と同じ局所的な性質を持つ。そのため、すべての相加物理量の密度について無限温度のギブス状態と一致し、iMATE を表す。
この初期状態で、全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロである。一方、量子マクロエントロピー密度は、局所領域の縮約密度行列から求めるため、正の値を持つ。初期状態の量子マクロエントロピー密度は次のようになる。
s_{\mathrm{initial}}^{\mathrm{mac}}
=
\lim_{\ell\to\infty}
\frac{\ell\log 2}{\ell}
=
\log 2
\]
これは、一つのスピンが二つの局所状態を持つ系において、無限温度の熱平衡に対応する最大のエントロピー密度である。局所領域では最大混合状態が観測される一方、全系では純粋状態としてすべての量子相関が保持されている。遠距離に配置されたベル対の相関が、局所領域の外側に分布していることによって、この二つの性質が両立している。
次に、スピンの位置を入れ替えるスワップ操作を考える。スワップ操作は、二つの量子ビットの状態を交換するユニタリー操作である。二つのスピンの状態を \(|a\rangle\)、\(|b\rangle\) とすると、その作用は次のように表される。
U_{\mathrm{swap}}|a\rangle|b\rangle
=
|b\rangle|a\rangle
\]
\(U_{\mathrm{swap}}\) はスワップ操作を表すユニタリー演算子である。この演算子を隣接するスピンに作用させると、それぞれのスピンが持つ量子状態を交換できる。複数のスワップ操作を適切な順序で組み合わせれば、スピン鎖の離れた位置にある量子状態を、局所的な交換の積み重ねによって移動できる。
例えば、あるスピンが遠方のスピンとベル対を形成している場合、その間にあるスピンと順次スワップ操作を行うことで、ベル対を構成する量子状態の位置を移動させられる。ベル対の量子相関そのものを消去する必要はない。相関を持つ量子状態をどの位置へ配置するかを変更することで、遠距離の相関を近距離の相関へ再配置できる。
ただし、隣接スピン間の交換によって量子状態を長距離移動させるには、その距離に応じた操作時間が必要になる。スピン鎖の長さが \(L\) であり、ベル対の両端が系の大きさに比例する距離だけ離れていれば、局所的な交換操作を積み重ねる過程にも、系の大きさに依存する時間が必要となる。短時間のマクロ操作では利用可能な相関の範囲が制限されるのに対し、操作時間を延ばすと、遠距離の相関を局所的に利用できる配置へ移すことが可能になる。
Chiba らの反例では、こうしたスワップ操作の繰り返しを通じて、遠く離れていたベル対を隣接するスピン同士のベル対へ再配置する。最終状態では、隣接する二つのスピンがそれぞれベル対を形成し、そのような対がスピン鎖に沿って並ぶ。初期状態と最終状態はいずれも純粋状態であり、全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロのままである。しかし、局所領域のエントロピーには大きな違いが生じる。
初期状態では、局所領域に含まれる各スピンが領域の外側にあるスピンとベル対を形成するため、局所領域を大きくするとエントロピーも領域の大きさに比例して増加する。一方、最終状態では、ほとんどのベル対の両端が局所領域の内部に含まれる。ベル対を構成する二つのスピンをまとめて取り出せば、その対の状態は純粋状態であり、エントロピーはゼロである。
連続した局所領域を取り出す場合、領域の境界をまたぐベル対だけが、その領域と外側との間に量子相関を残す。一次元のスピン鎖では、連続領域の境界は両端の二か所である。そのため、局所領域を大きくしても、境界をまたぐベル対の数は領域内のスピン数に比例して増加しない。局所領域のフォン・ノイマンエントロピーは領域の大きさに依存しない有限の範囲に収まり、領域の長さ \(\ell\) で割るとゼロへ近づく。
この違いは、局所領域のエントロピーがどのように増大するかを比較すると明確になる。
| 比較対象 | 初期状態 | 最終状態 |
|---|---|---|
| ベル対の配置 | 相関するスピン同士が、系の大きさに比例する距離だけ離れている。 | 相関するスピン同士が隣接するように配置されている。 |
| 全系の量子状態 | 遠距離のベル対から構成される純粋状態である。 | 隣接するベル対から構成される純粋状態である。 |
| 局所領域の状態 | 固定された有限領域では最大混合状態となり、無限温度の熱平衡に対応する。 | 領域内のベル対は純粋状態として含まれ、主に領域の境界をまたぐ相関がエントロピーに寄与する。 |
| 局所領域のエントロピー | 局所領域の長さ \(\ell\) に比例して増大する。 | 局所領域の長さを増やしても、境界に由来する有限の寄与にとどまる。 |
| 量子マクロエントロピー密度 | \(\log 2\) となる。 | ゼロとなる。 |
初期状態では局所領域のエントロピーが領域の体積に比例するため、体積で割っても正の値が残る。最終状態では境界に由来するエントロピーだけが残るため、領域の体積で割るとゼロになる。これは、量子相関の総量が消滅したという意味ではない。遠距離に分布していた相関を近距離へ再配置したことで、局所領域の縮約密度行列から計算されるエントロピーの増大の仕方が変化したのである。
原著論文では、最終状態に対応するハミルトニアンとして Majumdar–Ghosh 模型を用いる。この模型は一次元のスピン系であり、適切な結合定数を選ぶと、隣接するスピン同士がベル対に対応する一重項状態を形成した状態が基底状態になる。反例では、再配置したベル対がこの模型の定常状態となるように構成されている。そのため、マクロ操作を終了して最終ハミルトニアンを固定した後も、その状態はユニタリー発展によって密度行列として変化せず、追加の緩和によってエントロピー密度が増加することはない。
この最終状態について、量子マクロエントロピー密度はゼロになる。初期状態と最終状態を比較すると、次の関係が得られる。
s_{\mathrm{initial}}^{\mathrm{mac}}
=
\log 2,
\qquad
s_{\mathrm{final}}^{\mathrm{mac}}
=
0
\]
\(\log\) は自然対数であり、\(\log 2\) は二つの局所状態を持つ一つのスピンに対応する最大のエントロピーである。初期状態では無限温度の iMATE を表していたにもかかわらず、マクロ操作後の量子マクロエントロピー密度はゼロになっている。これは、短時間のマクロ操作について証明されたエントロピー非減少性を、同じ条件のまま長時間操作へ拡張できないことを示す具体的な反例である。
反例で用いる操作時間を \(T_L\) とすると、系の線形サイズ \(L\) に対して、次の時間尺度が考えられている。
T_L=\omega(L^0),
\qquad
T_L=O(L)
\]
\(\omega(L^0)\) は、\(L\) を大きくすると \(T_L\) が一定値にとどまらず発散することを意味する。一方、\(O(L)\) は、操作時間が系の線形サイズ \(L\) の定数倍を超えない範囲で増大することを表す。例えば、操作時間が \(L\) に比例する場合には両方の条件を満たす。短時間の定理で仮定された \(T_L=O(1)\) とは異なり、系を大きくするほど操作に使える時間も増える。
この時間尺度の違いによって、操作が利用できる量子相関の範囲が拡大する。短時間では、遠距離にあるベル対を近距離へ十分に再配置することができず、初期状態の局所的な熱平衡性が操作後のマクロな応答を制限する。一方、操作時間が系の大きさとともに増大すると、局所的な交換操作を繰り返して量子相関の配置を系全体にわたって変更できる。初期状態では有限領域から見えなかった遠距離の量子相関が、最終状態では有限領域の内部に収まる相関へ再配置される。その結果、量子マクロエントロピー密度を減少させる状態遷移が実現される。
ただし、この反例を現実の熱力学第二法則が一般的に破れることの証拠と解釈することはできない。数学的に構成された初期状態を準備するには、系の大きさに応じて離れたスピン同士を精密に相関させる必要がある。また、スワップ操作を繰り返して目的の最終状態へ到達させるには、相関の配置を正確に制御する必要がある。理論上の状態と操作が定義できることと、それらを現実の実験装置によって任意の精度で準備・実行できることは区別される。
特に、初期状態には遠距離にわたる量子相関が組み込まれている。局所領域だけを測定すれば無限温度の熱平衡と一致するが、系全体には通常の熱平衡を表す混合状態とは異なる相関構造が存在する。長時間操作によって、その相関を局所的に利用可能な配置へ変換できることが、エントロピー密度の減少につながっている。初期状態の準備に必要な操作や精度まで考慮した場合に、同じ状態遷移をどの程度実現できるかは、別の問題となる。
原著論文では、エントロピー増大則だけでなく、プランクの原理についても長時間操作の反例が示されている。短時間では、iMATE のマクロな同等性が操作後にも保存されることを利用して巨視的な仕事の抽出を制限できる。しかし、操作時間を延ばすと、初期状態のミクロな相関を利用してエネルギーを減少させる状態遷移が可能になる場合がある。エントロピー密度の減少と仕事の抽出は異なる結果だが、いずれも操作時間を拡張したときに、短時間の定理の保証が失われることを示している。
長時間操作について熱力学第二法則を保証するには、操作時間以外の条件を追加する必要がある。候補となるのは、初期状態をどのような手順で準備できるか、操作をどの程度の精度で実行できるか、熱平衡を表す状態にどのような動力学的な性質を要求するか、といった制約である。こうした条件があれば、数学的には構成可能でも、熱力学的な操作として実現できない状態遷移を区別できる可能性がある。ただし、どの追加条件が長時間操作に対する第二法則の成立を十分に保証するかは、今回の研究だけでは確定していない。
短時間の定理と長時間の反例を並べると、操作時間は定理の証明方法だけに関わる仮定ではなく、状態遷移の到達可能性そのものに関係する条件であることが明らかになる。有限時間では利用できなかった遠距離の量子相関が、十分な時間を使うことで局所的な状態変換に利用できるようになる。熱力学第二法則を量子力学から導く際には、熱平衡を表す状態と許される操作の種類だけでなく、操作に認める時間尺度まで指定する必要がある。可逆な微視的法則から巨視的な不可逆性の制約が成立する範囲は、こうした条件の組み合わせによって定まる。
7. 熱力学第二法則の成立範囲は状態と操作の条件で定まる
閉じた量子多体系の時間発展は、ユニタリー演算子によって記述される。ユニタリー発展には逆演算子が存在し、全系のフォン・ノイマンエントロピーは保存される。一方、熱力学第二法則は、熱平衡状態からの仕事の抽出や、断熱操作に伴うエントロピーの非減少性を制限する。この二つの記述は、同じ物理系を対象としているが、評価する状態と物理量の範囲が異なる。量子力学が許す状態変換のすべてを熱力学的な操作と同一視すると、純粋量子状態から仕事を取り出せるという結果が、マクロな熱平衡の性質と衝突する。
この関係を整合させるために、Chiba らは熱平衡を iMATE によって定義し、外部から実行する操作を有限個の相加物理量に結合した制御変数によるマクロ操作に限定した[10]。さらに、全系のフォン・ノイマンエントロピーとは別に、空間平均された局所密度行列から量子マクロエントロピー密度を構成した。これらの定義によって、純粋量子状態を熱平衡の対象に含めたまま、熱力学第二法則の二つの形式を量子力学から導くことが可能になった。
仕事の抽出不可能性を示すプランクの原理では、非負の逆温度に対応する iMATE を初期状態とし、外部制御変数を初期値へ戻す循環操作を考える。初期状態と対応するギブス状態は、すべての相加物理量についてマクロに同等である。系の大きさに依存しない時間内に行うマクロ操作では、この同等性が操作後にも保存される。ギブス状態には循環的なユニタリー操作によって平均エネルギーを減少させられないという受動性があるため、マクロに同等な初期状態についても、熱力学極限で巨視的な仕事を取り出せないことが導かれる。
ここで証明されたのは、初期状態の密度行列がギブス状態と完全に一致するという性質ではない。iMATE を表す純粋量子状態は、ミクロな波動関数の情報を保持しており、任意のユニタリー操作を許せば、基底状態への変換によって仕事を取り出せる場合がある。しかし、有限個の制御変数と操作時間の制約を持つマクロ操作では、そのミクロな情報を任意の状態変換に利用できるわけではない。熱平衡状態と許容操作を共通のマクロな物理量で定義した結果、純粋状態の受動性と、熱力学的な仕事の抽出不可能性を区別できる。
エントロピー増大則では、評価する量の定義がさらに必要になる。純粋量子状態は、ユニタリー発展によって純粋状態のまま保たれるため、全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロから変化しない。しかし、その状態がマクロに熱平衡を表す場合、局所領域の縮約密度行列を空間平均し、適切な熱力学極限を取ることで、正の熱力学エントロピー密度に一致する量を得られる。全系のエントロピーと量子マクロエントロピー密度は、同じ密度行列から構成されていても、評価する量子情報の範囲が異なる。
量子マクロエントロピー密度については、指定されたマクロ操作と、その後の一定ハミルトニアンのもとでの緩和を通じて、初期状態から最終状態への非減少性が証明されている。操作直後の任意の非平衡状態について、あらゆる時刻でエントロピーが単調増加するという結果ではない。最終状態への緩和に関する条件が成立した場合に、始状態と終状態のエントロピー密度を比較する定理である。初期状態と最終状態がともに iMATE を表す場合には、量子マクロエントロピー密度がそれぞれの熱力学エントロピー密度に一致するため、通常の熱力学的なエントロピー非減少性に対応する。
仕事の抽出不可能性とエントロピーの非減少性は、同じマクロな状態と操作の定義を基礎としているが、証明する命題は異なる。前者は循環操作前後のエネルギー密度を比較し、後者はマクロ操作と緩和を経た状態のエントロピー密度を比較する。循環操作には初期と最終のハミルトニアンが一致する条件が必要だが、エントロピー増大則では外部制御変数が初期値と異なる状態で終わる断熱操作も対象となる。二つの形式をそれぞれ証明することによって、熱力学第二法則が課すエネルギーとエントロピーの制約を、量子力学の中で区別して記述できる。
これらの定理の成立条件と帰結を整理すると、次のようになる。
| 観点 | 条件と帰結 |
|---|---|
| 初期状態 | すべての相加物理量に関する平衡値との一致によって iMATE を表す状態を定める。純粋量子状態も対象に含まれる。 |
| 許容操作 | 有限個の外部制御変数に結合した相加的ハミルトニアンによるユニタリー発展を対象にする。各局所自由度を独立に制御する任意のユニタリー操作とは区別される。 |
| 操作時間 | 系の線形サイズに依存せず有界な時間でのマクロ操作について、マクロな同等性の保存と第二法則に関する定理が成立する。 |
| 仕事 | 非負の逆温度に対応する iMATE から出発する循環操作について、熱力学極限で系の大きさに比例する正の仕事を取り出せない。 |
| エントロピー | 空間平均された局所状態から量子マクロエントロピー密度を構成する。iMATE では熱力学エントロピー密度と一致する。 |
| 緩和 | 操作後の一定ハミルトニアンによる時間発展について、緩和とその極限に関する条件のもとで、始状態と終状態の量子マクロエントロピー密度の非減少性を得る。 |
| 長時間操作 | 系の大きさとともに操作時間を延長すると、巨視的な仕事の抽出や量子マクロエントロピー密度の減少を実現する反例が存在する。 |
この表では、初期状態、操作、時間という三つの条件が、仕事とエントロピーの両方の定理に関係している。一方、エントロピー増大則には、熱力学エントロピーと整合する量の定義と、操作後の緩和条件が加わる。条件ごとの役割を分けることで、熱力学第二法則が量子力学の基本方程式だけから無条件に成立するという理解を避け、どの前提からどの結論が導かれるかを明確にできる。
長時間操作に対する反例は、これらの条件の必要性を別の方向から示している。遠距離にベル対を配置した純粋量子状態は、固定された有限領域では無限温度の熱平衡と同じ局所状態を示す。そのため、初期状態の量子マクロエントロピー密度は \(\log 2\) となる。しかし、系の大きさとともに長い時間をかけてスワップ操作を繰り返し、ベル対を隣接するスピン同士へ再配置すると、量子マクロエントロピー密度がゼロになる最終状態を構成できる。
この状態変換では全系のフォン・ノイマンエントロピーはゼロのままで、ユニタリー発展の可逆性も保たれる。エントロピー密度の減少は、遠距離の相関が局所領域の内部に収まる配置へ移り、局所領域のエントロピーが体積比例から境界に由来する有限の寄与へ移ったために生じる。
長時間操作によって遠距離の相関を利用できるようになるため、同じ iMATE とマクロ操作の定義を保っても、短時間のマクロな同等性保存は一般に保証されない。操作時間が定理の成立条件となる理由は、この反例に表れている。
もっとも、この反例で用いる初期状態には、系の大きさに比例する距離にわたる精密な量子相関が必要になる。また、操作によって相関を目的の位置へ再配置するには、制御の精度も要求される。数学的に構成できる状態と操作が、任意の精度で物理的に準備・実行できることまで保証されているわけではない。状態準備の実現可能性、操作精度、熱平衡状態に要求する追加の性質を考慮すれば、長時間操作についても第二法則を保証できる可能性がある。ただし、そのための一般的な十分条件は、今回の研究で確定した結果には含まれていない。
可逆な量子力学と熱力学第二法則の整合性は、基本方程式に不可逆な時間発展を追加することによって得られるものではない。熱平衡とみなす状態を相加物理量によって定義し、許される操作と時間尺度を定め、全系の量子情報とは異なるマクロなエントロピーを評価することによって、熱力学的な状態遷移に制約が成立する。長時間操作の反例は、その制約が適用される範囲を明確にしている。量子力学が許す状態変換の集合と、熱力学第二法則が制限する状態遷移の集合を区別することが、微視的な可逆性と巨視的な不可逆性を一つの理論の中で理解するための条件となる。
参考文献
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